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作者:刘颂
加减运算是儿童早期数学认知能力的重要组成局部，随着认知心理学的发展，人们不再只限于了解儿童加减运算结果的正确性与年龄差异，而是更想探察儿童加减运算的心理过程和影响因素。战略作为个体在计算加工过程中的执行和控制环节，战略的选择与运用作为反映个体问题解决能力的重要指标，从上个世纪 80 年代以来备受研究者的关注，其中对加法战略的研讨尤为热烈与幼稚。儿童早期加法战略研究，研讨儿童早期计算战略的类型、数量、结构、水平，分析儿童运算的信息加工过程，为深入理解儿童早期数学认知能力的发展特点与规律提供了新的视角，为制定有效的加减运算教学措施和辅导方法提供了科学的依据。国外不少著名的数学教育方案（如 Cognitively Guided Instruction 、 Math Trailblazers 等）在基于儿童加减运算战略发展的研究上，提出了教师加减运算教学的一些重要原则，如在数学课堂中重视了解儿童解决加减运算的战略、提供丰富的操作资料与创设适宜的问题情景激发儿童运用多种战略、鼓励儿童表达与交流战略等等。这种重视儿童问题解决过程以和鼓励儿童自主建构的教学方法，对美国的学校教育以和人才培养具有深远的影响。对教师而言，了解儿童的计算战略，洞悉儿童的思维过程，不只有助于教师科学、客观地评价儿童的认知水平，而且有利于教师积极利用儿童自发、非正式的数学经验进行适宜性的指导，从而实现“为理解而教”与“有意义的数学学习”。对儿童而言，在生动、活跃的问题解决过程中，知晓并调整问题解决战略，构建并改进数学概念，体验并形成数学学习的自信心与积极态度。
由此反观我国幼儿园的加减运算教学，加减运算的精确性与速度似乎是我们追求的唯一目标。在此大背景下，计算战略在幼儿园教学中经常处于缺失的状态，没有得到正确的认识与应有的重视。有的教师知道儿童的某些战略，但缺乏系统性；有的教师和家长存在认识误区，以为简单加减运算只有快速报出答案才是唯一正确方法，而忽视儿童自发发生的丰富多彩的战略世界，有的师长拒绝或禁止儿童选用符合其认知发展特点的计算战略，如数手指。笔者在一项幼儿数学认知能力的研究中，屡屡看到小朋友们的如下表示：有小朋友只习惯把手背在身后进行计算，或者有明显数数行为的小朋友否认自身用了手指；有小朋友在无法回忆起答案时，不会采取其他有效战略解决问题；有小朋友坚持用某种习得的技能解决所有问题，缺乏灵活、多样的问题解决意识与能力；有小朋友显示出对计算的厌烦与逃避心理……
看到这些现象，听到这些声音，我们不由会问：加减计算是否完全等同于刺激与反应的联结，只需多次重复背诵而不需要小朋友充分理解其间的数量关系？要求小朋友快速记住成人告知的正确答案，是否远胜过让小朋友多花费一些时间与精力来用自身的方式解决问题并体验数学的“再发现”过程？假如小朋友用手或嘴数数来解决问题，是否比不会用任何战略的小朋友更加使成人感到尴尬？幼儿园计算教学是让小朋友做大量的计算练习或者只有暂时效应的技巧训练，还是创设丰富的资料、有益的活动，使小朋友有效选择与运用计算战略、积极参与问题解决过程以和对自身的计算能力充溢自信？……为了较好地回答上述问题，我们有必要重新认识儿童早期计算战略的表示（本文以加法战略为例），并考虑如何采取有效措施在概念理解与技能练习之间取得平衡和联系以达到熟练运算的水平。
一、儿童早期加法战略发展的特点
（一）儿童早期加法战略的类型
根据 Siegler 等人的研究，儿童在进入小学接受正式数学教育之前已经具备了相当丰富的数与计算概念和经验，并且在解决简单加法问题时表示出多种战略类型，一般分为如下五种：
1.数手指战略，指儿童用手指代表两个加数并通过数手指求和，经常伴有口头数数行为。进一步分为三种类型（以3＋5为例）：
全部数战略，指儿童从 1 开始连续点数代表两个加数的所有手指，如边伸手指边念“ 1、2、3、（停顿）4、5、6、7、8 ”；
最大战略，指儿童从较小的加数开始点数手指，如边伸手指边念“4、5、6、7、8 ”；
