新课程背景下小学数学教师本体性知识的缺失及其对策研究

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上海市静安区教育学院　　曹培英

一、问题的由来与本课题的前期研究
课程改革给教师发展带来了新的挑战。尽管改革的成败取决于方方面面众多因素，但教师是其中的关键。面对前所未有的挑战，教师的知识状况是否适应新的要求？如有不适应，应该怎样应对？这是我们必须认真加以研究并做出回答的一个问题。
一般认为，教师的知识可以分为三个方面，即教师的本体性知识、实践性知识和条件性知识。教师的本体性知识（subject?involved knowledge）是指教师所具有的特定的学科知识，对于小学数学教师来说，就是数学知识。教师的条件性知识（conditional knowledge）是指教师具有的教育学与心理学知识。教师的实践性知识（practical knowledge）是指教师在面临实现有目的的教学行为中所具有的课堂情境知识，实际上就是通常所说的教学实践经验、实践智慧。
本研究主要针对小学数学教师本体性知识的现状展开。研究者认为，数学教师的本体性知识，既包括显性的可言传数学知识，也包括隐性的默会知识即数学能力、素养，是两者的统一体。
（一）国外关于数学教师本体性知识的研究结论
国外有关数学教师本体性知识的研究，影响较大的当数美国“全国数学教师理事会”（NCTM）于20世纪60年代进行的“全国数学能力纵向研究”（NLSMA）所得出的相关结论。这是一项持续5年，有11万多4—12年级学生参加的超大型调研。这里，引用美国学者芬内玛（Elizabeth Fennema）和弗伦克（Megan Loef Franke）“教师的知识及其影响”一文中的综述：“尽管相信数学知识的重要性，尽管有迹象表明一些教师不具备相应的数学知识，但研究工作对教师的数学知识和学生学习之间存在着直接关系的看法并不给以很大支持。”“NLSMA调查者仔细地核实了教师所学过的数学课程的数量，然后测算这些数量和学生学习之间的相关系数，他们没有发现重要的关系。5年后，艾森伯格（Eisenbeng）重复这一研究，得到了同样的结论。”[1]
这类研究的明显不足是对教师所掌握知识的测度不够合理。很显然，用教师先前学过的数学课程数目作量化指标，难以反映教师对数学知识的理解程度和应用水平。正如芬内玛和弗伦克针对这类研究中关于知识测试与相关系数计算方面的问题分析后所指出的：“可能是不适当的知识测量与相对有限的研究方法隐蔽了原本存在着的教师知识与学生学习之间的相互关系。”[2]再者，将教师数学知识的自变量对应于学生成绩一个因变量，使得这类研究“对教师的知识是如何综合起来的，或在所学的大学课程与课堂教学之间是否存在着相互关系，没有提出多少依据”。[3]因此，“人们的普遍反应是，我们不应该轻易地去否定数学知识的重要性，而应对这一问题作出更为深入的研究”。[4]
（二）国内关于数学教师本体性知识的研究结论
在我国，长期以来，一种根深蒂固的观念是，教师必须具有足够的学科知识，才能应付自如地教学。“给学生一杯水，教师自身要有一桶水”便是这一观念的真实反映。
然而，到了20世纪90年代中期，国内也有研究得出与上述NLSMA调查者相类似的结论。如林崇德、申继亮、辛涛的研究（1996）称：“我们的研究表明，教师的本体性知识与学生成绩之间几乎不存在统计上的关系。我们认为，教师需要知道一部分学科知识，以达到某种水平，但并非本体性知识越多越好。”[5]由于没有报告研究的方法与过程，因此无从对“几乎不存在统计上的关系”作出评估。就结论而言，可以认为只是陈述了一个众所周知的判断：教师拥有一定的知识，对于搞好教学是必要的，但不具充分性。由此得出的推论是，从某种意义上说，教学的中心任务就是对学科作出教育学的解释，并把学科知识“心理学化”，以便学生接受与理解。
进一步的研究，有一项是以北京97名小学数学教师为调查对象，对其职业知识进行的调查分析。该调查“根据教师的三种知识类型，结合对9名有经验的一线小学数学教师的访谈”分别编制问卷。对于学科知识，主要从小学数学的基本概念、公式的运用及应用题等方面予以考查。“从教师对数学学科知识的掌握情况来看，小学数学教师在学科知识基本概念的理解、公式的运用以及应用题等方面的答对率（题目得分/总分）都在85%以上，说明当前小学数学教师对学科知识的掌握是比较好的”，但他们“对条件性知识与实践性知识的掌握都不能令人满意”。[6]
