还原知识的“生命形态”——“圆的初步认识”教学课例

一路有你

教学活动为何低效

  先来看某教师关于“圆的初步认识”的教学片段：

活动一：学生自带硬币、饮料瓶盖等圆形物体，并沿着各自的圆形物体轮廓“描圆”。(让学生有积极参与的体验。活动过程中，每个学生都能很自如地画出一个圆。)

    活动二：教师提供图钉、两端打结的绳子等材料，学生动手实践尝试创造工具“画圆”。(让学生有主动创造的体验。活动开始后，学生即表现出出乎教师意料的几种状态：  大约有三分之二的学生拿起图钉，用铅笔沿着图钉的轮廓描了一个圆；还有部分学生拆掉绳子两端的结，用绳子围了一个圆；全班只有一个学生将图钉套进绳子的一端，用铅笔套进绳子的另一端，定点、拉直后(定长)旋转画出了一个圆。教师立即请这个“创造”

成功的学生演示给全班学生看。)

活动三：学生先观摩教师在黑板上用圆规画圆，然后自己运用圆规在练习本上“画圆”，教师在活动基础上介绍圆心、半径名称。(让学生掌握圆规的使用方法。活动中出

现两种情况：固定本子旋转圆规画圆；固定圆规旋转本子画圆。教师对第二种做法进行了批评，指出他们没有按照老师的要求来画，再次提醒学生一定要旋转圆规来画圆。)

活动四：请学生画两个圆，观察发现结论，即圆心决定圆的位置、半径决定圆的大小。(让学生发现圆的基本性质。活动中学生表现出思维随意、散点的状态。教师用“凑”的方式在黑板上画出两个分离的一大一小的圆，两个分离的同样大小的圆及两个同心圆。)

让学生积极主动参与课堂学习、引导学生经历和体验知识的形成过程，已然成为许多教师的共识和追求。但是如何有效地实现，却是个难题。

    以上述教学为例，“描圆”活动在一年级已经开展过，当时的目的在于帮助学生区分物体与平面图形，理解两者之间的内在联系。显然，该活动设计对于学生认识与理解当下的画圆原理几乎没有太大的帮助和意义。“创造”工具“画圆”活动，教师一方面期望学生不要任何依据就能够凭空创造，另一方面又担心学生创造不成功，所以精心地“替代”学生将每根绳子的两端都打了结。这样的材料提供和活动设计，充分地揭示了教师的矛盾心理。课堂中学生的实际状态反映了他们并不领会教师的良苦用心。道理其实很简单，学生在没有任何画圆原理认识的前提下，怎么可能创造出画圆的工具呢?由此可以看出教师想当然地为了活动而活动的设计，必然导致教学过程推进的困难与教学效果不佳。运用圆规“画圆”活动，教师只关注学生对于圆规使用方法的掌握，对学生偶然生成的资源不会判断、捕捉与利用，忽视引导学生比较和思考不同情境中(黑板上画圆与练习本上画圆)使用圆规画圆的区别与联系，忽视引导学生通过不同情境中的画圆活动发现其中共同的本质属性的存在，并归纳概括和提炼抽象出作为画圆工具的圆规的制作原理。这种“只关注圆规工具使用方法的掌握，不关注圆规工具制作原理形成”的教学，必然导致学生“知其然，不知其所以然”。发现圆的性质的“画圆”活动，教师习惯用几个学生不完整的答案，“凑”出比较全面完整的答案，习惯用一两个例子就得出一般结论，忽视学生思维由散点状向严密型的发展和提升，忽视结论获得过程中的

数学思想方法的渗透。

总之，在这种“活动化”教学过程中，教师的兴奋中心只是停留在学生是否“动起来”，缺乏对活动目的和活动之间逻辑关系的思考。学生虽有对情境的感受和活动的体验，但缺乏的恰恰是知识形成过程的体验，带来的结果是学生盲目的“动”和低效的“动”。  

一路有你

师：老师发现同学中间出现了这样四种情况，思考一下，从中你有什么发现?半径?圆心?

(学生带着核心问题在小组中讨论和交流。)

生：第三组的两个圆，圆心在同一个地方，但是两个圆的半径不一样长，所以一个圆大，一个圆小。

师：如果这个圆的半径越长，圆怎样?半径越短，圆又怎样?