最小战略，指儿童从较大的加数开始点数手指，边伸手指边念“6、7、8”。
在实际计算中，儿童是以从第一个数往上数来替代全部数战略；当面对小数在前的加法题时（如3＋5），从第一个数往上数即最大战略，而儿童意识到两个加数的大小并从大数往上数时即最小战略。
2. 口头数数战略，指儿童出声唱数数列以求和，有时表示为只有细微嘴部动作的默念。该战略同样可细分为上述三种类型：全部数战略，最大战略、最小战略，与数手指战略的差别在于无手指动作。
3. 摆手指战略，指儿童用手指代表两个或某个加数，不经点数立即得出答案。
4. 分解战略，指儿童把某个加数拆解成更小的两个数字，与另一加数相加得出儿童熟悉的答案，然后再加上剩余的分解数字。如，3＋4，儿童假如已经记住了两个3得6，则可能把4拆成3和1，先得出6，再加1等于7 ；对于两数之和大于10的加法题，如6＋5，儿童先把6分解成5和1 ，两个5相加为10，10加1等于11 ，这就是分解战略的一种特殊类型——凑十。
5. 提取战略，指儿童从记忆中直接搜索出已记住的答案。
需要指出的是，数手指（ finger counting ）战略与摆手指（ finger ）战略虽然都用到了手指，但儿童的外部行为与内在认知过程都存在区别。例如，在计算 3+5 时，假如儿童数出 3 个指头，再数出 5 个指头，然后逐一点数伸出的手指，则是数手指战略；假如儿童左手同时伸出 3 个指头，右手同时伸出 5 个指头，看着手指但不点数并较快得出结果，这就是摆手指战略。从外部行为中我们也不难看出儿童在使用摆手指战略时，脑海中已经形成了与某个加数对应的手指图式，如 5 对应一只手的五指， 7 对应一只手五指和另一只手的 2 个指头，而不需要借助逐一点数来得出与加数对应的手指个数，因此计算速度与精确性都优于数手指战略。
此外，我们比较熟悉的使用直观物体（如操作积木、小棍，在纸上画竖线或圆圈）的战略，与数手指战略具有相同的认知功能，即儿童用物体（无论是作为天然计数工具的手指还是外部工具）表征笼统的数字意义，并在点数中监控数数过程以防止错误。因为不少研究者在考察儿童计算战略时不提供额外的操作物，所以直观物体战略没有列入计算战略类型。鉴于儿童认知发展特点以和学习兴趣的考虑，我们提倡使用这些直观物体以协商儿童更好地理解数概念以和监控计算过程。
五种战略在执行过程中对认知资源需求、时间需求存在显著差异，并在儿童学习运算的初期按一定的顺序出现，反映了它们在幼稚水平上递进演变的过程（见图1）。
首先，提取战略与其他四种“支持性战略”相比，主要是从记忆中搜索答案，较少需要工作记忆资源监控问题解决过程，因此反应速度最快；同时，提取战略答案的正确性在很大程度上取决于儿童先前支持性战略的使用经验，换而言之，使用支持性战略协商儿童在两个加数与答案之间建立正确、稳定的联系，从而有助于将正确答案保管在长时记忆中。其次，数手指与口头数数战略较多依赖儿童数数的概念性知识与程序性知识，儿童在战略执行中需要调动更多认知资源参与、监控与调整数数行为，需要外部动作或外部语言进行加工，因此思维过程相对外化；而摆手指、分解与提取战略借助儿童已有的表象或内部语言进行运算，长时记忆系统在运算过程中发挥越来越多的作用，体现出思维逐渐内化的特点。第三，数手指与口头数数战略内部也存在水平上的差异，即全部数战略、最大战略与最小战略在发展水平逐级递进。儿童最初的计算都从1开始数数，随着其数数概念发展，儿童开始发现数数可以从数列的中间开始，再经过多次尝试，儿童进而发现调换两个加数位置不影响计算结果；至此，最小战略因执行的快速、精确与简单而成为数手指与口头数数方式中的优势战略。
（三）儿童早期加法战略的发展特点
儿童早期加法战略发展有两个显著特点，其一，五种基本战略在儿童学习加法运算的初期呈一定的顺序出现，高水平战略在低水平战略熟练运用的基础上发展而来；其二，儿童所使用的战略呈波浪式发展，即儿童在一定时期同时使用低水平战略与高水平战略，不同幼稚水平的战略随着时间与儿童认知能力的发展而在使用频率上出现高低起伏的变化。