这里，透视“观念—结论”的变迁，不难发现，它实际上反映了对教学的关注，从学科知识向学科知识与学生认知整合的转移，同时也折射出教学的价值取向，从追求知识传授向追求学生更广泛发展的倾斜。这无疑是一种发展、进步，应当加以肯定。
问题在于，首先，为了实现新的追求，教师的本体性知识应当达到何种水平，才能保证在对学科知识作出教育学的解释和心理学的加工时不至于出现知识性、科学性的偏差。可以说，这一直是一个悬而未决的问题。
诚然，要对本体性知识的“某种水平”作出泛学科的、较为一般的具体刻画是困难的，特别是中小学课程内容的不断更新，进一步加大了从理论上作出这一刻画的难度。但是，对现阶段任教某一学段、某一学科的教师，如小学数学教师，他们所拥有的本体性知识水平，是否适应目前正在推行的课程改革的要求，通过调研作出具体判断，却应该是可行的，也是课改推进的实践所十分需要的。
其次，用“小学数学的基本概念、公式的运用及应用题”等小学生应该掌握的内容，作为小学数学教师本体性知识的测度项目，是否有失偏颇？换句话说，用“给学生的一杯水”来测量“教师的一桶水”合适吗？那么，又如何来测量教师的一桶水呢？是测量它的量，还是测量它的质？
有鉴于上述国内外从量的视角，以静态测度研究数学教师本体性知识所存在的局限性，本研究拟从质的视角，动态考察小学数学教师本体性知识的状况。首先从课堂观察与现象分析入手，发现调研测试的素材，然后从课改推进中的教学需要着眼，确定测量内容，力求使质的测度具有一定的代表性和充分的现实意义，进而辅以访谈与个案研究，使研究更为动态化。
（三）新一轮课改实施以来听课观察中发现的问题
在近两年来听课观察与对话交流过程中发现，近一半的课后分析或多或少涉及学科知识的纰漏或对学科知识理解的偏差。
［案例1］
作为三角形的稳定性和四边形不稳定性的练习，一位教师设计了这样一道选择题：
一个长方形木框，钉上木条，下面哪种方式能使木框不再变形。（    ）
                 
      A                B                   C                 D
教师设定的答案是D，理由是按A、B两种方式钉上木条，组成了两个、四个四边形，仍会变形。方式C组成了一个三角形和一个五边形，五边形也是会变形的，只有方式D组成了两个三角形，具有稳定性。
这是青年教师联谊会一节公开课中的一个教学片段。课后参加听课的教师（都是各校推荐的教学新秀）都认为没有问题。当笔者指出初中几何有这样一条定理：一个角是直角的平行四边形就一定是长方形。于是，多数教师恍然大悟，但仍有几个教师将信将疑，认为还需要实践检验。
这是较典型的本体性知识错误，教师教错了。此外，还有两类反映教师本体性知识缺失的现象，一是学生提出疑问，教师难以解惑；二是按似是而非的理解加工教学内容。下面各举一例。
［案例2］
在引入平角、周角等概念后，一位青年骨干教师让学生自己提出问题。他把学生提出的问题板书在黑板上，差不多写了半黑板。可见学生的学习积极性被充分调动起来了。接着，教师让学生小组讨论，看哪些问题自己能解答。随后交流，大家认为满意了，就把该问题擦掉。最后还剩下一大半问题，学生无法解答或有学生试图解答，但其他同学不认可。于是教师说：这些问题，以后进一步学习数学时会明白的。
遗留下来的问题中有两个是：0°角与周角有什么区别？有没有大于360°的角？
课后，教师坦率地承认，之所以这样处理，是因为自己不知道该如何解释，才能使学生明白。事实上，教材已经给出了一条射线绕着它的端点，旋转半周生成平角，旋转一周生成周角。利用这一基础，这些问题完全可以采用小学生能领会的方式作出解释。例如，让学生伸直右臂前平举不动，表示0°。然后身体连续两次“向后转”，即旋转360°，这时手臂又回到了原来的位置。通过活动，学生自己就能感悟0°与360°的区别与联系。如果连续三次向后转，旋转的度数就大于360°，第二个问题也就有了答案。
［案例3］
教学被除数是0的除法，其中涉及除数不能为0，教师认为：“除数不能为0。这是一个深奥的数学问题，对于二年级学生而言，要理解其意思是有困难的”，就借助了一个情境来帮助学生理解。
