《运算定律与简便计算》教学设计（附教学建议）

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教材说明
    在理解和掌握了五条运算定律的基础上，本节进一步学习整数四则运算中的一些简便计算。
    教材一共安排了五道例题。例1和例2讨论加减法运算中常用的简便计算，例3和例4讨论乘除法运算中常用的简便计算，例5主要讨论乘、加运算中常用的简便运算。也就是说，例1至例4只涉及同级运算，例5则涉及两级运算。
    在这五道例题中，例1和例3讨论的连减、连除运算中的简便计算，过去的小学数学中也有同样的内容。教材主要着眼于通过不同解法的比较，使学生认识一个数连续减去或连续除以两个数，可以改为减去两个数的和或除以两个数的积。这里并不要求概括为运算性质。
    相对而言，其他三道例题的问题情境较为新颖，解决问题的策略较为灵活，在过去的小学数学教材中比较少见。
    这样编排的意图主要是为了通过一些典型的、紧密联系现实生活的例子，引导学生根据运算特点和数据特点，灵活选用合理、简便的计算方法。因此，五道例题所涉及的这些简便计算类型，只是一种载体和手段。换句话说，掌握例题所涉及的这几种简便计算，是一种手段，目的是为了培养和提高学生灵活、合理地选择计算方法的习惯和能力。
    本节教材的最大特点是，将简便计算的讨论与实际问题的解决有机地结合起来，使问题解决策略的多样化与计算方法的多样化融为一体。这样既能让实际问题的生活背景成为学生理解简便计算方法及其算理的经验支撑，又能使解决问题能力与计算能力的培养相互促进，同步提高。
    配合本节教学安排了两个“做一做”和两个练习。主要是与例题相应的计算练习和应用练习。
教学建议
    1．注意正确理解算法多样化、个性化的实质。
    首先，要鼓励独立思考，尽可能地让学生自己探索不同算法。其次，注意组织互相交流，尽可能使个别学生的创见为其他同学共享。第三，应当允许学生自主选择，包括允许学生采用不同的探究方法，选用不同的直观支撑，选择自己喜欢的或适合自身特点的计算方法。第四，尊重学生的个体差异，在教学要求的把握上，因人而异，区别对待。比如，本节教材的练习中，不少题目的指导语是“怎样简便就怎样算”。由于“怎样简便”没有统一的标准，加上个人具体情况的差异，很自然产生不同的评价判断，你认为简便的方法，他认为不简便。因此，采用何种算法，允许学生自主选择，可以依据有关知识经验对算式进行变形，也可以按运算顺序进行计算。
    2．本节内容可以用4课时进行教学。

