中学数学优秀获奖论文高中数学教材例题教学的再研究

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中学数学优秀获奖论文高中数学教材例题教学的再研究
广东省云浮市罗定中学   苏颖
内容摘要：数学教材中每节内容，少不了例题教学，而例题教学是学生应用新知识重要途经之一，通过例题教学，不仅让学生了解新知识的考查内容，解题格式，还体现在以下各方面作用：一、利用创造性原则，挖掘例题的潜在价值。二、利用探索性原则，提高学生逻辑推理能力。三、利用变通、类比原则，培养扩散思维。四、利用数学美原则，提高学习兴趣。五、利用理论与实践相结合原则，培养学生的应用能力、创新能力。
关键词：教材例题 创造性 探索性 类比原则 数学美原则 教学 应用能力 创新能力
例题教学是中学的重要内容，是学生学习教学知识的重要环节，缺少这一环节，学生只能获得零碎、松散、杂乱枯燥的教学教条，难于全面、深刻、系统地掌握教学理论、灵活运用所学的理论去解决问题，更难于开拓思路、培养创见性的头脑。因此，教师在对例题，特别是教材中具有典型性代表性而又起着示范作用的，要进行处理。例题的教学中运用例题教学原则，引导学生进行大胆独创的探索，注意贯穿教学的精神、思想和方法，充分发挥例题的教学作用。这里，就笔者的教学实践，谈谈对教材例题教学体会。
一、利用创造性原则，挖掘例题的潜在价值
众所周知，创造性思维潜能人皆有之，而学生发展水平关键在于教学过程中教师的启发性，教师应对所授例题充分挖掘它的示范性，在深入钻研例题后进行恰当改编，设计新的问题刺激思考，培养创造力，达到提高学习效率的目的。
例1、 在△ABC中，  ， ，求 的值。
（高中数学人教版必修4 p133-134 例6）
此题的目的是强化二倍角公式及和（差）公式的理解和应用，为了充分挖掘此题的教学价值。
解法1：在△ABC中，A,B,C都是锐角或钝角，且 ，所以A是锐角，
∴  所以 ，
所以
又 ，∴  
所以
解法2：在△ABC中，A,B,C都是锐角或钝角，且 ，所以A是锐角，
∴  所以 ，
又 ，所以 ，
于是
变式：已知  
解析： 可以看成 两个角，又可以看成 两个角。
这样学生一下子就想到了两种方法，思维就开宽了，解法变化虽然简单，但让学生复习了二倍角公式，又复习了和差公式，这可一题多解，又从研究教材的角度，探讨出例题的潜在价值。
例2、在100件产品中，有98件合格品，2件不合格品，从这100件产品中任意抽出3件。
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件是不合格的抽法有多少种？
（高中数学人教版选修2-3 p24-25 例8）
此题第1小题是一个没有限制条件的组合问题；第2、3小题是有限制条件的组合问题。让学生认识该题的学习价值。
解：（1）所求的不同抽法的种数，就是从100件新产品中取出3件的组合数，所以不同抽法的种数为 。
（2）从2件次品中抽出1件次品的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为
（3）解法1：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况.在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有 种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为

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变式2：对变式1进行变更问题，由“涨价”问题变为“降价”问题，使应用题具有开放性。
如可变为：某商店购进商品时单价是2.5元。若按单价13.5元出售，销售量是500件，而单价每降低1元，就可售出200件。请你分析，销售单价是多少时，可以获利最多？
以上两题变式，变换后的题可直接设元让学生分析各量关系，并找出等量关系。再利用二次函数知识求最值。
　　       
例7(1)用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
(2)一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？（高中数学人教版必修5 p99例1）
分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为 m，宽为 m，则 ,篱笆的长为 m.
由                           ，
可得                          ,
,

等号当且仅当 ，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m。
(2)设矩形菜园的长为 m ,宽为 m ,则 ， ，矩形菜园的面积为  ，
由          ，可得  ，
可得等号当且仅当 时成立，此时 ，
因此，这个矩形的长、宽都为9 m时，菜园的面积最大，最大面积为81 。
利用基本不等式求最值时，应注意的问题：（1）各项均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断。（2）求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值。（3）确保等号成立。
例8、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800 深为3 m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？
（高中数学人教版必修5 p99例2）
分析：水池呈长方体形，它的高是3m，底面的长和宽没有确定，如果底面的长和宽确定了，水池的总造价也就确定了，因此可转化为考察底面的长和宽取为多少时，水池的总造价最低。
解：设底面的长为 m,宽为 m, 水池总造价为z元，根据题意，有
   ，
由容积为4800 可得 因此 ，
由基本不等式与不等式性质，可得 ，
即  
                     
