为什么混合运算要先乘除后加减

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为什么混合运算要先乘除后加减
在混合运算中，关于运算次序有两个基本法则：有括号，先计算括号中的算式，没有括号，先乘除后加减。比如，可以用下面的两个例子来表示：
　　（3＋2）×4＝5×4＝20
　　 3＋2×4＝3＋8＝110
显然，这两个基本法则是一种规定。可是，为什么要有这样的规定呢？这样的规定合理吗？
如果这样的规定是合理的，那么合理性表现在哪里呢？为了说明它的合理性，就必须回到现实世界，我们已经反复说过，小学阶段数学的一切概念和法则都是从现实世界中抽象出来的。
第一个算式是什么意思呢？思考下面的具有实际背景的问题：
操场上有4排同学，每排有3名女同学2名男同学，问操场上有多少名同学？
对于这个问题，如果分步计算，显然应当先计算每排有多少同学，然后再计算4排一共有多少同学。因此，计算的道理是：
同学总数＝每排同学数×排数
　　　 ＝(3＋2)×4
可以看到，上面括号中表达的是一个故事：每排的同学数。这个故事是整体算式中的一个独立部分，因此，先算括号中的算式是有道理的。可是，这个例子是具体的，因而是特殊的，这个特例所蕴含的运算次序的一般道理是什么呢？我们接下来分析第二个算式，然后归纳出一般道理。
如果把乘法理解为加法的简便运算，第二个算式可以表示为
3＋2×4＝3＋4＋4＝3＋8＝11。
用这样的方法来解释先乘除后加减是可以的，但是，这样的解释仅仅关注了计算方法，因此，这样的解释与上面的例子就没有共同点，就无法抽象出共性。为了把问题分析清楚，我们还是思考一个具有实际背景的问题：
操场上原来有3名同学，又来了一些同学，这些同学每排有2名同学，共有4排。问现在操场上有多少名同学？
显然，这个问题中包含了两个故事：一是原来的同学数；二是后来的同学数。类似第一个算式，可以写出计算这个问题的道理：
同学总数＝原来的同学数＋后来的同学数
　 ＝3＋2×4
因此，先计算乘法是为了完成一个故事：后来的同学数。现在问题已经很清楚了：所有的混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。在混合运算中，可能是大故事包含小故事，也可能是几个故事并列。在原本的意义上，这些故事应当分别计算，即先计算每一个具体的故事，然后再计算整体的故事，统观数学史，早期的数学都是这样计算的。如果希望用一个式子表达这样的计算，就形成了混合运算：用括号表示大故事所包含的小故事，用加号表示并列的故事。这样，为了保证混合运算的计算结果与分别计算的结果保持一致，就必须建立起前面提到的那两个基本法则。

（选自史宁中主编《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》高等教育出版社；图片来自网络）