青岛版九年级上册数学2.5 解直角三角形的应用同步练习题有答案

桂馥兰香

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桂馥兰香

2.5  解直角三角形的应用
◆基础训练
1．如图1，在地面上用测角仪DF测得旗杆顶端A的仰角a=40°42′，已知F点到旗杆底端C的距离FC=17.71米，测角仪高DF=1.35米，则旗杆高AC约为（精确到0.01米）（  ）
A．16.58米     B．15.23米    C．12.90米     D．21.94米
            
                 图1                    图2                     图3
2．如图2，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3米，则相邻两树的坡面距离AB为（  ）
    A．6米      B．米     C．2米     D．2米
3．如图3，在一块三角形空地上种草皮绿化环境．已知AB=20米，AC=30米，∠A=150°，草皮的售价为a元/米2，则购买草皮至少需要（  ）
    A．450a元      B．225a元     C．150a元    D．300a元
4．如图4，沿AC方向开山修隧道，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上取一点B使∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，B，C，E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（  ）
A．500sin55°米       B．500cos55°米   C．500tan55°米     D．米

      图4                图5             图6              图7
5．如图5，从某海岛上的观察所A测得海上某船B的俯角α=8°18′，若观察所A距离海平面的垂直高度AC=50m，则船B到观察所A的水平距离BC等于________（精确到1m）．
6．如图6，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于______米．
7．如图7，一根竹竿垂直插在水中，露出水面部分长0.5米，若竹竿顶部偏离原地2米，此时竹竿顶恰好与水面齐平，那么水深______米，竹竿偏离角α≈______（精确到1度）．
8．在△ABO中，OA=OB=5，OA边上的高为4，将△ABO放在平面直角坐标系中，使点O与原点重合，点A在x轴的正半轴上，那么点B的坐标是_______．


◆提高训练
9．如图8，要测量山上石油钻井的井架高BC，先从山脚A处测得AC=48米，塔顶B的仰角α=45°，已知山坡的坡角β=30°，则井架高BC为______米（精确到1米）．
           
           图8                   图9                         图10
10．如图9，线段AB，CD分别表示甲，乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD．从甲楼顶部A测得乙楼顶C的仰角α=30°，乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼的高AB=24米，则乙楼高CD为_______米．
11．如图10，在高为100米的山顶D上，测得一铁塔的塔顶A与塔基B的俯角分别为30°和45°，则塔高AB为______米（精确到0.1米）．
12．如图，已知测速站P到公路L的距离PO为40米，一辆汽车在公路L上行驶，测得此车从点A行驶到点B的所用的时间为2秒，并测得∠APO=60°，∠BPO=30°，计算此车从A到B的平均速度，并判断此车是否超过了每小时70千米的限制速度．



◆拓展训练
13．如图，从点A看一高台上的电线杆CD，顶端C的仰角为45°，向前走6米到B点，测得其顶端C和杆底D的仰角分别是60°和30°，求电线杆CD的高（精确到0.1米）．


14．如图，据气象台报告，在某市A的正南方向，距离A市100千米的B处有一台风中心，现正以40千米/时的速度沿北偏东30°方向往C处移动，台风中心周围60千米范围内的区域会受到影响，该城市会不会受到台风影响？如果会受台风影响，那么受台风影响的时间有多长？




参考答案
1．A  2．C  3．C  4．B  
5．343m  
6．10  
7．，28°
8．（3，4）或（3，－4）或（－3，4）或（－3，－4）  
9．18  
10．32  
11．42．3  
12．约83千米/时  超速  
13．9.5米  
14．会，小时

桂馥兰香

2.5  解直角三角形的应用
一、课前预习 (5分钟训练)
1.在下列情况下，可解的直角三角形是(    )
A.已知b=3，∠C=90°                   B.已知∠C=90°,∠B=46°
C.已知a=3,b=6,∠C=90°                 D.已知∠B=15°,∠A=65°
2.如图，用测倾仪测得校园内旗杆顶点A的仰角α＝45°，仪器高CD＝1.2 m，测倾仪底部中心位置D到旗杆根部B的距离DB=9.8 m，这时旗杆AB的高为________ m.
3.有一大坝其横截面为一等腰梯形，它的上底为6 m，下底为10 m，高为 m,则坡角为_______.
二、课中强化(10分钟训练)
1.有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是米，则原树高是_________ m.
2.一等腰三角形顶角为100°,底边长为12，则它的面积是_________________.
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,CD=，BD=,求AB及∠B.