生：半径越长，圆越大；半径越短，圆越小。

师：说明半径和圆的大小有关，圆的半径决定圆的大小。(板书。)

师：(指黑板上的四组圆)圆心在动的时候，圆也在动，说明圆心决定什么?

生：圆的位置。

师：圆心决定了圆的位置(板书)。今天我们研究了圆，知道了画圆的基本原理，理解了圆心和半径的概念，发现了圆的基本性质。以后我们也会像研究长方形、三角形、平行四边形和梯形一样，进一步研究圆的周长和面积计算问题。

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焕发课堂生命活力

在上述认识的基础上，我们将“圆的初步认识”的教学目标确定为：(1)经历“材料感知——聚类分析——归纳概括——抽象命名”的过程，感悟和理解画圆的基本原理，并能运用原理创造画圆的工具；(2)理解圆心和半径的概念，会用字母表示圆心、半径；下面是“新基础教育”基地学校江苏省常州市局前

街小学顾雄老师进行“圆的初步认识”的教学过程实录：

第一环节：感悟画圆原理，形成圆的核心概念。

师：圆是平面上的曲边图形。(板书)而我们以前学过的其他图形都是平面上的直边图形。今天这节课我们就来研究“圆”这个平面上的曲边图形。

第一层次：在不同情境中画圆，感受事实，积累体验。

    1．在黑板上画圆。

师：在数学上有专门画圆的工具。老师带来了一个圆规，用眼睛看顾老师画圆，用你的头脑去思考，顾老师是怎样画圆的?

(教师在黑板上点一个点，拉开圆规两脚，旋转圆规画圆，学生观察并思考。)

    2．在练习纸上画圆。

师：看明白了吗?现在请你们在练习纸上也用圆规画一个圆。

(学生画圆，教师捕捉学生生成的基础性资源。)

师：有的同学已经成功地画了一个漂亮的圆，有的同学对自己画的圆还不满意。没关系，这是我们第一次用圆规画圆。刚才顾老师看了全班同学画圆，我发现主要有这样两种方法。

(教师演示两种方法：一种是先在纸上定一个点，再拉开圆规的两脚，旋转圆规一周。另一种是先在纸上定一个点，再拉开圆规的两脚，然后旋转纸张一周，同样也得到了一个圆。)

师：把这两种在纸上画圆的方法与顾老师刚才在黑板上画圆的方法进行比较，看看有什么相同的地方和不同的地方?不要放过任何一个细小的地方，同桌互相说一说。  

(学生带着核心问题在小组中进行讨论和交流。)

    生：我认为相同点有：画圆的时候，都要先定一个点，用圆规的一边固定在这个点上，另外一边旋转。

    师：圆规的这两个脚，就是你说的边，是不是挨在一块儿?(动作演示。)

    生：不是，圆规的两脚要分开一些，否则不好转。

师：有没有不一样的地方?

生：老师在黑板上画圆只能旋转圆规，我们在纸上画固有的旋转圆规，有的还能旋转纸张。

师：顾老师在黑板上画圆，只能旋转圆规，能旋转黑板吗?(学生笑)同学们在纸上画圆，为什么有的人旋转圆规，有的人旋转纸张，都可以画出一个圆?

生：因为黑板是固定的，不能旋转，而在纸上画圆，可以固定纸张旋转圆规，也可以固定圆规旋转纸张。

师：所以，不管在黑板上画固也好，还是在纸上画圆也好，反正都要旋转一周才可以。

3．在操场上画圆。

    师：刚才我们用圆规在黑板上画了一个圆，在纸上也画了一个圆，如果我们要在学校的操场上画一个比较大的圆，老师的圆规不够大怎么办?先自己想一想，再和同桌交流。(学生思考并交流。)

师：我们看一下体育老师在操场上是怎样画圆的。边看边思考在操场上画圆与在黑板上和纸上画圆有什么异同?