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乘法的意义和乘法的交换律 教学内容：教科书第59页的例1和第60页的乘法交换律，完成“做一做”中的题目和练习十三的第1——5题。教学目标：加深学生对乘法的意义的认识，理解并掌握乘法的交换律。能够用乘法的交换律验算乘法，培养学生分析推理的能力。教学准备：把下面的复习题目写在幻灯片上，把例1的插图画在幻灯片上。幻灯机。教学过程：一、复习教师：我们在前面复习总结了加法和减法，今天要复习总结乘法。下面请同学们看屏幕上的复习题。教师出示复习题： 1、同学们乘8辆汽车去参观，平均每辆汽车坐45人。去参观的一共有多少人？ 2、同学们做纸花。第一组做了45朵，第二组做的和第一组同样多，第三组做了50朵，三个组一共做了多少朵？ 3、小红家养鸡45只，养的鸭是鸡3倍。小红家养鸭多少只？ 4、小花家养鸡45只，养的鸭比鸡多90只。小花家养鸭多少只？先让学生自主读题，然后教师提问：上面这些题目哪些可以用乘法计算？为什么？请三、四个同学逐题回答能不能用乘法计算。教师：第1 师和第3题可以用乘法计算，因为这两道题都是求几个相同加数的和。下面请同学们看黑板上的题该用什么方法计算。二、新授 1、教学例1（写在黑板上），并出示幻灯片。学生观看后，提问：（1）、要求盘里一共有多少个鸡蛋可以怎样求？（2）、还可以怎样求？学生回答后教师板书：用加法计算：5+5+5+5+5+5=30（个）或6+6+6+6+6=30（个）用乘法计算：5×6=30（个）或6×5=30（个）提问：在5×6这个乘法算式中5和6各表示什么？在算式6×5这个乘法算式中呢？学生讨论汇报后。教师肯定：同学们说得很好。提问：（下面请同学想想）解答这道题用加法计算简便，还是用乘法计算简便？求几个相同加数的和可用什么方法计算？用哪些方法比较简便？你能说出乘法是什么样的的运算吗？教师肯定学生的回答，再强调说明并板书：求几个相同加数的和的简便运算，叫做乘法。学生齐读两遍书上的结语。 2、教学因数中有“1”、“0”的乘法（1）、教学一个数和1相乘。教师要黑板上写出三个算式：1×3、3×1、1×1。 “1乘3等于几？这个算式表示什么意思？学生回答后教师板书：1×3=3表示3个1相加的和是3。” “3乘1等于几？这个算式表示什么意思？（学生汇报）教师说：1个3不能相加，3乘1就表示1个3还是3，再板书3×1=3” “1乘1等于几，能不能说这个算式表示1个1相加？”（学生讨论汇报后）教师小结：1个1 不能相加，1乘1就表示1个1还是1，算式是：1×1=1 “这三个乘法算式都与哪个数有关系？”（都和1有关系）下面我们再来看看一个数与1相乘它们的积怎样，教师在黑板上写出下面一些算式：6×1=    1×8=     123×1=     10×1= 学生说出结果教师肯定后说：谁能说说一个数和1相乘的积有什么特点？（抽2—3人说）教师板书：一个数与1相乘，仍得原数。（2）、教学一个数与“0”相乘教师在黑板上写出三个算式：0×3=     50×0=       0×0= 提问：0乘3得几？这个算式是表示什么意思？（学生回答后）教师板书：0×3=0表示3个0相加的和是0。提问：50乘0等于几呢？这个算式能不能说是表示0个50相加？（学生回答后）教师说：50简朴0就表示0个50还是0。板书：50×0=0 0与0相乘得几？（学生回答后）教师说：0个0不能相加，0乘0就表示0个0还是0，算式是（板书3×0=0） 提问：这三个算式都与什么数有关系？（学生说：都与0有关系）一个数与0相乘它们的积有什么特征？（抽几个学生回答后）教师边说边板书：一个数与0相乘，仍等于0。 3、教学乘法交换律教师讲：下面我们再来看看例1（教师指着例1的插图），要求一共有有多少个鸡蛋，用乘法计算列式是：5×6=30（个）和6×5=（个）。同学们比较一下这两个乘法算式，它们有哪些相同，又有哪些不同？（让学生充分发表自己的意见后）教师讲：这两个算式都有两个数相乘，只是两个因数交换了位置，算出来的结果相同。下面我再来看一下这个结论是不是有普遍性。教师板书：12×5=    5×12=      学生口算，教师板书结果。再请同学们算算（教师板书）400×20=    20×400=     学生口算，教师板书结果。学生小组讨论：能过上面这些乘法计算，可以看出两个数相乘，交换因数的位置，计算结果怎样？学生汇报后，教师边说边板书：两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变，这叫乘法的交换律。 提问：同学们，如果我们用字母a、b分别代表一个因数，谁能用字母把乘法交换律表示出来？（学生回答后）教师小结板书：a×b=b×a 大家回忆一下，我们过去学习哪些知识时用了乘法交换律？（学生讨论发言后）教师肯定学生的回答，并指出：我们曾用交换因数位置的方法进行乘法验算，这实际上就是应用了乘法交换律。三、巩固练习 1、做60页“做一做”中的题目。先让学生装独立做，然后集体核对。 2、做练习十三的第三、第四题，（小结一下三个数相乘，交换因数的位置，积也不变。）四、作业：练习十三的第1、2、5题。

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教学内容：教科书第43页例3及该页上的“做一做”，练习八第1～3题。
教学目标：
1.使学生懂得一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积。
2.使学生会用上述规律进行简便计算，并会用来解决实际问题。
教学过程：
一、口算
（1）上下两题为一组：
560÷8÷7=        720÷9÷8=        1800÷3÷6=        6200÷62÷10=
560÷56=        720÷72=        1800÷(3×6)=        6200÷(62×10)=
（2）你发现了什么?
二、动手操作
1.出示16个苹果的教具。
（1）先平均分成2份，每份几个苹果？
（2）把每份中的8个苹果，再平均分成4份，每份几个？怎样列算式？
请一位学生说，教师演示：
（1）

