浅析等腰三角形辅助线作法的应用

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浅析等腰三角形辅助线作法的应用
东方市琼西中学数学科组  文彬

等腰三角形是一种特殊的三角形。它除了只有一般三角形所有性质外，还有许多特殊的性质。由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛。在平面几何的习题里，有关等腰三角形内容的证明题，常用辅助线作法，屡见不鲜，下面通过几道例题的分析，谈谈我在数学教学中，如何进行有关等腰三角形辅助线作法教学的一些看法。
1、从等腰三角形的性质联系起的作法
例1．已知：如图，点D、E在△ABC的边在BC上、AB=AC、AD=AE。
求证：BD=CE。
分析：这是一道证明两条线段相等的问题。因为△ABC和△ADE是有公共顶点，并且底边也同一直线上的等腰三角形。所以，作△ABC（或△ADE）的高AF。根据等腰三角形“三线合一”的性质，可同时平分BC和DE、即BF=FC、DF=FE。根据等量减等量差相等，得到BD=CE。
2、从线段垂直平分线的性质联想起的作法
例2．在△ABC中，AB=AC，∠A=120°,AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，求证：BM=MN=NC.
分析：连接AM、AN，由线段垂直平分线的性质知，BM=AM,AN=CN,又因为AB=AC，∠A=120°,则∠C=∠B=∠BAM=∠CAN=30°,即：∠AMN=∠B+∠BAM=30°+30°=60°=∠MAN，所以△AMN是等边三角形，即AM=AN=MN，即可得证。
3、从构造全等三角形联系的作法
例3．已知如图∠A=90°，AB=AC、BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。
求证：BD=2CE
分析：因为BE平分∠ABC，CE⊥BD，所以点C关于BE的对称点F必是BA，CE的延长线的交点，由对称性质知：△CBE≌△FBE所以CF=2CE，又因为∠BDA=∠CDE，∠BAC=∠CED=90°，所以∠DCE=∠ABD，AB=AC，从而△ABD≌△ACF，故有BD=CF，所以BD=2CE，本题获证。
4、从有关定理联想起的作法
例4、已知AB是等腰直角三角形ACB的斜边，BD是∠ABC的平分线。求证：BC+CD=AB。
分析：这是一道证明一条线段等于其他两条线段的和的问题。一般来说，证明方法是：截取或延长。本题由已知条件BD是∠ABC的平分线，∠C=90°。
从“在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”着想，作DE⊥AB，垂足为E。于是DE=CD得到Rt△BCD≌Rt△BED。所以BE=BC。容易证明△AED为等腰直角三角形，所以EA=ED=CD，故BC+CD=BE+EA=AB，本题获证。
5、从构造等腰三角形联想起的作法
例5.已知:如图.AB=AD，∠B<∠D。求证BC>DC。
分析：这是一道证明线段不等的问题，一般来说，要用在一个三角形中大角所对的边较大来证。但本题由已知AB=AD，可连结BD，根据在一个三角形中，等边对等角的关系得∠1=∠2。又因为∠B<∠D，有∠3>∠4，故BC>DC。
6、从周长关系联想起的作法
例6．求证：在一切同底边并且等面积的三角形中，以等腰三角形周长为最短。
分析：如图.设AB为固定的底边，△ABC为等腰三角形，△ABC与△ABD面积相等，且它们在AB的同侧，所以CD∥AB，作B点关于CD的对称点B1，则A、C、B1、三点共线，连结B1D则AD+BD=AD+B1D>AB1=AC+CB1=AC+BC所以△ABC周长最短。
7、从面积关系联想起的作法
例7．如图，已知：△ABC中，AB=AC，BE是腰AC上的高，P是底边BC上任意一点，PM⊥AB，PN⊥AC，M、N是垂足。求证：PM+PN=BE。
分析：本题若用“截取或延长”的方法当然可以获证。但是，如果运用“一个图形的面积，等于它的各部分面积的和”这个性质来证，就显得更简单。其方法是：连结AP，因为S△ABP+S△ACP=S△ABC，即 AB·PM+ AC·PN= AC·BE，得到AB·PM+AC·PN=AC·BE，因为AB=AC，即可得证。
8、从轴对称的性质联想起的作法
例8.如图，已知在△ABC中，AB=AC，D在△ABC内且∠ADB>∠ADC。求证：DC>DB。
    分析：因为等腰三角形是轴对称图形．其对称轴是底边的垂直平分线。
过点A作AE⊥BC，垂足为E，交CD于点F，因为AB=AC，所以AE是等腰三角形ABC底边BC的垂直平分线，又因为点F在AE上，所以BF=FC，在△BDF中，因为DF+BF>BD．所以DC=DF+FC=DF+BF>BD。
9、从旋转联想起的作法
    例9．如图，已知在△ABC中，AB=AC．D在△ABC内且∠ADB>∠ADC，求证：DC>DB。
    分析：本题若在△BDC中考虑问题．难以获证。如果用旋转的方法去研究，可以得到证明。
    将△ABD绕A点旋转至△ACE，则有△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠AEC=∠ADB>∠ADC，同例4，连DE可证DC>DB。
因此，我认为在教学实践中，作为一名教师，要充分利用中学生的心理特点，启发引导学生拓宽思维，寻找解决问题的方法，这样就可激发学生的学习兴趣，而且也为教师提供了一个培养学生创造性思维能力的有效途径。