《线段的中垂线》课堂实录

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《线段的中垂线》课堂实录



山东省淄博市临淄区皇城镇第二中学　边廷玉



（上课铃响，师生问好）



师：这节课我们学习《线段的垂直平分线》（教师板书课题）



师：请回忆在七年级时，我们用折纸的办法得到了线段垂直平分线上的点有什么性质？



（学生独立思考，小声在小组内交流后举手）



生：线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．



（刚说完很多同学举起了手，急切望着老师）



生：不是到线段的距离相等，而是到这条线段两个端点的距离相等．



师：回答的很好，请坐．



师：谁能完整的再说一遍？



生：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．



（学生一边说，师一边板书到黑板上）



师：仅仅凭折纸得到这一性质是不够的，还必须利用公理、已学过的定理推理、证明它．现在就请同学们写出已知、求证，画出图形，并尝试着证明．



（学生迅速在练习本上写，教师巡视每个小组的情况．3名学生板演）



……



师：（巡视发现学生基本完成画图、已知、求证后）把你遇到的疑问在小组内交流，组长到黑板上用红粉笔纠错



生：（积极询问、讲解、争论）……



师：（根据发现的问题点拨）完成好画图、已知、求证的关键是分清命题的条件和结论．



“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的条件和结论是什么？



（学生小声议论不敢举手）



师：（继续鼓励）试着把这个命题改写成“如果……，那么……”的形式．



（思考后有不少学生举手）



生：如果一个点是线段垂直平分线上的点，那么这个点到这条线段两个端点的距离相等．



师：很好．结合命题的条件及你的图形，已知怎么写？



生：已知：直线MN⊥AB，垂足是点C，AC=BC，

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P是MN上的任意一点．

　　



师：很规范，尤其注意点明：P是MN上的任意一点．


师：结合命题的结论，求证怎么写？


生：求证：PA=PB


师：修改自己的错误．分析怎么进行证明？


……


生：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否全等，用SAS证明△PCA≌PCB


师：请列举出全等的三个条件


生：AC=BC，∠PCA＝∠PCB＝90°，PC=PC


师：回答很好．谁能口头证明？


（学生纷纷举手，提问一4号学生）


生：因为MN⊥AB，所以∠PCA＝∠PCB＝90°.



又因为AC＝BC，PC＝PC，所以△PCA≌PCB(SAS)．


所以PA＝PB(全等三角形的对应边相等)


师：回答很棒，请坐．


师：现在，我们不仅直观认识到，而且证明了线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．结合黑板的图请思考怎样用几何语言叙述此定理？


（生思考，小声交流后举手）


生：因为MN⊥AB，AC=BC，P是MN上的任意一点．所以PA=PB


师：很好，还有不同叙述吗？


生：因为MN是AB的垂直平分线，P在MN上．所以PA=PB


师：可以，还有不同意见吗？


生：因为PC⊥AB，AC=BC．所以PA=PB


师：很简洁，好．请在P24页定理旁做好笔记，并结合图形理解记忆．


生：（迅速做笔记，小声记忆）… …


师：你能写出上面这个定理的逆命题吗?


（独立思考，小组内交流，教师引导回顾定理的“如果……那么……”形式）


生：逆命题是如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等


师：很完整．谁能把它描述得更简捷?


（学生思考）


生：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．


师：（老师板书到黑板上）回答很好，请坐．那么这个逆定理是真命题吗？为什么？



（学生先思考，再交流）


生：是真命题．


师：（引导）如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请说出已知、求证．


生：已知：如图，线段AB，PA＝PB．


求证：P点在AB 的垂直平分线上．


（师生共同画出图形,思考交流怎样证明）


师：（引导）欲证P点在AB 的垂直平分线上，可以过P做一条直线，证这条直线垂直于AB且平分AB，因为过P的直线无数条，所以我们可以过P做一条直线垂直于AB，或平分AB，再证．


生：（积极讨论，相互讲解，有了证法的小组举手）… …


师：（巡视发现问题及时指导，几分钟后提问）请说出你们的想法．


生1：可过点P作已知线段AB的垂线PC．


因为PA＝PB，PC＝PC.



所以用HL定理可以证出Rt△PAC≌Rt△PBC．



所以AC＝BC，



即P点在AB的垂直平分线上．
　　　



师：可以吗？


生：可以．


师：有不同证法的请说说


生2：可以取AB的中点C，过PC作直线．



因为AP＝BP，PC=PC，AC＝CB，



所以用SSS公理证出△APC≌△BPC．



根据全等三角形的对应角相等可以得到∠PCA=∠PCB．



又因为∠PCA+∠PCB二180°，



所以∠PCA=∠PCB＝90°，即PC⊥AB．



所以P点在AB的垂直平分线上．
　　　　　　

师：听明白了吗？


生：明白了．


师：说的很严谨，很好．还有不同证法吗？



生3：还可以过P点作∠APB的角平分线.


因为AP＝BP，∠1=∠2，PC＝PC.