“小巧每天去森林给小动物分苹果。让我们一起去看看小巧是怎么给小动物分苹果的。”
“森林的小屋里住着几只小动物。第一天，小巧带去了6个苹果，出来了3只小动物，平均每只可以得到几个苹果？算式怎么写？”（学生汇报，教师板演，找数量关系）
“第二天，小巧没有带去苹果，3只小动物等着小巧。可是怎么分呢？谁来说算式？”
“第三天，小巧特地带了6个苹果早早来到小屋。可是等了很长时间，没有小动物出来。（教师板演6÷0=）没有小动物，分就没有什么意义了。”[7]
这确实是一个富有童趣的问题情境：小动物上了一次当，下一次就不来了，由此引出除数是0。看来是颇具艺术性的教学设计。但是，数学中“除数不能为0”是一种规定。要解释它的合理性，通常依据除法的定义，分两种情况说明：当被除数不是0，而除数是0时，商不存在；当被除数和除数都是0时，商不确定。这显然超出了小学生的认知能力。
然而，当教师采用这个教案教学时，学生很自然地由数量关系类推出：小巧没带苹果，苹果数是0；小动物没来，小动物数为0，于是得出6÷0，那么6÷0等于多少呢？有的说等于6，理由是小动物没来，6只苹果还在；有的说等于0，理由是谁也没有分到苹果。最后还是教师硬性规定“除数为0没有意义”。课后，与几个很会发言的学生继续这一话题，其中就有一个学生提出疑问：“为什么小巧没带苹果可以用0表示，小动物没来，用0表示就没有意义了呢？”
看来，“教材把握不好，或者把握偏了，方法越高明，越会南辕北辙。错了、偏了，还有什么艺术可言呢？”[8]
上述三个案例所反映的三类问题，在数学课程标准新增内容的教学中，显得更加突出。这三类问题，至少在中国的文化背景下，在大多数人看来，是不能听之任之的。
由此可见，在人们普遍认为当前教师主要缺失条件性知识和实践性知识并全力予以弥补的背景下，在教师的注意力完全集中在学习与落实教育理念的倾向下，被掩盖着的另一种倾向──教师本体性知识的缺失，不能不引起我们的关注。
尽管有研究表明，中国小学数学教师在数学概念和计算方法的理解方面，明显优于美国小学数学教师。[9]但这只是说明，我国小学数学教师的本体性知识有一些强项。因为该项比较研究所采用的四个测试题，分别涉及退位减法、三位数乘法、分数除法、长方形周长和面积计算，这些历来是我国小学数学教学的强势内容，而且恰恰是新一轮课改认为“基础过剩”，应当降低教学要求或者已经删去的内容。
那么面对新课改，小学数学教师本体性知识究竟在哪些方面存在缺失？其原因何在？我们应当如何应对？这就是本调研试图探明的问题。
二、小学数学教师本体性知识缺失状况的调研
（一）问卷调查及其结果
基于上述由情报研究、案例研究所得出的调研设想，同时也考虑到小学数学教师的学历已经普遍提高，上海地区40岁以下的教师已基本达到大专及以上学历。教师本体性知识的数量，相对于小学数学的“一杯水”来说，已够得上“一桶水”的标准。因此，我们的调研，试图探明“这桶水”的“水质”如何，其中还缺少哪些“微量元素”。
为此，设计了两种问卷。A卷的内容是小学数学的基本概念、公式及应用题，题目难度控制在至少有20%的小学毕业班学生能答对的水平上；B卷着重考查教师能否应用所拥有的数学知识为小学生释疑解惑，能否较深入地把握小学数学的教学内容，因此试题都以听课过程中发现的、教师易犯的知识性错误或纰漏为原型加工而成。如果从试题编制的角度看，这种源于课堂、带有教学情境的数学题几乎都具原创性。两份问卷均经过试测、修改。
调研样本为上海市两个区（一个中心城区、一个城乡结合区）的部分小学数学教师。样本的教龄分布、学历分布与两区小学数学教师整体的教龄、学历分布大致相同。
实测结果如下表。

（*参加B卷测试的部分被试（随机的），接受了A卷的测试）
A卷的平均答对率（题目得分/总分，下同）90.5%表明，用小学生的较高标准来衡量，教师对本体性知识的掌握是不错的。这一结果与申继亮、李琼（2000）的同类测试结果（答对率都在85%以上）基本一致。
B卷的平均答对率38.8%表明，用“能为小学生释疑解惑”“能较深入地把握小学数学教学内容”的要求来衡量，则现状与需要的差距较大。
两卷分不同教龄组、不同学历组的统计表明，平均分略有差异，但经检验，组际差异均不显著。这说明小学数学教师本体性知识的状况，受教龄长短（即脱离职前教育的时间长短）、学历高低的影响都不具有统计意义上的差异。也就是说，教师本体性知识方面的问题，至少是在测试内容所涉及的范围内早已存在，而且没有因为现阶段教师学历的提高发生根本性的改变。
