二次函数

李甫田

二次函数

　　[本课知识要点]

　　通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．

　　[创新思维]

　　（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

　　s = a2

　　（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

　　y = (4+x)(3+x)?4×3 = x2+7x

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义．

　　二次函数的概念：形如ax2+bx+c = 0(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫二次函数．



　　[实践与探索]

　　例题：





　　补充例题：

　　1． m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？

　　分析  若函数是二次函数，须满足的条件是：．

　　解  若函数是二次函数，则

　　                 ．

　　解得             ，且．

　　因此，当，且时，函数是二次函数．

　　回顾与反思  形如的函数只有在的条件下才是二次函数．

　　探索  若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？

　　2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

　　（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；

　　（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

　　（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

　　（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．

　　解  （1）由题意，得  ，其中S是a的二次函数；

　　（2）由题意，得  ，其中y是x的二次函数；

　　（3）由题意，得  （x≥0且是正整数），

　　其中y是x的一次函数；

　　（4）由题意，得  ，其中S是x的二次函数．

　　3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

　　(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；

　　(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．

　　解  （1）；

　　    （2）当x = 3cm时，（cm2）．

　　[当堂课内练习]

　　1．下列函数中，哪些是二次函数？

　　（1）                     （2）

　　（3）            （4）

　　2．当k为何值时，函数为二次函数？

　　3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．

　　(1)请写出y与x的函数关系式；

　　(2)判断y是否为x的二次函数．

　　[本课课外作业]

A组

　　1．  已知函数是二次函数，求m的值．

　　2．  已知二次函数，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

　　3．  已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱的底面半径x为3，求此时的y．

　　4．  用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

B组

　　5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是                          （    ）

　　A．    B．    C．    D．  

　　6．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是   （    ）

　　A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

　　B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系

　　C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

　　圆的周长与圆的半径之间的关系

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