可得等号当且仅当 时成立，此时
所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低,最低造价为297600元。

这几题要求学生联系生活实际，探索问题结论并加以解答，有利于学生创新意识、应用能力的培养，同时对激发学习兴趣很有好处。另一方面，教学中要重视培养学生的阅读和理解能力，其关键是引导学生把非数学语言表达的问题转化成数学问题。

上面两例可引导学生用二次函数、导数等的知识去解决生活中的最优解，开发学生思维。

以上是我对高中数学教材例题的粗浅分析，当然，要提高学生数学素质，要从各方面激发学生学习数学的兴趣。因为“兴趣是最好的老师”，“没有兴趣的强制学习，必将扼杀学生探求真理的欲望。”因此，教师要融洽师生关系创设舒畅心境；把握有利时机创设问题情境；启动创造意识创设发现情境；提供成功机会愉快情境；一句话，为学生创设学习情境，以保证他们有高效率的心理投入。当学生学习带有轻松愉快而又紧张兴奋的心时，他们就会对数学产生强烈好感，从而将他们对一节课的局部兴趣，转化为对整个数学的持久兴趣。  

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3、提出问题，动脑思考，动手操作。
根据以上规律，如何迅速画出幂函数的图象草图呢？让学生充分体会数学图形美，引导应先画函数图象在第一象限内的部分。要先从右端入手，根据 （ ）的值，确定“入场”区域（分三区： ，  ， ）对号入场，注意纽交点两侧情况。再根据定义域，奇偶性确定它在第二、第三象限有无图象，若有，由对称性就可以画出了。
通过动手画出形式多样的图，使学生看到了教材中各种不同图形的简单、对称、和谐的美；通过如此变化多端的讨论，学生对问题的理解胜过解数十道这样类似的题目，对自己的创造性的发现而无比喜悦，这样的教学不仅提高了学习兴趣，同时促进了创造性思维的发展，对调动学生学习积极性和主动性，提高学生自学能力和探索精神起着不可忽视的作用。
五、利用理论与实践相结合原则，培养学生的应用能力、创新能力。
    现行高中教材中的数学应用题，作为问题解决的一个方面，它强调的不是掌握知识本身，而是更强调知识的应用。它更完整地表现了学数学和用数学的关系。因而数学应用题的教学，不但对培养学生的数学意识、创造能力、思维品质等有积极作用，而且也是从应试教育向素质教育转化的重要途径。如：
例6、某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与日均销售量的关系如示：
销售单价/元        6        7        8        9        10        11        12
日均销售量/桶        480        440        400        360        320        280        240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？
（高中数学人教版必修1 p104例5）
注评：此类题贴近日常生活，要求学生了解生活常识。如进价、折进、亏本、盈利、利润等。经济名词中的含义，掌握有关计算公式如：
利润＝销售价－进货价，总利润=利润 销售量，等等
解：（1）销售单价每增加1元，日均销售量减少40桶．设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，这时日均销售量 ，（0＜x＜13）
（2） ，（0＜x＜13）
易知，当x=6.5时，y有最大值．即这个经营部每桶定价11.5元才能获得最大利润．
点评：本题考查了二次函数模型的应用，二次函数求最值时，通常考虑对称轴是否在定义域内，若在，对称轴对应的函数值是最值．

变式1：某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销出200件。现在采用提高售价，减少进货量的方法增加利润。已知这种商品每涨价0.5元，其销售量就减少10件，部将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出最大利润。
注评：同例6一种类型，解决这类问题，一般先列出算式或建立函数关系式，通过算式的值的大小比较或二次函数最值的确定作出相应的决策。
解析：设涨价x元，则定价为（10+x）元，并设利润为y元。
依题意得：y＝（200－ x）（10＋x－8）
　　　　　　　　＝－20（x－4）＋720
　　利用二次函数性质可知：当x＝4时，利润有最大值为720元，即当定价为14元时，所赚到利润最大。

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类比推理是根据两个或两类对象在某些属性上相同，推断出它们在另外的属性上(这一属性已为类比的一个对象所具有，另一个类比的对象那里尚未发现)也相同的一种推理。让学生积极思考，一起探究。
探究结果：
圆的概念和性质        球的类似概念和性质
圆的周长        球的表面积
圆的面积        球的体积
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦.        球心与截面圆（不经过球心的截面）圆心的连线垂直于截面圆.
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长.        与球心距离相等的两个截面图面积相等；与球心距离不等的两个截面图面积不等，距球心较近的截面图面积较大.
以点（ ）为圆心，r为半径的圆的方程为
以点（ ）为圆心，r为半径的圆的方程为

