到生活中学数学在生活中用数学

网站工作室

到生活中学数学 在生活中用数学

——《黄金分割——一个有趣的数学问题》课堂教学与评析

河南省濮阳市油田三高　姜　锋



　　新课程标准确定了知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观三位一体的新目标。新课标指出：“数学学习活动要通过收集数据、描述数据、分析数据的过程作出合理的决策。” “认识体验数学活动充满着探索与创造，感受其中的数学思想方法，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。”“认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、数学在现实世界中有着广泛的应用，领略数学命题和数学方法的美学价值。”

要使上述教学新理念在教学中得到落实，除了认真研读《数学课程标准》，更重要的是要领会新教材的精神和内涵，结合教学实际机动灵活的实用教材，要敢于创新。基于此想法，笔者在执教九年义务教育四年制人教版《几何》第二册§5.1节《黄金分割》一课时做了一些尝试，本节课教学内容是在课本中该内容是分成了两个部分出现的：第一部分是课本P159的一个定义；第二部分是课本的P176“读一读”内容在教材中虽然不占有重要地位，但它与以后学习的正五边形有联系，现将教学过程实录如下。

Ⅰ、创设情景、激发兴趣

[教师]1、来自生活的问题:

①你看过文艺晚会吗?主持人是站在舞台中央报幕的吗?为什么?

②外界温度是多少时身体感到最舒适？为什么?

[学生1]：略

（来自生活的问题贴近生活、激发学生好奇心，回答不完整也没关系。重在引起学生注意，激发学习兴趣。）

[教师] 2、实例估算 ：

①向日葵花盘，有两组螺旋线，一组顺时针盘绕，另一组逆时针盘绕，彼此相嵌。不同品种中，种子顺、逆时针方向和螺旋线的数量有所不同，但不会超出34和55、55和89或者89和144这三组数字。求第一组数的比值。

②五星红旗通用尺度有如下一种：宽64厘米，长96厘米。求宽与长的比值。

③维纳斯雕像高约204厘米，下身长（肚脐以下）约126厘米。求下身与身高的比值。（均保留三位有效数字）

[学生2]：略

[教师]这几组比值都接近0.6，这是巧合还是隐藏着一定的规律？今天这节课我们就来揭示其中的奥秘。

（教师引导学生有意识地进行简单的数据估算。根据数据作出判断与预测，让学生大胆地猜测。通过实例的估算，形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯，培养学生直觉思维能力，从而提出疑问，激发学生的求知欲。）

Ⅱ、导入新课、探索新知

课题：黄 金 分 割 —— 一个有趣的数学问题

[教师]问题的历史背景：

在2000多年前希腊学者欧多克斯(公元前408年—公元前355年),提出这样一个问题:能否将一条线段分为不相等的两部分,使较长的部分为原线段和较短线段的比例中项? 这一问题被后人称为黄金分割。

（让学生了解黄金分割问题的历史，建立数学模型进而解决问题，增强求知的欲望。）

网站工作室

[讲授新课][教师]1、黄金分割的定义；

        图1
定义:如图，把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做AB的黄金分割点.
（通过课件，直观地将黄金分割的定义展示在学生面前，让学生运用图形直观形象地描述问题，利于问题思考。）
[教师]2、长度为1的线段黄金分割点的具体位置在哪？
（老师提出问题：黄金分割点的代数找法，让学生自己探求结果。）

如图：点C是AB的黄金分割点,如果AB=1,
那么点C 在AB的什么位置?      


          图2
[学生3] 解：不妨设AC=x，则BC=1–x
∵ C是AB的黄金分割点, ∴ AC2=BC·AB
∴得方程：x2=1-x    即: x2+x-1=0
解这个方程得：x=     ∴ AC=
那么从上面的题解不难发现:
点C的位置是可以确定的.由计算的结果得AC=AB≈0.618AB.
所以0.618被人们称之为黄金分割数. 点C称为是线段AB的黄金分割点。
[教师]3、黄金分割点的作法:
那么怎样把一条线段黄金分割呢?你能用尺规作图的方法找出一条线段的黄金分割点吗？
（老师设疑：黄金分割点的几何找法。对问题进行更深层次的讨论，引起学生思考探究问题，满足学生的好奇心，促进学生智能的发展。）
[课件] 黄金分割点的尺规作图演示：









             图3
[老师]已知：线段AB   求作：AB的黄金分割点
作法：(1)过点B作BD⊥AB,使2BD=AB
(2)连结AD,在DA上截取DE=DB
(3)在AB截取AC=AE
点C就是线段AB的黄金分割点

（多媒体课件的动画演示：黄金分割点的尺规作图。通过电脑动画演示作图过程，给学生以具体化、形象化的展示，增强对黄金分割点作图的感性认识，加深印象，使知识掌握更加牢固）
[老师]为什么按照上述做法可得到线段AB的黄金分割点？能说出理由吗？
[学生4]证明：证明：设AB=a，则BD=DE=a
在Rt△ABD中根据勾股定理得：AD=
∴AC =— a = a
∴BC=a   ∴AC2=AB·BC         即点C是AB的黄金分割点。
（学生板演给其他同学做示范。老师点评时要注重引导学生思思路， 注意规范书写及逻辑推导的严谨性）
Ⅲ、检测反馈、应用新知
巩固练习：（略）