（二）本体性知识缺失的内容分析
进一步，对各题的测试内容与应答情况加以深入分析，发现教师本体性知识缺失的具体内容主要反映在以下几方面。
1.概率统计。
在小学通常用“可能性”替代数学专业术语“概率”。将“可能性大小”的初步认识引进小学数学是数学课程改革的趋势之一。B卷中涉及这一知识的试题，平均答对率34.1%。例如：
题例1：
我们知道：抛一枚硬币，正面朝上的可能性是0.5；如果连续抛两次，那么两次都是正面朝上的可能性肯定小于0.5了。现在已经抛了三次，都是正面朝上。这时，再抛第四次，这一次正面朝上的可能性（　　）。
A.大于0.5　　B.等于0.5　　C.小于0.5　　D.无法判断
请写出选择答案的理由。
本题来源于课堂教学的观察，当连抛三次，硬币都是正面朝上时，学生纷纷猜测第四次肯定反面朝上了。
测试结果有56.2%的被试选对了答案，但陈述理由基本正确的则只有29.3%，而且其中只有6名（占3.2%）指出这是“独立事件”。其他基本正确的陈述，如“每次抛硬币，都只有两种可能”“第四次抛，不受前面三次的影响”等，有可能是出于直觉，而不是根据概率论“独立事件”的概念。
在新增的概率统计内容中，还有中位数、众数的初步认识。B卷内有关中位数、众数的试题，答对率更低，为23.8%。特别是下面的题：
题例2：
用六人的考试分数举例说明，当出现什么样的分数时，用平均数或中位数、众数表示他们的整体成绩，比较合适。
当六人的分数分别为_____，_____，_____，_____，_____，_____时，用平均数比较合适；
当六人的分数分别为_____，_____，_____，_____，_____，_____时，用中位数比较合适；
当六人的分数分别为_____，_____，_____，_____，_____，_____时，用众数比较合适。
尽管试卷中的上一题（内容是：给出六个分数，要求计算它们的平均数、中位数、众数）对回答本题具有一定的提示作用，但仍有78.2%的被试放弃回答。那么，是不是要求被试自行“构造”数据的要求过高？事实上，如果真正理解概念，“构造”并不难。以适合用中位数作代表的数据为例，只要六个数据各不相等，使众数不存在，再略作调整，比如制造一个极端数据，让平均数的代表性变差，就行了。
2.图形变换。
指平面图形的全等变换。原来，在小学阶段只介绍轴对称，现在趋向于在小学就引进平移、旋转。如教育部的数学课程标准将感知轴对称、平移、旋转的内容提前到了第一学段（1—3年级）。[10]上海市数学课程标准的“征求意见稿”[11]中，在3—5年级也安排了轴对称、平移、旋转的初步认识，到“试行稿”[12]该年段只保留了轴对称的初步认识。
B卷中有关平面图形全等变换的试题，平均答对率为32.5%。其中答对率相对较高的是下面的题：
题例3：
两个完全一样（全等）的梯形ABCD和A'B'C'D'，重叠在一起，经过怎样的几何变换（只允许平移、旋转），可以拼成一个平行四边形？
请写清楚变换的过程：如平移使……与……重合，以……为旋转中心旋转……度。

该题源于小学数学推导梯形面积的常用方法。教师演示时，通常让学生看清两张梯形纸片完全重合后，就非常随意地拿在手上把它们拼成平行四边形，很少考虑按图形变换来操作。测试表明，42.0%的被试知道经过怎样的变换可以拼成平行四边形，但能准确叙述的只有21.5%。
3.几何证明
虽说小学数学不要求证明，但教学中常常会遇到一些问题，需要教师判断其结论的正确性，或者判断某些特殊的结果是否具有一般性。诸如此类的情况在几何教学中比较多见。B卷中涉及几何证明的试题，平均答对率38.1%。例如：
题例4：
在长方形木框中加钉木条，如下图。
①           ②
图①的钉法使长方形变成了两个三角形，整个长方形肯定不会变形了；
图②的钉法使长方形变成了一个三角形与一个五边形，三角形是稳定的而五边形是不稳定的，整个长方形会不会变形了呢？
请依据几何知识判断：图②的钉法能否使长方形木框不变形。能□；否□。请写出相关的几何知识依据，或者证明你的结论。
有47.5%的被试选择了“能”，但说理或者说证明基本正确的只占15.8%，其中只有2人直接依据矩形的判定定理作出判断。
4.数论初步。
