圆锥体积公式推导的数学思考

lspjy

面对书本，如果对知识没有了质疑，对挑战没有了渴望，对自我没有了信心，那么学习的过程就没有了惊叹，没有了思辨，没有了期待，没有了乐趣—那不是我想要的课堂。
变故突生，课堂遭遇意外
　　圆锥体积的推导，最常用的就是倒三次水的方法，清楚明白地发现圆锥的体积是等底等高的圆柱体积的三分之一。小学6年级的时候，我学过一次，等我当了教师，我教过学生两次。今天还是上这节课，轻车熟路，实验和讲解都很顺利，学生开始做练习了。

lspjy

1.实验不精确埋下了问题的种子。实验用的圆柱量杯和圆锥量斗外表面比较时，确实是等底等高，但由于透明塑料有一定的厚度，实际上圆锥的容积要略微小于圆柱容积的三分之一，因此，每次装的水倒入量杯的时候，总会比三等分的刻度线稍微低一点。3次倒水完成后，离杯口还差一点距离。通常的做法就是简单地向学生解释一下，是实验误差，学生也能接受。但在喜欢较真的学生心里却埋下了问题的种子，思量着是否有其他的推理方法来验证甚至推翻这个结论。
2.知识渐丰使得问题萌发。学生会想到用叠加的方法虽然出乎意料，却不是偶然的，虽然教材中没有要求，但在面积体积的教学中，我铺垫了有关点线面三者之间演变的过程，那时是为了帮助他们更好地理解概念：把点一个个沿一定的方向密密麻麻地排列，就形成了线，线段的长度可以理解为点的个数；把同样长度的线段沿一定的方向平行叠加排列，就形成一个面，线的条数可以理解为所形成的长方形的宽，长方形的面积＝线的长度×线的条数＝长×宽；大小相同的面，一层层往上叠加形成柱体，面的层数可以理解为柱体的高。柱体体积＝底面面积×面的层数＝底面面积×高。没想到，埋下的种子，却在这里生根发了芽。
　　3.求知欲和好胜心强促使问题“爆发”。6年级的孩子叛逆心强，不满现实,充满幻想，喜欢挑战权威，又追求新奇。平时班级竞赛中又多以解答方法巧妙而论胜负，导致学生尤其是优秀学生群中，以与众不同为荣。他们学有余力，专门喜欢研究冷门解法，以彰显自己的实力。
面对生成，教师如何应对
　　1.错误的过程比正确的结果更重要。
　　现代数学教学更关注过程的价值，关注学生学习的体验和感受。学生良好的情感态度和价值观的获得也是一项教学目标，一定程度上，这比知识和技能的掌握更重要。我知道学生的结论是错误的，但我无法解释，那么，对于这个过程的思辨和探究是否该停止呢？从知识习得的角度说，学生是失败的，继续研究讨论错误的结论是没有必要的。但从另一个角度来看，学生是成功的，因为他们不仅参与了数学活动，获得了亲身体验，而且在正确与错误的思维交锋中，迫使他们不断调整、完善、重塑头脑中的数学知识结构和数学思维方式。只有经过深入讨论研究，真正弄清了错误的根源所在，才能更深刻地体会正确之“正”的真正意义。就算反复考虑后仍无法解答，留一个问号在脑子里，随时思量，也是一件不错的事情。这个探究的过程，就是学生自我进步的过程。当然，这个讨论的过程如果放在课后小范围中继续进行，更能协调好班级整体发展与个人发展的关系。
　　2.学生思维的锻炼比教师的智慧形象更重要。
　　教学真的是一条奇幻旅程，如果没有平日里对他们算法多样化的“纵容”，他们就会毫不犹豫地接受书本上的定论，也就不会旁生枝节，搞出这样一个至今还令我无法解释的问题。那么，今天站在课堂上的我依然是一个学识渊博的“不倒问”，照这样的逻辑推理，是我自己给自己制造了麻烦，后悔吗？
不！不后悔！这件事情确实让我有所震动。教师之所以有权威，其中一个重要的原因是教师在某些方面比学生知识渊博，两者之间知识相差的距离越大，权威感就越强，因此对教师自身业务的提高也就提出了更高的要求。现在学生获取知识的途径越来越多，学习的速度越来越快，如果把现在教师和学生之间的知识差看作一个固定的数，那如何来减缓这个差距缩小的速度呢？是控制学生的学习速度，让自己可以悠闲地吸收新知识？还是想尽办法激发他们体内的智慧能量，然后在他们的穷追猛跑下策马狂奔？我想，我的选择肯定是后者。
　　课后，为了这个问题我查看了七八本书，还请教了教研员和数学学科方面的专家，在他们的指导下，总算对这个问题有了进一步深入的理解:我们一直从面的角度在考虑，无限分割成面后，把任意一个面沿对角线平分，那么三角形x和三角形y的面积相等(如图四)，因此旋转累加后，三角形x所形成的体与三角形y所形成的体也是体积相同的，因此学生的“二分之一说”似乎是有根据的。但事实上，旋转成形和线形叠加成形是不同的。旋转时，旋转的角度虽然一定，但旋转点离中心点的位置不同，实际移动的距离也是不同的。打个比方，在旋转面的一条边上取两个点j和k，旋转同样的角度时，j所移动的距离要明显的大于k所移动的距离（如图五）。
　　
　　  　　
　　也就是说，在每个旋转瞬间形成的是中间薄、外端厚，底面是扇形的柱体（如图六）。把它沿着AEF这个面分割，三角形x沿AB轴旋转所形成的四面体是ABEF,三角形y沿AB轴旋转所形成的五面体是ACDEF,从体积的角度看，这两个部分的底面完全相同，是一个扇形，但分开比较后可以发现，三角形x沿轴AB旋转所形成的体，以轴AB为高度最大处的厚度（如图七），而三角形y沿轴AB旋转所形成的体是以弧面CDEF为高度最大处的厚度（如图八），两者的体积进行比较显而易见是后者比较大。由此推论，“二分之一说”就不能成立了。
　　　　　如果能证明五面体ACDEF的体积正好是四面体ABEF的两倍，那倒可以成为圆锥体积“三分之一说”的另一种证明方法，可惜弧面的计算方法是我未曾涉猎的知识，这次被学生问住开始促使我重新审视自己的知识结构，我所拥有的知识还远远不够啊！
复杂问题，怎样深入浅出
　　学生期盼的解答终于揭开面纱，但这么复杂的解释想让6年级的学生接受似乎有点困难，得想个好方法。
　　那天我走进教室的时候，手中多了1个圆形蛋糕。我先借用范托的道具演示了一番，让学生清楚感受到形成的是1个圆柱体，然后拿出蛋糕，“我们来切一个面看看”，我从圆心出发切了1刀，让学生想象切面是什么形状，学生想到了，是长方形，只不过藏在里面。“30个这样的长方形叠加呢？”我拿出了另外的30个大小相同的长方形追问。“是长方体。”学生毫不犹豫地回答，我按他们的意思叠加了一遍，果然是长方体。接着我不紧不慢地说，“如果旋转了一度算一片，旋转30度左右，该切在哪里啊？“很多学生自告奋勇来切，一块蛋糕就切下来了。“观察，你发现了什么？”在两个物体的比较中学生很快明白了直线叠加和旋转叠加的不同（如图九）：直线叠加两端同时增厚，而旋转叠加一端增厚，沿轴的一端厚度却一直没有发生变化。我乘胜追击,“适合直线叠加的推论就不一定会适合旋转叠加，因为有一部分被互相‘挤’掉了。”说的时候我还特地使劲捏了捏长方体的一端。有些学生开始醒悟了，小声地说“那就不一定是二分之一了。”
　　
　　“这就满足了啊！那我的蛋糕不是浪费了吗？”我故意卖了个关子，学生顿时来了精神。“还有什么？”我拿起切下的那块蛋糕，“这个面是长方形吧？沿对角线一分是两个一模一样的三角形吧？好，沿这条对角线把蛋糕切开，两块一样大吗？”学生中起了争论，不一会儿就只剩下一种声音，当蛋糕被我用上面的方法切开来后，学生终于明白：用面的方法来思考体，是不周到的。当那两个他们说不出形状的体真实地摆在他们面前时，他们已经明白了错误的原因，那个我也无法用他们现在所能理解的数学语言来解释的原因。
　　学生惊叹的眼神让我获得了巨大的满足，多日来的辛苦也似乎有了最大的补偿。学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自省也；知困，然后能自强。从今后，疯狂旋转的或许不再只是孤独的三角形！