（2）
其他同学边看演示边列算式。（16÷2÷4）
2.提问。
①从刚才分苹果的过程中，我们可以看出，把16个苹果先平均分成2份，再把每份苹果平均分成4份，一共分成了几份？（8份）
②这个8份是怎么来的？（2×4）
③那么现在每份几个？又可以怎样列式？16÷（2×4）
④算式16÷2÷4与16÷（2×4），最后结果都表示什么？相等吗？
⑤可以用什么符号把这两个算式连起来？
3.学生操作。
拿出12根小棒。
①先把12根小棒平均分成3份，再把每份中的小棒平均分成2份，每份几根？
②用两种方法列式。
③比较两个算式，能用等号连起来吗？
三、小结规律
1.观察比较，说说你发现了什么？
16÷2÷4＝16÷（2×4）
12÷3÷2＝12÷（3×2）
2.交流并小结。
一个数连续除以两个数，可以用这个数除以两个除数的积。
四、学习例3
1.出示例题，理解题意。
（1）投影第43页主题图与例3的文字。
（2）学生口述题意，分清已知条件与问题。
2.学生尝试用两种方法解决问题。
3.交流解决问题的算法，说出先算什么。
4.比较两种算法，你认为哪种比较简便。
五、练习
1.完成第43页“做一做”第1题左边的两小题。
2.口算。
教师逐一出示以下口算题，全体学生听教师口令用手势表示得数，然后说出口算的方法。
（1）81÷3÷3
（2）120÷12÷2
（3）240÷5÷24
（4）210÷（7×6）
（5）350÷（25×7）
3.完成第43页“做一做”第2题。
4.自编一个可用连除计算的实际问题。
（1）在前后桌四人小组内交流。
（2）教师通过巡视，发现编得好的，在全班交流。

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教学内容：教科书第27～29页，练习五第1～4题。
教学目标：
1.通过尝试解决实际问题，观察、比较，发现并概括加法交换律、加法结合律。
2.初步学习用加法运算定律进行简便计算，并用来解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、概括能力和语言表达能力。
教学过程：
一、创设情境
1.引入谈话。
在我们班里，有多少同学会骑车？你最远骑到什么地方？
骑车是一项有益健康的运动，这不，这里有一位李叔叔正在骑车旅行呢！
（多媒体演示：李叔叔骑车旅行的场景。）
2.获得信息。
问：从中你可以得到哪些信息？
（学生同桌交流，然后全班汇报。）
随着学生的回答，多媒体从左往右展示线段图，出现大括号与问题：

3.解决问题。
问：能列式计算解决这个问题吗？
（学生自己列式并口答。）
二、探索规律
1.加法交换律。
（1）解决例1的问题。
根据学生回答板书：
        40＋56＝96（千米）
        56＋40＝96（千米）
多媒体展示：从右往左再现线段图。
问：两个算式都表示什么？得数怎样？○里填什么符号？
        40＋56○56+40，
（2）你能照样子再举几个例子吗？
（3）从这些例子可以得出什么规律？请用最简洁的话概括出来。
（4）反馈交流。
两个加数交换位置，和不变。
（5）揭示定律。
问：①知道这条规律叫什么吗？
②把加数换成其他任意的数，交换律还成立吗？
③怎样表示任意两数相加，交换加数位置和不变呢？请你用自己喜欢的方式来表示，好吗？（同桌轻声交流。）
④交流反馈，然后看书：看看课本上的小朋友是怎么说的。
⑤根据加法交换律对口令。
师：25＋65＝______（生：等于65＋25）
78＋64＝______
⑥完成课本第28页下面的“做一做”：
300＋600＝＋＋65＝＋35
2.加法结合律。
多媒体展示：李叔叔三天骑车的路程统计。
（1）找出信息解决问题。
问：你能解决李叔叔提出的问题吗？
学生独立完成后交流。
多媒体展示线段图：根据学生列出的不同算式，表示三天路程的线段先后出现。

问：通过线段图的演示，你们发现什么？（不论哪两天的路程先相加，总长度不变。）
我们来研究把三天所行路程依次连加的算式，可以怎样计算：
比较88＋104＋96
＝192＋96
＝288

为什么要先算104＋96呢？（后两个加数先相加，正好能凑成整百数。）
出示：（88+104）＋96○88+(104+96)，怎么填？
（2）你能再举几个这样的例子吗？
问：观察、比较这些算式，说一说你发现了什么秘密？（鼓励学生用自己的话来说。）
（3）揭示规律。
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，这就是加法结合律。
（4）用符号表示。（学生独立完成，集体核对。）
（▲＋★）＋●＝____＋（____＋____）
（a＋b）＋c＝____＋（____＋____）
（5）问：①用语言表达与用字母表示，哪一种更一目了然？
②这里的a、b、c可以表示哪些数？
三、练习巩固
1.指出下面哪几道题运用了加法运算定律，分别运用了什么运算定律。
（1）    验算：（运用了加法交换律）
（2）用“凑十法”7＋9＝6＋（1＋9）（运用了加法结合律）
（3）～（7）为教材练习五第4题（略）。
2.连一连。
    83+315　　　　　　64+（73+37）
    87+42+58　　　　　315+83
    （64+73）+37　　　87+（42+58）
　56+78+44　　　　　78+（56+44）
想一想：最后一组连线的依据是什么？
四、小结
1.今天我们发现了哪些数学规律？
2.这些运算定律是怎样发现、归纳的？
3.对于加法的交换律、结合律的应用，我们已经知道的有哪些？
五、布置课后作业
完成课本练习五第1题、第3题。