指数的整除性。它作为学习分数知识的必要基础，历来是小学数学的教学内容。B卷中涉及这方面知识的试题，平均答对率为38.3%。例如：
题例5：
学生问：为什么判断258能否被3整除，只要看2+5+8的和能否被3整除就行了？请你以258为例，说明其中的道理。
从理论上分析，本题难度不大。因为能被3整除的数的特征是小学数学的重要基础知识之一；又由于258能被3整除，故只涉及特征的必要性；且要求具体说明，无须抽象证明。但实测答对率也只有25.8%。而且说理基本正确的答卷中，无一指出：由两个加数分别能被3整除，得出和能被3整除，实际上用到了整除的一条性质。对此，阅卷时均未扣分。
（三）本体性知识缺失的原因分析
首先，如前所述，教师本体性知识的缺失至少是在测试内容所涉及的范围内早已存在，之所以现在暴露得比较明显，并引起我们的重视，其最主要的背景就是新一轮课程改革的实施。除了数学课程标准内容更新的力度较大之外，更主要的是学生主体性被激活。
本来，教师忠实地执行教材，照本宣科，学生的思维相对狭窄，课前预设方案周到些，通常足以应付。现在，课改理念在课堂上得到了体现，学生学习的积极性、主动性不断增强，加上学生知识的来源渠道更为丰富多样。于是，学生质疑问难、节外生枝的频率与教师本体性知识缺失的显露同步增长。这一原因，实际上也是本研究的现实意义之一。
更具体地，以上述调研分析查明的缺失内容分类为线索，通过进一步的深入访谈，以及对近10位不同类型教师的个案研究，我们发现，造成小学数学教师本体性知识缺失的原因主要来自以下几方面。
1.学历教育数学课程内容的局限性。
有关资料显示，概率统计是原中等师范学校数学课程所没有的内容。20世纪末，小学教师的职前教育由中师提升到了大专、本科，相应的数学课程体系正在逐步形成。前些年，一些学校就是开设概率统计或同类课程，也由于当时的小学数学课程中没有“可能性”的内容，就连初中数学都不见概率的影子，所以大多以教育统计为主，概率论的教学不被重视。
图形变换在以往的数学课程中，主要是在解析几何讨论坐标变换时出现。原来中等师范学校的数学课程一般不系统讲授解析几何。随着中师升格大专，有了解析几何的内容，但一般只讲坐标轴的平移。坐标轴的旋转、极坐标系与极坐标方程（讨论图形旋转的有力工具之一）常常遭到删简。
目前小学教师的大专及本科学历，大多通过在职进修获得。他们在中师阶段获得的数学知识，无论在数量上，还是质量上，都难与高中毕业生相提并论。以致在职学历进修选修文科的人数是理科的3倍左右（实际毕业人数更升至4倍左右）。当然还有其他原因，如文科的考试较易及格等，但教师已有数学基础与大专、本科学习起点之间的差距，是一个非常客观的重要原因。即使选择了理科，多数学员主要依靠死记硬背与模仿解题通过考试的。他们对所学数学知识的理解及其长期效应，可想而知。这也可以作为A、B两卷分不同学历组统计的平均分差异不显著之原因的一种解释。
基于以上分析，可以认为，概率统计与图形变换知识的缺乏，主要原因是“先天不足”。换句话说，主要是学历教育数学课程内容的局限性造成的。当然，这是特定时期小学师资职前、职后学历教育的历史局限性。
2.学历教育数学素养培养的局限性。
如果说有些知识缺乏是因为没有系统学习，那么学过的知识为什么出现大面积缺失呢？特别是知识的某些结论遗忘了，作为数学素养保留下来的数学能力，如推理、论证能力为什么亦难以表现出来？这种能力主要是在职前教育阶段，在数学课程的学习中形成的。
教师的数学能力，从数学教育对学生的培养目标来看，通常认为主要是四种，即计算能力、空间想象能力、应用数学知识解决实际问题的能力以及逻辑思维能力。前三种能力教师在A卷的回答中有不错的表现。分析B卷的应答情况，就数学能力而言，教师最为缺失的是逻辑思维能力。主要表现为数学知识的理解水平较低，应用数学知识分析、推理、论证能力较弱。可以说B卷绝大多数试题的应答都反映了这两个问题。通过进一步的深入访谈对话得到了印证。
［访谈1］


［访谈2］
对象是两位解答上述题例4作出了正确判断，但证明部分留白的教师。其中一位的解释是：如果是写清楚已知、求证的题目，会动手尝试证明，题例4这样的证明题就不知从何下手了。另一位说道：我只知道不变形的意思是不会动了，但不知道怎样证明它不会动了。经启发，两位老师逐渐明白了，长方形木框会变形，是角的大小会变，对边相等始终是不变的。因此已知条件是四边形对边相等，有一个角是直角，求证的结论是，其他三个角都是直角。访谈当时，两位老师动手尝试之后都未证出，提出回家再试。