创新练习：
科学家研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某女士身高为158cm，下肢长为95cm，该女士穿的高跟鞋鞋跟的最佳高度约为cm。（精确到0.1cm）
（巩固练习是检验学生的基础知识是否掌握，也为了使新知达到熟练程度。创新练习是是学生将知识形成技能技巧，发展智力的重要手段。能否活学活用解决生活中的问题，体现数学的应用价值。）
Ⅳ、网络查询、相关应用
互联网搜索引擎google、百度（baidu）
（通过上网查询与黄金分割相关的网页，教给学生通过互联网查找相关知识的方法和技巧，让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息、学会查找资料，学习、学会筛选有价值的信息。）
[教师]在搜索栏内键入“黄金分割”，然后搜索，会发现相关网页。
（让学生根据自己事先搜集的资料交流！）
[学生5]
0.618——神奇的黄金数
若点C把线段AB分割成AC、CB两段，(AC>BC）若AB：AC=AC：CB，即AC2=AB?BC，当AB=1时，可得AC≈0.618。由于0.618有许多极为宝贵的性质，因此人们珍惜地称之为黄金分割数，称点C为黄金分割点，把这种分割称为黄金分割，它在社会各领域内被人们广泛地应用。

黄金分割在艺术和生活中的应用

画家及雕塑家研究发现，人体上有很多黄金分割点：当人的两手向左右两边伸直，肩胛是黄金分割点；嘴是鼻至下颏的黄金分割点；鼻尖是嘴和眉心的黄金分割点；眼睛是头的上下部的黄金分点……意大利画家达?芬奇发现，人的肚脐约位于身长的0.618处。雕塑家、画家在设计塑像或人像时，总是尽量按0.618：1，设计下半身与身高的比例，这样设计出来的人体身材最美，而女性下半身的长度平均只占身高的0.58，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值接近0.618，从而创造艺术美；“蒙娜丽莎”之所以成为世界名画，画家在构思人体各部位的结构时，无不充分运用0.618。
科学家们发现，当外界环境温度是人体温度的0.618倍时，即37°C×0.618≈23°C时，人会感到最舒适，在这一温度中，新陈代谢、生理节奏和功能均处于最佳状态。姑娘穿高跟鞋、芭蕾舞演员踮起脚尖起舞，目的也无不是为创设0.618；舞台报幕员也决不是站在舞台中央报幕，而是站在舞台约0.618的位置最好；摄影师取景时，特别重视0.618的运用；建筑设计师设计窗框的宽与长的比越接近0.618越好看，进入屋内的光线也最多……
[教师] 维纳斯雕像长期以来一直被认为是迄今被发现的希腊女性雕像中最美的一尊，我们在欣赏时会感受女神身体各个部位无不洋溢着匀称的魅力，这是为什么呢？
[课件]
维纳斯雕像flash（欣赏数学的美，体会数学的美就是自然的美）
[学生6] 自然界中的黄金分割
在自然界，植物的花瓣及主干上枝条的生长，也符合黄金分割规律。百合花3瓣花，梨5瓣花，飞燕草8瓣花，瓜叶菊13瓣花，向日葵的花瓣有的是21枚或34枚；雏菊的花瓣是34、55或89枚。而其他数目花瓣的花则很少。这些数有什么规律吗？它的规则是前面邻近两项之和就是下一项，就可以写出数列：1、1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,…这个数列有一个特点，就是前项被后项除，其值从第八项以后均接近0.618。葵花子在花盘上的生长，菠萝表皮上的凸起，松树果球的鳞片，这些天然生长的螺旋列均与黄金分割有关联。
[学生7]随着社会的发展人们不但要吃好还要吃出健康，饮食也有黄金分割律