(播放录像：体育老师伸直手臂，手拿长柄勺子，站在原地旋转一周，勺子中的白粉随人体的旋转过程逐渐抖落而形成一个圆。)

师：再看一遍，在心里想，体育老师是怎样画圆的。(学生纷纷举手，老师没有请学生回答。)

4．在空中画圆。

    师：不着急回答，思考和比较各种不同情况中的画圆有什么相同的地方。刚才体育老师表演了画圆的技能，现在顾老师也想来表演一下。仔细看，我是怎样画圆的。(教师演示：一个乒乓球被固定在绳子的一端，教师把绳的另一端绕在自己的食指上，并用

力把绳子拉直绷紧，然后甩动小球，在不同的位置演示了三次。)

第二层次：经历材料聚类分析的过程，归纳并概括提炼画圆的原理。

师：别急，我知道你们有很多话要说。先回顾一下，我们在黑板上画了圆，在纸上画了圆，在操场上也画了圆，最后又在空中画了一个圆，这几次画圆，尽管画圆的地点变了，画圆的工具也各不相同，但是它们有没有什么相同的地方?思考一下，同桌互相讨论一下。   

(教学重心下移，学生带着核心问题互动，人人经历材料辨析比较、发现本质特点的过程。)

师：看样子同学们讨论得很快。

生：他们都要先确定一个中心点，都要依靠一个物品，围绕这个点转一圈。

    生：按照一定的度数来转的，就是要旋转360度。

师：都要先确定一个点，绕着这个点旋转一周。(板书。)

师：这样行吗?

(教师演示：拿出甩的小球，围绕紧靠着小球的地方定点旋转。众学生领悟，纷纷插嘴：还要拉开一定的距离。)

师：是啊，还要有这点补充。(补充板书。)

师：通过刚才四个不同情境中的画圆，我们发现它们都有三个共同的特点：第一，确定一个点；第二，确定一段距离；第三，旋转一周。

第三层次：抽象命名圆心和半径，形成圆的核心概念。

师：在数学中，这个确定的点有一个专门的名称，叫“圆心”(板书)，圆心通常用字母O表示(在圆中表示)。这段确定的距离，也有自己的名称“半径”。我想在这个圆中画一条半径。从哪里开始画?

生：圆心。

    (教师从圆心开始画，画了一段停下。)

师：好了。

生：还要画。

    (有学生说要画到圆边。教师继续画，另一端画到了圆外。)

生：太长了!   

师：画到哪儿?能不能用语言告诉我。

    生：画到圆的边边上。

师：从圆心出发，正好画到圆上。这段距离就是这个圆的半径。

师：我们知道确定的点叫圆心，确定的距离就是半径。

    接下来，回顾刚才画圆的四个情境，你能找到它们的圆心和半径吗?圆心在哪里?半径在哪里?想好以后同桌交流一下。

    (学生思考以后说给同桌听。)

生：黑板上的圆和练习纸上的圆，用圆规针尖固定的这个点就是圆心。画的时候，要把圆规的两个脚拉开，拉开的距离就是半径。(教师配合学生的回答拿出圆规进行演示。)

生：操场上的圆，圆心在体育老师两脚站着的地方，半径是从体育老师的脚到圆上的这段距离。

(边说边指。)

    师：(指手臂和长柄勺子的长度)这是半径吗?

    生：不是。

    师：体育老师的这个动作，就像一个“人体圆规”。

    师：最后一个，顾老师用小球在空中画的圆呢?

生：顾老师手捏着的地方是圆心，绳长是半径。

师：老师旋转的时候乎的位置没有变，圆心必须固定好，这个线要拉直绷紧，绷紧的绳长就是半径。

第二环节：运用画圆原理，创造画圆的工具。

    师：刚才我们知道，画圆必须要先定圆心，再定半径，最后旋转一周。你能不能根据这样的画圆原理，利用老师提供的材料，设计一个画圆的工具，并且在纸上画一个圆?

    (教师提供相关材料如图钉、绳子等，学生借助材料制作画圆工具，并尝试画圆。教师巡视学生活动情况。)

    师：老师要请两位同学展示他们的画圆工具。

    生：(边操作边介绍)先用钉子钉在白纸上，把线的一头绕在钉子上，线的另一头系在铅笔上，然后旋转。

    师：把图钉钉在这里就确定了什么?

生：圆心。

师：我们发现他在转的时候，一直努力把线绷直，确保距离没有变化。

生：我也是用图钉和铅笔，但是绕绳的方法不一样，我这种方法要方便一些。先把线的两头系起来打一个结，再把这个线圈的一头套在图钉上，另一头套在铅笔上，这样做起来很方便，画起来也很方便。

师：半径有多长?