与此相关的事实是，求证“一个角是直角的平行四边形是矩形”，对于相当一部分初中学生来说，并不困难。由此自然引发追问：初中以后的中师、大专数学课程在进一步培养学生数学建模与推理论证能力方面作出了多少贡献？
数学素养的不尽如人意也是教师本体性知识学了等于没学的重要原因之一。这在教师的课堂教学中也经常有所反映。举一个案例。
［个案1］
×××，某师范大学初等教育学院小学教育专业（理科）毕业，在校期间学过的数学课程有：解析几何（上）（下），高等数学（上）（下），高等代数，概率论与数理统计，数论初步。6年教龄，课堂教学的驾驭、教学方法的运用都已得心应手。特别是在引导学生主动参与、互动方面，常常表现不俗，屡获好评。学生数学成绩也不错。一次，复习“求未知数X”，要求学生对黑板上8个含X的算式分类，最先回答的学生按加、减、乘、除分成四类，得到同学的认可。教师问：还有没有其他分类方法？见学生没反应，继续启发道：比如说，把这四类合并成两大类。学生有两种意见，一种是加、减法为一类，乘、除法为一类。教师加以肯定。另一种认为加、乘算一类，减、除算一类。教师要求该生说出为什么这样分类的理由。学生说因为加法、乘法有交换律，减法、除法没有。教师说，按照有没有交换律分类有什么意义呢？学生语塞，于是引导学生讨论前一种分类对于求X的意义。课后教师坦言，不清楚按照有无交换律分类对不对，所以不敢肯定，只能按原定预案引导。一个平时非常重视积极应对的教师，由于对两分法产生怀疑，对交换律在代数运算中的重要意义认识不足，而采取了回避作出正面答案的下策。
又有一次，教师提问：有没有最大的正整数、最小的负整数，为什么？一个学生回答：没有，因为再大的正整数，加1还有更大的，再小的负整数，减1还有更小的。教师不置可否，继续让其他学生回答。为什么一个从不吝啬表扬的教师，面对如此出色的回答却无动于衷呢？因为教师在学生的回答里觉察不到极限思想、序数理论的影子。
这里，导致教师教学表现一再大失水准的原因，与其说是由于某几个具体数学知识的缺失，不如说是由于数学素养的不足。因为有了较好的数学素养，在这里表现为数学知识的融会贯通与数学直觉，即使某些概念遗忘了，也可以从其他方面的联想获得补充和支撑；即使一时分辨不出学生的回答蕴涵了哪一具体的数学思想、概念，也能从整体上体悟语境中的数学味。
公允地说，数学能力、素养重视不够，培养不力，是我国数学教育的老问题，当然师范教育也不例外。
3.教师思维的“童化”。
除了职前教育数学课程内容与能力培养的历史局限性之外，分析造成教师本体性知识缺失的职后原因，首先进入我们视野的是学习的遗忘。这恐怕是几何证明与数论初步知识缺失的主要原因。因为相对于概率统计和图形变换两个内容来说，几何证明是初中数学的必学内容，数论初步是师范学校《算术基础理论》的重要内容，不存在没学或精简、淡化处理的问题。
记忆的客观规律是，遗忘总会发生，甚至可以说没有遗忘就没有记忆。问题是与教学内容有关的、不该遗忘的数学知识遗忘了。这里，仅仅是由于长期不用等自然原因，出现了正常的遗忘吗？有些是，有些似乎不是，如下面个案。
［个案2］
×××，中师毕业（在校期间，曾任数学课代表），在职进修获本科学历（大专学的是小学教育，理科；本科改学文科）。16年教龄，一直任教数学，钻研业务劲头较足，所教班级学生数学成绩很好，两次参加教学评比获奖，是一位比较典型的小学数学骨干教师。
一次公开课上，她随手在黑板上画了个三角形，标上三条边长的厘米数1、2、3，直到下课未发现不妥。课后经人指出，羞愧不已：“我怎么会犯如此低级的错误！”显然，“三角形任意两边长之和大于第三边”的知识不是遗忘了，而是“当时没想到”。
又有一次，讲述射线与圆角的区别，只从表示方式上详细指出：射线用两个字母表示；周角用三个字母表示，且标有一圈弧。就是忘了从概念的本质属性去说明它们的区别。原因呢？又是“没想到”。同时还解释说：这是采用了某某参考书上的说法，记得有一节教学评优获奖课也是这样处理的，所以没再多想。像这样正在教学的基本概念，用“遗忘”是解释不通的。为什么课前查阅资料、撰写教案时，以及课中亲口陈述时，都没想起呢？