                                                      
4.如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两幢楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，从甲楼顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α=30°，测得乙楼底部D的俯角β=60°，已知甲楼高AB=24 m，求乙楼CD的高.

                                                     
三、课后巩固(30分钟训练)
1.菱形ABCD的对角线AC长为10 cm,∠BAC=30°,那么AD为(    )
A.             B.              C.           D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是斜边AB上的中线，BC=4，CD=3，则∠A≈_________.
3.如图所示，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点A，在河南岸选相距200米的B、C两点，分别测得∠ABC=60°，∠ACB=45°.求这段河的宽度.（精确到0.1米）

                                                         
4.如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用的测量工具有皮尺、测倾器.
（1）请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：
a.测量数据尽可能少.
b.在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上.（如果测A、D间距离，用m表示，若测D、C间的距离，用n表示，若测角用α、β、γ表示）
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG.（用字母表示，测倾器高度忽略不计）

                                                         

5.如图，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m，上底宽为16 m，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.

                                                     


6.为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（如图）.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到0.1 m）

                                          
7.如图，某校九年级3班的学习小组进行测量小山高度的实验活动.部分同学在山脚下点A测得山腰上一点D的仰角为30°，并测得AD的长度为180米；另一部分同学在山顶点B测得山脚点A的俯角为45°，山腰点D的俯角为60°，请你帮助他们计算出小山的高度BC.（计算过程和结果不取近似值）

                                       
8.测量学校花园水池中一旗杆的高度.要求：设计活动的步骤，记录测量的数据，画出测量的示意图，计算旗杆的高度，最后与同伴进行交流总结.




参考答案
一、课前预习 (5分钟训练)
1.解析：一般地，已知两边、已知一个锐角一边、已知一个锐角和两个边的关系或已知三边的关系的直角三角形可解.∴C正确.
答案：C
2.

解：过C点作ＡＢ的垂线，垂足为Ｅ点，在Rt△ACE中,∠ACE=α=45°,BD=9.8,∴AE=9.8.
∴AB=AE+CD=11(m).
答案：11
3.解：设坡角为α,则坡度=tanα=，∴坡角为60°.
答案：60°
二、课中强化(10分钟训练)
1.解析：如图，在Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AC=,

∴AB==10,BC=AC·tanA=5.∴原树高为15米.
答案：15
2.解析：如图所示，作CD⊥AB,在Rt△ADC中,得AD=6,∠ACD=50°，

∴CD≈5.03，∴面积为30.18.
答案：30.18
3.解：过D点作DE⊥AB于E点，设AC=x，则AE=x.

在Rt△BED中，得到BE=3,又由AB2=AC2+BC2，得（3+x）2=x2+27,解得x=3,AB=6,
sinB=,∴∠B=30°.
4. 解：过点A作AE⊥CD，在Rt△ABD中，∠ADB=β，AB=24,∴BD=在Rt△AEC中,∠CAE=α,BD=,∴CE=8.∴CD=CE+AB=32(米).

三、课后巩固(30分钟训练)
1. 解析:如图，∵AC⊥BD,

∴AD=.
答案：A
2.解析:由CD=3,得AB=6,∴sinA≈0.666 7.∴∠A≈41.8°.
答案：41.8°
3. 解：过A作BC的垂线，垂足为D.
在Rt△ADB中，∠B=60°，
∴∠BAD=30°.
∴BD=AD·tan30°=AD.
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴CD=AD.
又∵BC=200，
∴BD+CD=AD+AD=200.
∴AD=≈126.8(米).
答：这段河宽约为126.8米.
4. 解：（1）方案如图，只需测三个数据.
(2)设HG=x,在Rt△CHG中,CG=,

在Rt△DHM中，DM=，∴=.
∴x=.
5.如图28-2-3-6，高速公路路基的横断面为梯形，高为4 m，上底宽为16 m，路基两边斜坡的坡度分别为i=1∶1，i′=1∶2,求路基下底宽.