所以用SAS公理证出△APC≌△BPC ．



再根据全等三角形的对应角相等，对应边相等可以得到AC＝BC，∠PCA＝∠PCB ．



又因为∠PCA+∠PCB＝180°，所以∠PCA＝∠PCB＝90°．



所以P点在线段AB的垂直平分线上．
　　　　　　

师：分析很详细．明白吗？


生：明白．


师：老师有一个问题：过P作线段AB的垂直平分线PC可以吗？谁能帮帮老师？


生：（很兴奋，积极讨论）……


生1：不可以．


生2：可以．


生1：（到黑板上画图，讲解）如图(1)，PD⊥AB，D是垂足，但D不平分AB；如图(2)，PD平分AB，但PD不垂直于AB．所以过P作AB的垂直平分线是不可能实现的．
　　　　　



师：很精彩！这里作辅助线时不会即垂直又平分，只能满足其中一个条件．从同学们的推理证明过程可知线段垂直平分线的性质定理的逆命题是真命题，我们把它称做线段垂直平分线的判定定理．谁能用几何语言叙述出这个逆定理？


（思考片刻，积极举手）


生：因为PA=PB，所以点P在线段的垂直平分线


师：在课本P25页定理旁边做好笔记．结合图形理解记忆．


生：（做笔记，小声记忆）……


师：还记得怎样用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线吗？


生：（迅速那出直尺、圆规，开始尝试）


师：（找两名3号同学板演展示，老师巡视）
　　　　　　　



师：小组内纠错，同组2号同学给黑板上的做法批阅．


生：（相互讲解，改错）


师：（强调）画弧时半径要大于AB的长；因为两点确定一条直线，所以必须要四弧两交点．请你思考这样作出的CD为什么是AB的垂直平分线?请与同伴进行交流．


生：（交流气氛很高，小组内展开积极讨论，一段时间后，举手抢答）


生： 从作法的第一步可知 AC＝BC，AD＝BD．


所以根据线段垂直平分线的逆定理得到C、D都在AB的垂直平分线上


再根据两点确定一条直线知CD就是线段AB的垂直平分线


师：回答很棒，应用了线段垂直平分线的逆定理．


师：请看黑板回顾本节课的内容，你有什么收获？


生1：学会了证明线段垂直平分线的性质定理，清楚了它的几何语言推理


生2：我还知道了线段垂直平分线的逆定理及证明，会了几何语言推理


生3：我知道了尺规作线段垂直平分线为什么正确


生4：我知道这节课学习的两个定理是互逆定理


师：同学们的收获不小，老师很高兴．下面考考你，完成P25页随堂练习1、2，习题2、3，每题各有两名学生板演展示（教师巡视，对特别学困生个别指导）


生：（安静的，很投入的思考，书写）


师：小组内交流你的疑问，同组的小组长到黑板给同学批阅


生：（讲解，讨论，改错）


师：（点拨提升）随堂练习2，点C、点D的位置有两种：C、D在线段AB的同侧，或C、D在线段AB的异侧．分情况进行证明．


生：（反思改错）


师：同学们学习的不错．下面请完成达标作业（试卷）


1．M、N、A、B 是同一平面上的四个点，如果 MA=MB,NA=NB，则点　　　　、　　　　　在线段　　　　的垂直平分线上．
2．设线段AB的垂直平分线MN交AB于点C，P是MN上不同于点C的一点，那么
△ PAB 是　　　　三角形，PC是这个三角形的　　　、　　和　　　．


3．到一线段两个端点距离相等的点（
）


A只有一个   B 有有限个    C 有无数个    D 以上都不对


4．已知： △ABC中AC＝AB=14,BC=10.


AB的垂直平分线MN交AC于D,


求△BCE的周长．
　　　　　　　



5．一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB两侧的 村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M、N的距离相等？


生：（迅速独立完成）


师：（ 巡视，发现问题，便于及时反馈）


师：订正答案，第1题的答案是？


生：点M、N在线段AB的垂直平分线上


师：关键画出图形，确认谁是点，谁是线段两端点．第2题的答案是？


生：△ PAB 是等腰三角形，PC是这个三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线


师：第3题的答案是？


生：选C


师：为什么？


生：因为到一线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，线段的垂直平分线上的点有无数个，所以选C


师：解释的很好．说出第4题的思路


生：因为DE是AB的垂直平分线，所以BE=AE，所以BE+EC=AE+EC=AC=14，又因为BC=10，所以△BCE的周长=BE+EC+BC=AC+BC=14+10=24．


师：分析很清楚，你们明白了吗？


生：明白了


师：说出第5题的作法


生：作MN的垂直平分线CD，交AB于点P，则点P就是符合要求的点．


师：有没有不同意见？


生：先连接MN，再作MN的垂直平分线


师：很好，请坐．把5个题目中你出现的问题进行改正．


（教师根据课堂表现、达标情况评价出优秀小组，下课铃响）


师：反思这节课你的收获、你出现的错误，课后进行整理．