2014年新人教版七年级数学下册6.3实数教案

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2014年新人教版七年级数学下册6.3.1实数教案

6.3.1实数
第一课时
【教学目标】
知识与技能：
①        了解无理数和实数的概念以及实数的分类；
②        知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系。
过程与方法：
在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系。
情感态度与价值观：
①        通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；
②        敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题。
教学重点：
①        了解无理数和实数的概念；
②        对实数进行分类。
教学难点：对无理数的认识。
【教学过程】
一、复习引入无理数：
利用计算器把下列有理数 写成小数的形式，它们有什么特征？
发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式
即：
归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，
反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。
通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，
把无限不循环小数叫做无理数。
比如 等都是无理数。 …也是无理数。
二、实数及其分类：
1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
2、实数的分类：
按照定义分类如下：                           
实数      
按照正负分类如下：
实数
3、实数与数轴上点的关系：
我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？
活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来。
活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是 以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就是 。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。
归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；
反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大。
三、应用：
例1、下列实数中，无理数有哪些？
， ， ， ， ， ， ，π， 。
解：无理数有： ， ，π
注：①带根号的数不一定是无理数，比如 ，它其实是有理数4；
②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。
比如 。
例2、把无理数 在数轴上表示出来。
分析：类比 的表示方法，我们需要构造出长度为 的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示 。
解：如图所示，
由勾股定理可知： ,以原点 为圆心，以 长度为半径画弧，
与数轴的正半轴交于点 ,则点 就表示 。
四、随堂练习：
1、判断下列说法是否正确：
⑴无限小数都是无理数；
⑵无理数都是无限小数；
⑶带根号的数都是无理数；
⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；
⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。
2、把下列各数分别填在相应的集合里：
       ， ， ， ， ， ， ， ， 。




3、比较下列各组实数的大小：
（1） ，    （2）π，    （3）   （4）
五、课堂小结
1、无理数、实数的意义及实数的分类. 2、实数与数轴的对应关系 .
六、布置作业
P５７习题６.3第1、2、3题；
教学反思：

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第六章复习
本章的知识网络结构：
知识梳理
一．数的开方主要知识点：
【1】平方根：
1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当 时，我们称x是a的平方根，记做： 。因此：
2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
3.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做： 。
当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。
例1.
（1）       的平方是64，所以64的平方根是       ；
（2）        的平方根是它本身。
（3）若 的平方根是±2，则x=   　 ； 的平方根是      
（4）当x                时， 有意义。
（5）一个正数的平方根分别是m和m-4，则m的值是多少？这个正数是多少？
【算术平方根】：
1.如果一个正数x的平方等于a，即 ，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“ ”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。
2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即： 。
3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为： ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为： 。
例2.
（1）下列说法正确的是      （    ）
A．1的立方根是 B． C. 的平方根是 D.0没有平方根；
（2）下列各式正确的是（      ）
A.  B.  C.  D.
（3） 的算术平方根是         。
（4）若 有意义，则 ___________。
（5）已知△ABC的三边分别是 且 满足 ，求c的取值范围。
（6）已知：A= 是 的算术平方根，B= 是 的立方根。求A－B的平方根。
（7）（提高题）如果x、y分别是4－3 的整数部分和小数部分。求x－y的值.
【立方根】
1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做： ，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。
2.平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。
例3.
（1）64的立方根是           
（2）若 ，则b等于（    ）
　     A. 1000000　  B. 1000　   C. 10   　D. 10000
（3）下列说法中：① 都是27的立方根，② ，③ 的立方根是2，④ 。
其中正确的有                     （    ）
A、1个       B、2个        C、3个      D、4个
【无理数】
1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率 以及含有 的一些数，如：2- ，3 等；（2）开方开不尽的数，如: 等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： 等；无理数也不一定带根号，如：
2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③ 、④π、⑤ 、⑥ 、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）
（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,- , , 其中无理数有 (      )个
A   2       B  3       C  4       D   5  
【实数】
1.有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。
2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是 （a≠0）；实数a的绝对值|a|= ，它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。
3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。
4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。
例5.
（1）下列说法正确的是（      ）；
A、任何有理数均可用分数形式表示 ；   B、数轴上的点与有理数一一对应 ；
C、1和2之间的无理数只有  ；      D、不带根号的数都是有理数。
（2）a，b在数轴上的位置如图所示，则下列各式有意义的是(    )
       

A、          B、         C、       D、
（3）比较大小(填“>”或“<”).
3     ，             ，    ，         ，
（4）数   的大小关系是 (     )
   A.                    B.   
C.                                      D.  
（5）将下列各数： ，用“＜”连接起来；______________________________________。
（6）若 ，且  ，则： =       。
（7）计算：
                     
（8）已知： ，求代数式 的值。
6.（提高题）观察下列等式：回答问题：
①      ②

③ ，……
（1）根据上面三个等式的信息，请猜想 的结果；
（2）请按照上式反应的规律，试写出用n表示的等式，并加以验证。
a，求x+y的值.

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6.3.2 实数
第二课时
【教学目标】
知识与技能：
①        掌握实数的相反数和绝对值；
②        掌握实数的运算律和运算性质.
过程与方法：
通过复习有理数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，引出实数的相反数、绝对值、运算律、运算性质，并通过例题和练习题加以巩固，适当加深对它们的认识。
情感态度与价值观：
通过建立有理数的一些概念和运算在实数范围里也成立的意识，让学生了解在这种数的扩充中所体现的一致性，让学生充分感受数的不断发展。
教学重点：
①        会求实数的相反数和绝对值；
②        会进行实数的加减法运算；
③        会进行实数的近似计算。
教学难点：
认识和理解有理数的一些概念和运算在实数中仍适用的这种扩充。
【教学过程】
一、复习引入：有理数的一些概念和运算性质运算律：
1、相反数：有理数 的相反数是 。
2、绝对值：当 ≥0时， ，当 ≤0时， 。
3、运算律和运算性质：有理数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负数的开平方、任意数的开立方运算，有理数的运算中还有交换律、结合律、分配律。
二、实数的运算：
1.实数的相反数：数 的相反数是 。
2.一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
3、实数之间可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方、非负实数的开方运算，还有任意实数的开立方运算，在进行实数的运算中，交换律、结合律、分配律等运算性质也适用。
三、应用：
例1、（1）求 的绝对值和相反数；
（2）已知一个数的绝对值是 ，求这个数。
解：（1）因为 ，所以 ，
（2）因为 ，所以绝对值为 的数是 或 。
例2、计算下列各式的值：
（1） ；     （2） 。
分析：运用加法的结合律和分配律。
解：（1） ；
（2）
例3、计算：
（1）   （精确到 ）
（2）    （结果保留3个有效数字）
解：（1） ；
（2） 。
四、随堂练习：
1、计算：
（1） ；        （2） ；
（3） ；    （4） 。
2、计算：
（1） （精确到0.01）；
（2）  （精确到十分位）。
3、在平面内有四个点，它们的坐标分别是 。
（1）依次连接 ，围成的四边形是一个什么图形？
（2）求这个四边形的面积。
（3）将这个四边形向下平移 个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？
五、课堂小结
1、实数的运算法则及运算律。      
2、实数的相反数和绝对值的意义
六、布置作业
课本P５７习题６.3第4、5、6、7题；
教学反思：