黄金分割律不仅是美学造型方面常用的一个比值，也是一个饮食参数。膳食中，谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例要达到黄金分割的比值，才利于身体健康。如：肉、蛋、油、糖、酒属于酸性食物，进食过多会使血液偏酸，导致酸性体质，使免疫能力下降，容易患病。据统计，有61.8％的疾病缘于酸性体质。所以，应该多吃些碱性食物，如：海带、食用菌、蔬菜和水果，进食量应占膳食总量的61.8％，使血液保持正常的微碱性。在一些人的饮食结构中，“黄金分割律”被打破了，这就造成心血管疾病、糖尿病、肥胖症的发病率大大上升。
[学生8]股市与黄金分割也有关系，黄金分割线是许多股民的法宝。
股票技术分析人士将黄金分割定律引用在股票市场，在股价预测中，黄金分割分析方法的具体运用为行情发生转势后，无论是止跌回升或是由升转跌，都以近期走势中重要的峰位和底位之间的涨幅作为计量的基数，将原涨跌幅按0.191、0.382、0.5、0.618、0.809分割为五个黄金点。股价在反转后的走势将有可能在这些黄金点上遇到暂时的阻力或支撑。用‘黄金分割律’预测股价变动，探讨股价变动的高低点，发现准确性不低，而成为投资人预测未来股价变动完成点的主要测试标准之一。
[学生9]数学家华罗庚与黄金分割结下不解之缘
著名数学家华罗庚，他在数学的诸多领域(如数论、代数、多复变函数论)的杰出贡献闻名中外，同时他致力于数学为国民经济服务。他提出了“优选法”， 从1964年起，走遍大江南北二十多个省市，推广优选法，用得最多的是0.618法，1971年7月出版了小册子《优选法平话》，书中着重介绍了0.618法(黄金分割法)。这种优选法适用面广，操作简单，效果显著，受到工厂工人的欢迎，使我国的工农业生产取得了巨大的经济效益。
黄金分割不仅仅是美学意义上规则，它也是个自然法则。
（通过欣赏黄金分割在美术、建筑、饮食、股市等方面的广泛应用， 认识数学与自然和人类生活的密切联系及对人类社会发展的作用，感受数学的美，体会数学的应用价值。）
[教师]小组交流这节课的学习体会

[教师总结]
①黄金分割问题是总结大量事例抽象出的几何问题
②数学规律源于人们的生产社会实践，它是自然规律；数学规律指导我们对未知领域的探索；数学的美实质上是自然的美
③人类对未知领域的探索才刚刚开始，同学们将是这探索队伍中的一员，要师法自然，向自然学习，总结自然规律。只有用规律指导我们的活动，才能发现自然的奥秘。
（学生交流发言获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。）
Ⅴ、交流合作、运用创新
1、自己上网用搜索引擎搜索与“黄金分割”有关的网页，寻找黄金分割在其他领域的应用。写成数学小论文与他人共享。

如：黄金分割与向日葵；黄金分割与摄影构图
2、请同学们搜集蕴涵黄金分割律的几何图形或图片，大家来共同欣赏。

如：


























经典的黄金分割，松鼠的前面留出空地，若有所思的生态跃然纸上，令人忍俊不禁。


（通过写数学小论文和搜集蕴涵黄金分割律的几何图形加强对数学的理解和激发学好数学的信心，通过搜集、欣赏、交流丰富知识内涵，突出人文文化的渗透，提高学生的数学素养、人文素养、科学素养。）
教学反思：
反思之一：新课程改革倡导改变学生的学习方式。
数学学习不能局限于书本和课堂，新课标要求我们打破原有以课堂为中心的界线，使课堂得到扩大，并向社会和大自然延伸，为培养学生的创新能力和实践能力提供了广阔的空间。本节课内容在教材中不占有重要地位，但它的内涵比较丰富。对这节课是“小题大做”，打破以书本知识为唯一学习途径的局限，通过创设情景、让学生资助探求、上网搜集资料、小组交流等不同形式的学习，使学习过程转变成学生产生兴趣、不断提出问题、分析问题、解决问题的探索过程，使学生感受数学学习活动的探索过程，获得一些研究数学问题的方法和经验，让学生在问题解决中求知，拓宽学习的渠道，激发起学习的积极性和潜力。
反思之二：新课程改革要求课程内容密切联系生活和时代。
新课标要求学生面对实际问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。本节课从生活中的问题入手，通过引用大量黄金分割在生产实践中应用的例子，让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，以及数学在现实世界中有着广泛的应用及对人类历史发展的作用。这样有效地改变学生学习生活和现实世界相脱节的状况，推动学生学习的主动性和积极性，切实感受到数学是生活的需要。
反思之三：新课程应使学生获得良好的情感体验。
数学教育要尊重学生的个性、尊重学生的志趣；数学教学要使学生感到有趣、有用、有奥妙，并使学生获得成功后的愉悦感，这些对于学生终身发展都是极为重要的。本课通过创设情景、实例估算、直觉感受、重现问题的历史背景激发学习好奇心与求知欲；通过探索黄金分割代数解法和几何解法的是学生敢于质疑和独立思考并能作出实事求是的推断，感受数学的严谨与确定性体；通过上网查寻搜集与黄金分割有关的资料、写小论文小组交流感受到体验成功的喜悦，增进对数学的理解和学好数学的信心。
反思之四：新课程体现课程结构的综合性。，使学生获得良好的情感体验
人是教育的起点，也是教育的归宿。教育的归宿是学科还是人，反映了两种不同的教育价值观。过分强调学科的独立性和重要性，忽视了作为教育对象的学生，这种教育观从根本上背离了基础教育的本质和使命。学校的数学教学应为学生以后的工作、生活和进一步的深造提供必须的基础知识和思想方法，因此让学生在学生知识的同时，“学会做人，学会学习”。本节课学生通过体验数学活动中探索与创造的快乐，了解黄金分割在其它领域的运用，来感受数学的美。通过淡化学科界限，强调学科间的联系与综合，注重不同课程领域对学生发展的影响，使学生得到全面、均衡、富有个性地发展，从而提高学生的数学素养、人文素养、科学素养。