图28-2-3-6
解：作高AE、DF，则BE=4,CF=8.
∴CB=28（米）.
6.解：在Rt△ABD中,AB=9,∠BAD=18°，
∴BD≈2.9.
∴CD=2.4.在Rt△CDE中,∠DCE=18°,
∴CE≈2.3(米).
答：略.
7.解：如图，作DE⊥AC于E,DF⊥BC于F,设山高为x米，在Rt△ADE中，DE=90，AE=,
∴DF=x-,BF=x-90.在Rt△BFD中，DF∶BF=tan30°,
∴x=90+（米）.

8.测量学校花园水池中一旗杆的高度.要求：设计活动的步骤，记录测量的数据，画出测量的示意图，计算旗杆的高度，最后与同伴进行交流总结.
略

桂馥兰香

2.5 解直角三角形的应用
一、选择题
1、如图，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于（   ） ．      
(A)．1        (B)．
(C)．        (D)．
2、如果是锐角，且，那么的值是（   ）．
（A）     （B）       （C）         （D）
3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm，那么底角的余弦等于（   ）．
（A）     （B）       （C）      （D）
4、以下不能构成三角形三边长的数组是（   ）．
  （A）（1，，2） （B）（，，）
（C）（3，4，5）   （D）（32，42，52）
5、在Rt△ABC中，∠C＝90°，下列式子中正确的是（   ）．  
（A）       （B）
（C）       （D）
6、在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且,
AB = 4, 则AD的长为（   ）．                                                  
  （A）3    （B）    （C）      （D）
7、某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（   ）．                                                      
  





（A）450a元   （B）225a元   （C）150a元    （D）300a元
8、已知α为锐角，tan（90°－α）=，则α的度数为（   ）．
（A）30°  （B）45°   （C）60°   （D）75°       
9、在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinA的值是（   ）．
（A）          （B）        （C）    （D）






10、如果∠a是等边三角形的一个内角，那么cosa的值等于（   ）．                                                      
  （A）    （B）    （C）      （D）
二、填空题
11、如图，在△ABC中，若∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝，则
BC＝      
12、如图，沿倾斜角为30的山坡植树，要求相邻两棵树的水
平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB
为       m。(精确到0.1m)
13、离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为， 如果测角仪高为1.5米．那么旗杆的高为          米（用含的三角函数表示）．
14、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米。一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米。
15、某校自行车棚的人字架棚顶为等腰三角形，D是AB的中点，中柱CD = 1米，∠A=27°，
则跨度AB的长为        (精确到0.01米)。
三、解答题
16、已知：如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠B＝30°，CD＝6，求AB的长．





17、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽（精确到0.1米）.







18、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.   
   问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？










19、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝16米，坝高 6米，斜坡BC的坡度.求斜坡AD的坡角∠A（精确到1分）和坝底宽AB．（精确到0.1米）





20. 在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案（如图1所示）：
（1）在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α ；
（2）量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m;
（3）量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN。
如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度（如图2）
1）在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图（标上适当的字母）
2）写出你的设计方案。                                                                             










参考答案
一、选择题
1、B  2、C  3、A  4、D  5、B  6、B  7、C  8、A  9、A  10、A
二、填空题
11、    12、2.3    13、1.5 +20tan    14、13    15、3.93米
三、解答题
16、8        17、18.1米     18、可求出AB= 4米
∵8＞4  
∴距离B点8米远的保护物不在危险区内
   19、 ∠A =22°1′     AB=37.8米
   20、1）
2）方案如下：
（1）测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α ；
（2）测点B处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MDE＝；
（3）量出测点A到测点B的水平距离AB＝m;
（4）量出测倾器的高度AC＝h。
根据上述测量数据可以求出小山MN的高度