诸如此类、司空见惯的个案，都不仅仅是偶然的遗忘。那么，是因为小学的教学内容太简单，教久了，势必出现学科知识的“退化”吗？
分析教师的成长历程，刚踏上讲台，儿童语言贫乏，也不了解儿童思维。为了搞好教学，经过几年的努力，丰富了儿童语言，熟悉了儿童思维。表现在备课时、课堂上，能自然而然地想儿童所想了。这是教师胜任小学教育的必由之路。的确，要想深入了解儿童的文化，真正成为他们的学习伙伴，就要进入儿童的世界，像儿童那样思维，在自己的头脑里重建儿童的心智。与此同时，教师自身的思维也有可能被儿童同化而“童化”。而且钻得越深，童化的可能性就越大。[13]
基于以上分析，我们认为教师本体性知识缺失的职后原因，除了学习的自然遗忘，更重要的是教师思维的“童化”，即伴随教师重建儿童心智的努力，而出现的本体性知识及其思维的退化。
类似地，教师数学能力的缺失，除了“先天不足”，也有后天“童化”的原因。
三、小学数学教师本体性知识缺失的若干对策
根据以上分析，针对造成教师本体性知识缺失的三方面主要原因，提出以下对策。
（一）调整、充实职前教育数学课程的内容
随着对小学教师学历要求的提高，师范教育在课程体系、教学内容等方面也进行了一系列改革，但改革的深度和速度似乎仍滞后于基础教育改革和发展的需要。从教育部2003年颁布的三年制大专小学教育专业课程方案（试行）看，数学课程只有列入专业必修课的“大学数学”（90课时），以及作为数学与科学专业方向选修课的“高等数学基础”（180课时）和“现代数学概论”（72课时）三门。没有数学史、数学思想方法论等方面的课程。四年制本科小学教育专业尚无部颁课程方案，各院校的课程设置差异较大。从上海师范大学小学教育系理科方向开设的数学课程看，有“大学数学”（280课时）、“概率与数理统计”（72课时）、“初等数论”（36课时）、“数学史”（36课时），比三年制大专略多一些。其中明显缺失的是有关几何的知识，只有“大学数学”第一章“空间解析几何”讲到空间平面为止。这显然是不够的。比如，讲立体图形表面的展开，不知道还有包括球面在内的大量曲面是“不可展”的；又如，教学图形的观察，渗透三视图的内容，却没有一丁点儿的射影几何基础知识。而现实需要是，面对小学数学课程内容的更新与学习要求的变化，只有具备比较宽广厚实的数学知识基础，才有可能在以后的教学中“取之左右逢其源”，才有可能满足学生强烈的求知欲和好奇心。
为此，一方面，必须基于小学数学新增内容的“一杯水”，调整、充实师范院校数学课程的内容，帮助师范生储备一桶甚至一缸水。另一方面，为了适应从学科视角高屋建瓴、深入浅出地驾驭小学数学教学内容，以及指导学生进行自主学习的需要，还应添加数学思想方法论、数学史、数学文化等方面内容。考虑到目前四年制本科小学教育专业的特殊性，既要兼顾学术性和师范性（这是各种师范专业都要面对的问题），又要适应小学教学工作的实际需要，以致专业方向的学科边界比其他师范专业更为模糊（这是小学教育专业特有的问题），这些内容不一定都分别开设课程，可以整合到原有的数学课程中去，或者增设一门“高观点下的小学数学”专业课，将数学思想与方法、数学历史与文化融入其中。这是一个只需有限课时即可满足需要的简捷对策。
（二）改进职前教育数学课程的教学方法
以往，高师数学教学的普遍现象是关注学术性而轻视师范性。它表现在很多方面。例如，基本沿用综合大学数学系的基础课程体系，缺乏整合；注重数学理论的系统性和结论的严谨性，忽视学生的真正理解与意义建构。其必然结果是不少学生学习时一知半解，学习后很快遗忘。现在，经过整合后的“高等数学”“大学数学”，内容精简了、易学了，但伴随而来的是数学分支的体系不见了，内容显得支离破碎。这对学生深入理解所学内容，提高整体把握数学知识结构的能力影响很大。除了需要教材编写加以改进之外，更多地有赖于教师的教学处理，揭示某一章节内容的局部与整体的关系。
作为数学科学，从原名到定义，从公理到定理，一般都是演绎呈现的。它简练、严谨、纯粹，显示了数学的学术形态。作为数学课程，为使学生能够理解教材内容，必须进行教学法加工，使之转化成为易于认知的“教学形态”。所谓“师范性”，就是要培养和锻炼未来的数学教师，学习并善于完成这种转化工作。这是学术性与师范性统一的重要体现。
