中学数学优秀教学论文高中数学教学中的数形结合浅析

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中学数学优秀教学论文高中数学教学中的数形结合浅析
内容提要：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。作为一种数学思想方法，数形结合在高中数学中广泛应用。 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。特别是在解选择题、填空题时更显其优越，因此在教学中要注意培养学生的这种思想意识，要争取胸中有图、见数想图、以形助数，以开拓他们的思维视野。在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。当然, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用, 就要熟悉某些问题的图形背景, 熟悉有关数学式中各参数的几何意义, 建立结合图形思考问题的习惯, 在学习中不断摸索, 积累经验, 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。
关键词：见数想图 以形助数 数形结合思想                 
正文：数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。在解决数学问题时，根据问题的背景和可能，使数的问题，借助形去观察，而形的问题，借助数去思考，采用这种“数形结合”来解决问题的策略，我们称之为“数形结合的思想方法”。作为一种数学思想方法，数形结合在高中数学中广泛应用。 巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。特别是在解选择题、填空题时更显其优越，因此在教学中要注意培养学生的这种思想意识，要争取胸中有图、见数想图、以形助数，以开拓他们的思维视野。下面就数形结合思想在集合问题、函数、方程、不等式、解析几何及数列中的应用作简单的分析。
一、集合问题
在集合运算中常常借助于数轴、韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
例 1: 已知集合 A=[0,4],B=[-2,3], 求 A∩B。
分析: 对于这两个有限集合, 我们可以将它们在数轴上表示出来,就可以很清楚的知道结果。如图 1, 由图我们不难得出A∩B=[0,3]。

                    图1                                     图2
例2：若I为全集，M、N I，且M∩N=N，则（　　）。
A. I M    I N    B.M    I N     C. I M    I N    D.M    I N
B.提示：由韦恩图（图2）可以很容易知道答案为C。
    二、函数问题   
利用图形的直观性来讨论函数的值域(或最值)，求解变量的取值范围，运用数形结合思想考查化归转化能力、逻辑思维能力，是函数教学中的一项重要内容。                    
例3：设    是二次函数，若 的值域是 ，则 的值域是（   ）   A．     B．     C．    D．
    解析：因为 是二次函数，值域不会是A、B，画出函数 的图像（图3）
易知，当 值域是 时， 的值域是 ，答案：C。
        
       图3                    图4                     
    例 4:若函数 f(x)是定义在R上的偶函数,在(- ∞,0]上是减函数，且f(2)= 0 ,求 f(x)< 0的x的范围。
    解:由偶函数的性质,y = f(x)关于y轴对称,由y = f(x)在(- ∞,0 )上为减函数,且 f(-2) = f(2) = 0 ,做出图4,由图像可知f(x)< 0 ，所以x （- 2，2)                                                                          
三、方程问题
处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

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    六、数列问题
    数列是一类特殊的函数，等差数列的通项公式是一次函数，它表示一次函数图象上的孤立点，前几项和公式是二次函数，它表示二次函数图象上的孤立点，等比数列的通项公式是一个非零常数与一个指数函数的积，其图象是一条指数函数图象的曲线。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图像进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
    例11　若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p，求ap+q。（如图11）

图11
分析：不妨设p＜q，由于等差数列中，an关于n的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点，故三点（p，q），（q，p），（p＋q，m）共线，设ap+q＝m，由已知，得三点（p，aq），（q，ap），（p＋q，ap+q）共线。则kAB=kBC，即 得m＝0，即ap+q＝0。
例12： 等差数列{ a }中,前m项的和S = S ( m n) ,求 S 的值。
解：代入等差数列的求和公式,则由S = S ，得ma  +   = na  +  ,因为m n，所以a  +   = 0，S =（m+n）a  +    = (m+n) = 0。
这种解法易上手,但繁琐。若能利用数列求和公式的二次函数式,其解法又将进一步简化。
由S =An +Bn，S =Am +Bm 。因为m n，所以S = A(m+n) +B（m+n）（m+n）  = (m+n)  = 0 。若再进一步利用S =An +Bn的二次函数图像就可产生如下解法：由S =An +Bn，不妨设A< 0，而 y = Ax +Bx的图像是一个过坐标原点的抛物线，则由S = S ( m n)可知，该抛物线的对称轴方程是x =  ，易知,抛物线和x轴的一个交点是原点,另一交点的横坐标是(m + n)，故S =0 。
    这个问题的第二种解法用到了数形结合,培养了学生由数列联想到函数图像,二者之间相互映证、转化,使学生感到一种数学变化的快乐。
    总之，在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解 “数”与 “形” 的相对性, 使之有机地结合起来。当然, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用, 就要熟悉某些问题的图形背景, 熟悉有关数学式中各参数的几何意义, 建立结合图形思考问题的习惯, 在学习中不断摸索, 积累经验, 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。

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例5、方程lg x=sin x解的个数为（　　）。
A.1　   　B.2　  　C.3　  　D.4
分析：画出函数y=lg x与y=sin x的图象（如图5）。注意两个图象的相对位置关系。

             图5                                    图6
    例6、若关于x的方程 的两根都在1与3之间，                        求k的取值范围？
分析：令 ，如图6所示，其图像与x轴交点的横坐                        标就是方程f(x)=0的解，要使两根都在1，3之间，只需f(1)>0，f(3)>0，            ，1<-k<3同时成立，解得 ，故k∈(-3，－1)。
一般地，只要已知一元二次方程的两个根的所在范围，就可以用数形结合的方法来比较容易地解决。
    四、不等式问题
处理不等式时，把不等式的两边看成两个函数，从两个函数图像谁上谁下找出不等式的解区间。
例7、.解不等式：               
解: 设             ，即                     对应的曲线是以 ( ,0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数 的图象是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是 。  



                                          

            图7                                    图8
例8、不等式 的解集是 （        ）
分析：令f(x)=x，g(x)=  ，在同一坐标系中画出这两函数图像。如图8所示，由图像可知：不等式 的解集为(-1，0)∪(1，+∞)。
    这类求解像f(x)>g(x)这样的不等式，跟上面所提的方程f(x)＝g(x)的类似，方程问题的是看两个函数图像有几个交点这类的信息，而这里不等式问题的是看不同的区间内，两个函数图像谁上谁下，从而知道谁大谁小了，也就是不等式的解区间了，区间的端点就是方程问题所要讨论的。
五、解析几何问题
解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。
例9　已知集合Ｍ＝｛ | ｝与集合Ｎ＝｛ | ｝，则Ｍ∩Ｎ中的元素个数有（　 ）　A、1　　B、2 　C、　3　　D、4　　　　　　　　　　　　　　　　
分析：画出圆 和抛物线 的图像，如图9所示，根据图像，　                            答案一目了然，选B。  
例10　如图10所示，F1，F2双曲线   的左右焦点，Ｐ是其上任意一点，P F2的中点Ｑ到Ｏ点的距离为４，求点Ｐ到其左准线的距离？　　　　　　　　　　　　　　　　
分析：如图10所示,连接F1Ｐ，OQ，就可以看出OQ是△F2F1Ｐ中F1Ｐ边上的中位线，则F1Ｐ＝８，所以点Ｐ到其左准线的距离是  。