lspjy

过了一会儿，教室里有了些不和谐的声音，起先还压抑着，后来掩不住兴奋炸裂开来。两个脸涨得通红的男同学，高声叫着，“二分之一！是二分之一！你看。”“孙老师”，其中叫范托的学生激动地说：“你先看，这个三角形的面积是不是这个长方形的一半？”一个涂得脏兮兮的长方形，以及一个沿这个长方形的对角线对折后剪下来的三角形出现在我眼前(如图一)。
　　　　                                                                  
　　“对呀。”
　　“那这个呢？”他又拿出和刚才相同的两个图形。
　　“也是呀。”
　　“这样两个叠起来，两个三角形的体积是不是两个长方形的一半。”
　　“是呀。”
　　“那3个、4个、很多个叠起来呢？”
　　“也是二分之一啊。”
　　“那就对了。”他得意地说，接着开始演示，他把一个长方形和一个三角形粘在一起，以一条宽为轴，用手拨动另外一边旋转360度（如图三），拨一下，数一下，“1张、2张、3张…… 一起转的，那张数是一样多，长方形转一圈就是圆柱,三角形转一圈就是圆锥,那圆锥的体积不就是圆柱的二分之一吗?”
　　　　
　　教室里突然静了下来，部分学生已经停下了对作业的讨论，盯着讲台上的三角形碎片想着刚才的推论。
　　太突然了，我深吸一口气让自己保持镇定，头脑中迅速地调动相关知识：旋转成形的任一瞬间，三角形的面积都是长方形的二分之一，由于是同步旋转，因此旋转的度数完全相同，也就是说，累计叠加的个数也完全相同，因此，由无数个三角形旋转叠加而成的圆锥的体积，应该就是由同样多个数的长方形旋转叠加而成的圆柱的体积的二分之一！天哪，这个推理好像是天衣无缝，面对人们信之不移的“规律性知识”，不同的方法怎么出现了不同的结论！应该是三分之一啊，怎么办？我知道我的学生此刻都在盯着我。两分钟后，终于有人忍不住开了口，教室里炸开了锅。“书上印错了！”“倒水的时候，3次根本就没有倒满，不是三分之一，应该是二分之一啊！”“范托，你好厉害！”而我，只能暂时眼睁睁地看着他们，因为我确实无法当堂反馈这个推理的逻辑漏洞。
寻根索源，问题从何而来