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例5的画面是几位科学家在野外考察的情景。图下有3～7月份的月历，并标出了科考队的出发日期、计划返回日期和实际返回日期，然后提出问题“科考队这次考察一共花了多少时间？”
    教材介绍了按月、按周计算的两种思路，以及相应的列式计算过程。在按月计算的过程中，运用了乘法分配律。然后通过小精灵，鼓励学生提出自己的算法，和同学交流。最后让学生根据例题的内容，继续提出其他问题作为练习题。
教学建议
    教学时，可以通过投影或课件展示例5的画面、说明文字和问题。让学生说一说我们可以得到哪些信息，要我们计算什么。这里应当让学生明确：科考队3月1日出发，7月26日返回；要求的问题是科学考察实际用的天数，而不是计划用的天数。然后让学生独立思考，尝试列式计算，也可以组织小组讨论。
    学生容易想到按月计算的思路，根据已知的出发、返回时间，可以知道整个3、4、5、6月都在外面，7月有26天在外。要注意的是3至6月中有两个大月（有31天的月）、有两个小月（有30天的月）。学生列出的算式可能不完全相同，如：
        31＋30＋31＋30＋2630×4＋2＋26
只要是对的，就应当给予肯定。
    按周计算的思路不难理解，但计数一共有多少周比较容易出错。可以让同桌互相指着月历边点、边数，也可以请能正确计数的同学介绍自己是怎样数的。
7．关于练习八中一些习题的说明和教学建议。
    第1～3题是解决实际问题。
    第1题列式为350÷14，可以用笔算，也可以简便计算。
        350÷14＝350÷7÷2
    第2题可以列式为2?40×7＋0?60×7，计算时利用乘法分配律。也可以直接列式为（2?40＋0?60）×7。
    第3题比较灵活。可以用乘法算出5本相册一共可以插多少张照片，然后和900张比较大小；也可以用除法，如900÷5÷6，将商和32页比大小。
    第4题是让学生看算式，说依据，指出每个算式运用了什么定律。其中第2个算式学生回答用到了乘法交换律即可，可以不去深究。第4、5两个算式既用了乘法交换律，又用了乘法结合律。
    第5题是判断题，反映的都是学生平常比较容易犯的错误。其中前两题是对的，后面三题都是错的。练习后，可以让学生说一说，后面三题分别错在哪里。
    第6题是8道计算题，其中每一题都可以简便计算，基本覆盖了本单元的简便计算方法。因此，可以在学生完成练习后，通过讲评加以对比、辨析。如：

98＋265＋202＝98＋202＋265（连加，加数可交换、结合）
250×13×4＝250×4×13（连乘，因数可交换、结合）
273－73－27＝273－（73＋27）（连减，可减去减数的和）
3200÷4÷25＝3200÷（4×25）（连除，可除以除数的积）
88×125＝（11×8）×125（88看成两数的积，转化为连乘，可运用乘法结合律）
88×125＝（80＋8）×125（88看成两数的和，转化为和乘以一个数，可运用乘法分配律）

    第7题是一道有关几何计算的实际问题。题中的多边形可以划分为宽相等的两个长方形，因此又可以把这两个长方形拼成一个长方形。如图：
21×9＋19×9＝（21＋19）×9
    可见，本题实际上是乘法分配律的一种几何模型。
    第8题与例4的第一个问题类似。
    第47页的思考题，可以这样想：

从前两个算式得出
△＋△＝○＋○＋○＋○
即△＝○＋○
把第3个算式中的2个○换成1个△，得
△＋□＋△＝400
由第1个算式，2个△可换成3个□，即
□＋□＋□＋□＝400
所以□＝100，代入第1、2个算式，可得
△＝150
○＝75