在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比而提出新问题和作出新发现。正如，数学家波利亚（Polya , 1887-1985）曾指出：“类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的类比问题。”如下表：
平面图形与空间图形类比如下：
平面图形        空间图形
点        线
线        面
边长        面积
面积        体积
线线角        二面角
三角形        四面体
数学中还有向量与数的类比，无限与有限的类比，不等与相等的类比，等等。这样就进一步培养学生扩散思维的能力，也提高学生学习了解决数学问题的精神、思想和方法。
四、利用数学美原则，提高学习兴趣
法国数学家庞加莱在《数学上创造》中精辟地论述“数学尤如一个筛子”，缺乏这种审美感的人永远不会成为真正的创造者，要培养学生创造力，对数学的学习兴趣的提高是无与伦比的。那么，如何让学生在数学知识的深处感受数学美，在教学的吸引力，这就需要师生共同探讨数学内在美。
例5、        探究：幂函数 （ ）的图象。(高中数学人教版必修1 p77-78探究)
1、本节课从研究 为有理数时的情形，
依次为3，2， ， 如图所示：

依次为 ， ， ，如图所示：

依次为-1，-2， ，如图所示：

令 ，其中m，n 且 ，就 ，  ， 时，而m，n分别取奇数、奇数，偶数、奇数，奇数、偶数进行分类，选取以上的图形作为各类的代表。
2．除教材上给出的性质外还可补充：
（1）幂函数图象在第一、二、三象限分别相交于点（1，1），（-1，1），（-1，-1），第四象限无图象。如下图（图一）。
  
（2）在第一象限，直线x=1，y=1把第一象限分割成四片区域。两块正方形（或开放正方形）区域（图二），两块矩形区域（图三）。
  
当 ＞0时，图象在两片正方形区域内通过；当 ＜0时、图象在两片矩形区域内通过。
（3）图象形状：当 ＞0（n≠1）时，图象为抛物线型， ＜0时图象为双曲线型，当 ＝0或1时，图象为直线型。
（4） 由小往大的变化规律如下图（图四），从－∞ 0 1（左拐90°） ＋∞。

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解法2：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即
变式：由例2条件不变，
（4）抽出的3件中恰好有2件是不合格品的抽法有多少种？
（5）抽出的3件中至多有1件是不合格的抽法有多少种？
第3小题的两种解法是用了不同方法（直接分类法和排除法）的做同一题，通过这样创造性的解法，不仅弥补了教材中的不足之处，也解决了本例要求的各个知识点，加上变式，达到一题多解，多题一解，一题多变，有机地将教材中例题结合起来，有比较、有鉴别，充分发挥了例题的潜在功能，更在踊跃的思考中提高了学习兴趣。
二、利用探索性原则，提高学生逻辑推理能力
逐步分析，由因导果是解决数学题的常用方法，但如何让学生从被动接受发展到有意识、有目的的观察、分析，使他们从变化无穷的数学题中，领悟、发明和探索出它的内在规律，这就需要教师能针对例题，将新旧、繁简问题挂勾，创设思考情境，培养探索精神。
例3、探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：（高中数学人教版必修4 p13探究）
三角函数        定义域        第一象限        第二象限        第三象限        第四象限                       
问题：
① 取值范围的含义，
②观察角 终边所在位置，回忆三角函数定义：一般地，设角 终边上任意一点的坐标为（x,y）,它与原点的距离为r，则 , ,
③你能准确判断三角函数值在各象限内的符号，让学生根据任意角的三角函数定义自行探索。
④填表：（见下表）
三角函数        定义域        第一象限        第二象限        第三象限        第四象限

R        +        +        -        -

R        +        -        -        +


+        -        +        -
通过以上的答问和填表，学生不难解决此题问题了，提高了学生的逻辑思维。

三、利用变通，类比原则，培养扩散思维
世界万物无时无刻不在变化，但万变不离其宗，许多不同的题目，经过归纳的分类，达到做一题，得一片，触类旁通。因此教师在例题教学时应善于围绕中心，灵活多变开展可逆联想，接近联想以及对比联想，主动地观察猜想，提高分析解决问题能力。
例4、探究：类比圆的特征，填写表2-1中球的相关特征，并说说推理的过程。
（高中数学人教版选修2-2 p72-73 探究）
圆的概念和性质        球的类似概念和性质
圆的周长       
圆的面积       
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦.       
与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长.       
以点（ ）为圆心，r为半径的圆的方程为