我们从幼儿学习加法运算的典型行为中不难看出战略出现的先后顺序：同样是回答“三加二等于几”，儿童最初从1开始分别数出代表3和2的手指个数，然受再从1开始点数全部手指；后来，儿童伸出3个手指，接着边伸一个手指边念一个数字“4”、“5”；再后来，儿童口头从3往上念“4、5”；若干时间后，儿童直接回答“5”…… 上述情景反映了加法战略呈固定顺序出现的规律：战略逐渐从外化、依赖实物的加法战略转化为内隐、依赖符号表征的战略。战略逐渐向较高水平延伸的原因是，先前战略随着使用经验更趋熟练与精确后，大大降低了儿童执行该战略所需的认知资源，因此剩余的认知资源就被用来在现存战略中去寻找过剩的加工成分，激发了新战略的发现与探索，驱使战略朝着快速、精确与省力的方向不时调整与变化。同时，儿童通过正确执行数数、摆手指等支持性战略，不只促进了儿童对加数与答案之间数量关系的理解，而且形成了二者之间的联结，形成的联结又促使儿童更快更准地运用战略；最后支持性战略以自身的消失而促进了这个过渡过程，而提取战略得以出现或频繁使用。加法战略的演变过程给我们两点启示：第一，手指、口头数数等支持性战略能有效协商儿童形成加数与正确答案的联系，促进提取战略的出现与使用；第二，机械背诵加法题的方法，不只可能因记忆不准确导致答案容易出错，而且因缺乏数量理解与支持性战略使用经验，导致儿童无法采取有效战略来解决较新异或无法提取答案的任务，从而局限了儿童思维的发挥与运用。
其次，儿童倾向于使用多种加法战略，每种战略的使用频率随时间推移而发生波浪式的变化。作为问题解决者，儿童会使用多种加法战略，并不是单一的。即使是年龄较小的儿童，他们也并非用数手指解决所有问题。对于较为简单的题目，如加数为小数或成双，儿童也努力从记忆中提取答案；假如题目较难或者答案无法顺利搜索，儿童转而使用数手指等其他支持性战略来寻求正确答案。年龄较大的儿童，也同时使用这些战略，只不过他们在提取、分解等战略上使用频率更高，数手指、口头数数的使用频率相对下降。因此，儿童战略发展不是高水平战略完全取代低水平战略的阶梯状发展，而是波浪式前进，表示为每种战略在不同的时间达到各自的高峰与低谷。这样，儿童可以灵活根据问题的难度以和自身运用各种战略的效果选择合适的战略以顺利解决问题与获取正确答案。
二、对幼儿园开展计算战略教学的建议
幼儿园历来重视培养儿童熟练、流畅的计算技能，这样儿童进入小学学习多位数计算、文字题等包括简单计算步骤的数学知识时，儿童可以快速、准确得出简单计算的答案，将更多的认知资源投入到问题解决的其他环节，从而有助于儿童解决这些更高水平的数学问题。然而，更高水平的数学问题解决不是单单取决于儿童简单计算的能力，更与儿童的数量理解程度、问题解决的意识、元认知水平紧密相连。当前的研究也发现，熟练计算必需在概念性理解和技能练习之间取得平衡与联系，厚此薄彼的做法会负面影响儿童问题解决的灵活性、速度和精确性；当儿童被鼓励运用、解释与互相讨论计算战略时，他们对数和运算的理解更加牢固，数学解决问题的灵活性与水平优于同龄儿童，同时获得了熟练计算的能力。学前时期作为儿童数学学习的准备阶段，此时的数学教育（包括计算教学）应当有助于儿童有效构建数学知识、灵活解决问题以和积极体验数学学习的胜利感。因此，我们有必要在幼儿园计算教学活动中引入、开展战略方面的内容。
（一）积极关注与了解儿童计算战略的表示与特点
教师学习与了解有关儿童计算战略表示与特点的知识，一方面增进教师深入理解儿童的认知特点以和思维过程，有助于教师根据儿童计算能力发展规律来有效制定、实施与调整相关教学活动；另一方面，因为战略能敏锐反映儿童在相同回答之下的不同认知加工过程，教师可以更为准确地判断儿童的思维水平，为开展适宜、个别化的教学指导提供科学依据。
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发表于 2010-4-19 22:17:00
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