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例4以王老师买羽毛球拍和羽毛球为题材，提出了三个问题。其中前两个问题，用乘法解答。计算时可以灵活运用乘法结合律，或者把因数25用100÷4代换，使计算简便。第三个问题与例3类似。整个例题具有一定的综合性。
    第一个问题，求一共买了多少个羽毛球，教材给出了部分解答，留白部分让学生完成。而后，教材提出了小组交流的话题，以及其他两个问题，让学生自己完成。
教学建议
    教学时可以先复习乘法运算定律和连除的简便计算，还可以针对学习中的难点设计一些专项练习，如填空：
        12＝4×（）25＝100÷（）
        32＝4×（）125＝1000÷（）
    例4的三个问题，可以一次给出，或依次给出，也可以先出示插图和四个已知条件，让学生说说“一打装”是什么意思，然后由学生自己提出问题。学生可能提出以下六个问题：

①每副羽毛球拍多少钱？
②每枝羽毛球拍多少钱？
③一共买了多少个羽毛球？
④买羽毛球一共花了多少钱？
⑤买羽毛球拍和羽毛球一共花了多少钱？
⑥买羽毛球拍比买羽毛球多花了多少钱？

    其中问题①包含在问题②里面，因此重点解决问题②、③、④即例4的三个问题，问题⑤、⑥作为练习让学生自己完成。
    解决求羽毛球总数的问题，可以先由学生独自列式计算，再组织小组交流。如果没有学生想到用100÷4代换25，可以提醒学生看看教科书上是怎么解决这个问题的。也可以先让学生笔算出12×25的积，再完成书上例题中的填空。通过比较，确信两种简便算法的正确性，然后再组织学生针对“为什么可以这样算”展开讨论。
    学生容易理解12×25＝3×4×25的算理，但对12×25＝12×100÷4，理解起来会有些困难。教师可以酌情给予启发，比如：把25盒看成100盒，扩大到原来的几倍？怎样才能使积不变？以此帮助学生理解算法。突破这个难点，再解决“买羽毛球一共花了多少钱？”“每枝羽毛球拍多少钱？”多数学生有能力自己作出解答。因此，这两个问题可当作“做一做”的练习题处理。

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例3是以本单元第2节主题图的内容为载体，讨论可用连除计算解答的实际问题。教材给出了两种解法，即连续除以两个数与除以两个数的积。同时通过两位同学提问的插图，引导学生思考两种解法分别先算什么，再算什么。然后，通过小精灵的提示引导学生比较两种算法，说出其中的运算规律。
    与例1比较，例3只给出了两种解法。这是因为第三种解法先除以后一个数（1250÷5），联系实际作出解释较为困难，对学生来说比较费解，所以有意回避。
    例3下面的“做一做”，安排了两道练习题。第1题是计算题，左边两道为连除题，配合例3的教学；右边两道为乘加计算题，可以运用乘法分配律使计算简便。第2题是连除计算的实际问题，情节内容为学生所熟悉的练毛笔字。
教学建议
    （1）教学时，可以联系第2节的主题图直接引出例3。也可以先复习减法的简便计算，启发学生想：连续减去两个数，可以减去这两个数的和，那么连续除以两个数，又可以怎么算呢？引起学生的关注和思考，再引出例3。考虑到连除的算理不如连减那么浅显，因此还可以先设计一些动手操作的活动，如：把24个圆片先平均分成2组，再把每组平均分成3份，求每份是多少。通过操作活动，使学生感悟解决连续等分的问题，可以分了再分，也可以先求出两次一共分成多少份，然后一次分完。有了这一铺垫，学习例3就可以放手让学生自己尝试解答。学生得出两种解法之后，要让他们根据题意说出第一步先算什么。即
        1250÷25÷5            1250÷（25×5）
    先算每组花了多少元    先算一共有多少棵
如果有学生想到第三种算法，1250÷5÷25，也应该给予肯定，并酌情引导学生理解第一步求的是25组各1棵树苗共多少元。简单地说，即25棵树苗多少元。然后让学生看书，比较两种解法，根据小精灵的提示，把其中的计算规律说完整。
    （2）“做一做”中的两道题可以先让学生独立练习，再交流、讲评。第1题的左边两题，可以按顺序算，也可以转化为除以两个数的积，两种方法计算的难易程度相差不大。右边两题运用乘法分配律，计算比较简便，即：
    25×（4＋8）＝25×4＋25×8    5×99＋5＝5×100
    12个25等于4个25加8个25        99个5加1个5等于100个5
讲评时，应引导学生依据乘法运算意义，解释计算过程，并对照乘法分配律的字母表达式a（b＋c）＝ab＋ac，看清两题分别是乘法分配律从左到右、从右到左的运用。
    第2题虽说是实际问题，但情节内容通俗，数量关系明显，学生一般不会感到困难。