相应地，如果在师范院校的课堂上，教师既重视数学知识的演绎，又不忘数学思想方法的归纳，观察、实验、猜想、探索与推理、证明兼顾，则对培养学生的数学眼光，帮助他们形成数学观点，提高分析问题和解决问题的能力，都将大有裨益。因为榜样的力量是无穷的，学生耳濡目染，日后自己踏上讲台，就会师行徒效。
类似地，如果在师范院校的教学中，教师能够引导学生将高等数学的学习与初等数学的研究结合起来，开展“研究性学习”，那么学以致用，职前获得的知识就比较容易在职后真正发挥作用。
（三）加强职后培训的针对性，弥补教师本体性知识的缺失
以上两方面对策的落实，虽说有利于从源头上解决问题，但无助于现有师资队伍的提高。当务之急是如何较为有效地弥补已经存在的本体性知识缺失，而这恰恰是目前校本研修的一个“盲区”，需要地区教育研训机构发挥作用。我们的对策如下。
1.引起教师自身的关注。
弥补知识缺陷，需要外界帮助，更需要自身努力。但由于前述“童化”现象的存在，教师大多并不意识到这方面的问题。因此，唤醒教师的警觉，提高对教学中出现科学性错误的自我监控意识，显得尤为重要。只有激发、调动教师的主观能动性，才有可能长善救失，让他们自觉地发现并恢复被遗忘了的学科知识，在教学困惑中分辨出学科知识的疑问，进而通过“学”与“问”，寻觅解答。
为了帮助教师清醒地认识问题所在，我们在教研活动中，一方面，公布了B卷测试结果的总体情况，并就一些典型问题作了较为详尽、深入的剖析，对教师震动较大。另一方面，全面分析教师思维“童化”现象的利弊得失。我们明确指出，它既是教师深入儿童的精神家园所付出的代价，是一种忘我的奉献，也是教师学术思维和理性反思的障碍。同时提出相应的建议：增强教学科学性方面的自我监控意识，既要钻进去，又要跳出来，居高临下地以理性的目光，审视教与学的过程，解剖自己的教学行为，逐步做到在儿童世界与理性世界之间自如地穿梭、往返。教师普遍反映深受启发。
2.结合教材分析介绍有关数学知识。
实践表明，结合教材分析并针对教师的困惑介绍有关数学知识，数学理论与教学实践相结合，教师听得懂、听得进、用得上，效果比较明显。
例如，过去教学“比多少”时，学生的自然反应是“先数一数，各有几个”，但教师为了体现教材意图，往往强制学生将物品一一对应排列，然后再比较谁多、谁少，显得很生硬。由于教师一般只知道一一对应与建立函数概念有关，并不理解为什么要在教学“比多少”时就引入一一对应，所以缺少教学对策。鉴此，在一年级新教材培训中，笔者通过举例：
自    然    数：0，1，2，3，…n，…
               ↑↑  ↑ ↑   ↑
               ↓↓  ↓ ↓   ↓
自然数中的偶数：0，2，4，6，…2n，…

介绍了集合的“等势”概念，以及无限集合的一个充要条件（集合能与它的一个真子集对等，这实际上也是无限集合的一种定义）。让教师看到了采用一一对应比较集合元素的多少，其作用在于研究无限集合的等势。进而探讨如何在比较少量物体时，使小学生接纳一一对应的比较方法，得出两条教学策略。一是让一一对应更自然，即选择生活中原本需要对应的物品进行比较，如背心与短裤比多少，吸管与纸杯比多少。二是让一一对应更合理，如创设下列问题情境：

使学生初步感知，有了一一对应，没法计数个数，也能比较多少。培训后，教师的感慨是：过去，不清楚为什么一眼就能看出多少的物品，偏要一一对应再来比较，教学时师生都感到别扭。现在了解了在这里引入一一对应的数学背景，教学灵感也就来了。
实际上，教师的本体性知识与条件性知识、实践性知识在教学设计与课堂教学中总是综合发生作用的。所以，将结合教学内容传授相关数学知识的过程，演变成依据数学知识探讨教学方法的过程，或者综合运用三类知识的案例分析过程，是一条行之有效的培训策略。
3.结合课例点评揭示有关数学知识。
同样道理，结合课例点评揭示有关的数学知识也能收到良好的点拨效果或示范效应。实践告诉我们，只要点评时坚持具体分析，就事论理，注意避免对教师的学术水平或教学水平作出分等级、贴标签式的评价，此举很受教师的欢迎。
例如，前面介绍的案例1、案例2中的两位教师，经过一段时间的跟踪听课、评课，其中有几次获得了相关数学知识的提示，自我感觉很受启发。自述由此激活了数学思维，增强了跳出教学内容的局限，深入思考其数学知识、数学思想方法背景的意识，应答学生发问的信心也更足了。
以上教师职后教育的一系列实践研究，都尚属初步，各项对策与措施，有待进一步实践的检验、发展与完善。