人教版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和教学设计

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人教版高中数学必修五2.3等差数列的前n项和教学设计
（第1课时）
农垦三亚高级中学    李天宇
一、教学目标
知识与能力目标：
（1）类比高斯算法，探求等差数列前项和公式，理解公式的推导方法；
（2）能较熟练地应用等差数列前项和公式解决相关问题；
过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；
情感态度与价值观：
通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功。
二、教学重点与难点
1、教学重点：等差数列前项和公式的推导和应用
2、教学难点：公式推导的思路
3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。
三、教学方法
    讲授法、多媒体展示
四、教学流程
创设问题情境，提出问题——探究等差数列前项和公式——公式理解和深化——公式应用，反馈评价——归纳总结，升华认知
五、教学过程设计
（一）创设情景，提出问题
在生活中有这样一个例子，建筑工地上有一堆圆木，从上到下每层的数目分别为1,2,3，...，10，叠加起来刚好类似于一个三角形的图案
问题1：若有10层，共有几根圆木；若有100层，共有几根圆木？
教师活动：利用多媒体，展示圆木堆的图片，引导学生观察每一层木头数的变化情况
学生活动：欣赏之余观察每层圆木数的变化情况并尝试解决问题1.
活动预设：
（1）能得到的信息：从上到下，圆木数以1为公差依次递增，构成等差数列。
（2）需要解决的问题：100层中究竟共有多少根圆木？
【设计意图】（1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。
（二）探究等差数列前n项和公式
教师活动：先给出数列前n项和的定义，指出此数列的求和方法在高斯10岁那年已被解决，征求高斯故事。
学生活动：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯10岁那年，一次数学老师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少？年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。
问题1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢？
教师活动：指导学生快速找出规律。
学生活动：高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050
问题2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质？
教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。
学生活动：利用高斯算法计算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列项的何种性质。
问题3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题？
教师活动：再次运用“倒序相加法”，将正序的和倒序的相加：

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由性质“若，则”可得：
（等差数列前项和公式）
（三）公式理解和深化
公式一：
问题1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量？
教师活动：引导学生找出变量
学生活动：此公式中，共有四个变量：，可知三求一。
问题2：此公式还可进行怎样的变形？
教师活动：引导学生从下手对公式进行变形
学生活动：得出
问题3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选？
教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。
学生活动：总结出两公式的区别及适用情况：
（1）在两个公式，五个变量中：，可知三求二
（2）若已知，优先选用公式一，若已知，优先选用公式二。
（四）公式应用、反馈评价
例1、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
    （1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50
解：（1）
    (2)
注：让学生熟练运用两个公式，掌握知三求一的题型
n变式训练1、在等差数列｛an｝中，,,,求n
解：由可知：
    ,因此n=40
注：根据来选择公式，掌握知三求一的另一种变形
变式训练2、等差数列－10，－6，－2，2，…的前______项的和为54？
解：
   
   或(舍去)
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10，故，该市在未来10年内的总投入为：
（万元）
（五）归纳总结，升华认知
1、能记忆两个等差数列前n项和公式：
（1）
（2）；
2、等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；
3、公式的应用（知三求一）