生：差不多是线的一半，主要是打了一个结，否则正好是一半。

师：做工具的时候还要考虑到方便和实用。这样就非常快地画好了一个圆。

第三环节：理解圆心和半径的作用，认识圆的基本性质。

师：我们初步认识了圆。现在请你在纸上画两个圆。看看能不能画得比刚才好。(学生画圆。)

师：先停一下，老师发现，有的同学定了圆心后，乎抓住的是圆规的两脚，这样旋转起来就有些麻烦(边说边演示)。要抓住圆规的旋转轴，适当倾斜，重心在尖的旋转轴上，这样画起来可以轻松一些。你可以再试试这个旋转的动作。(学生继续进行画圆练习。)

    师：  刚才大家用圆规画了两个圆，接下来继续画两个圆，但是这次画的两个圆的情况要和第一次画的不一样。

    师：(在学生画的过程中进一步提出要求)有的同学画出了不同的情况，又想出了第三种，请在每一组的前面标上序号。每一组的第一个圆的圆心和半径用O1和r1示，为了与第一个圆有所区别，第二个圆用O2和r2表示。

教师呈现资源：

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知识也是有生命的

如何才能让学生真正经历和体验知识的形成过程?这取决于教学中知识的性质与形态。教材主要选取了学科领域内已经成形的基础性知识，它们以客观真理的形象呈现在学生面前，要求学生理解、记忆、掌握和运用。这些知识是前人在大量生命实践活动中通过不断的归纳、概括和抽象而形成的智慧结晶，经高度的提炼加工和简约的符号表达变得简约化和抽象化。正是由于这种简约、抽象的结果性表达，遮蔽了前人生命实践活动过程的真实复杂性和丰富生动性，导致许多学生面对这种高度抽象的结果性知识而止步不前。如果教师不对这些符号化的结果性知识作加工处理，把它们直接搬到课堂教给学生，那么学生面对的就是显性的、外在于自己的知识世界，他们只能以被动方式接受这些抽象的现成知识，很难有知识形成过程的真实经历和实践体验。

    其实，在显性的符号化知识背后，还隐含着未加以明确表述的、反映人的生命实践活动的过程形态的知识，它内含着人类在创造、形成知识的漫长过程中，所处的社会背景、所面临的问题、人的生存状况以及表达中的深层框架和思维方式，等等。它们构成了知识赖以存在的根据、知识存在的背景以及知识的组织形式等。这些过程形态的知识不但可以改善学生个体的生命实践，而且还可以丰富学生的生命体验。“新基础教育”

认为，培育生命自觉的教学要为学生提供能与现实生活世界和个体经验世界沟通的内容，要有助于学生形成内外世界既区别、又融通的能力；有助于学生形成对相互转化的外部世界的认识、不断健全个性的发展能力。不仅要让学生学习外在于自己的符号化知识和显性化经验，更要让学生用特殊的方式认识和体验人类创造知识的生动过程，使学生与生产知识的人和历史进行对话，从而把他人生命实践的结果转化为自己生命实践的体验，把他人生命实践中的经验和智慧，通过自己的体悟和践行，转化为自己生命成长的重要资源和精神能量。唯有如此，才有可能在教学中实现知识对学生而言的由“外”向“内”的真正转化。

在这些认识的基础上，我们从开发教材知识过程形态中的育人资源的路径出发，努力把教材中以符号为主要载体的现成知识按其被人们发现和认识的过程进行还原，使结果形态的知识通过还原加工转化为过程形态的知识，从而使学生在真实经历和体验知识创生与发展的过程中，充分感受和体悟前人发现的方法与思维的策略。

就“圆的初步认识”的教学而言，无论是画圆的原理认识还是圆心和半径的命名，都是数学中基本概念的认识。“新基础教育”在大量实践研究的基础上，根据数学概念教学具体育人价值的认识，总结了数学概念教学的基本原则和过程结构。

我们认为，概念教学对于学生发展的教育价值在于，使学生经历“材料感知——辨析比较——归纳概括一抽象命名”的概念形成过程，帮助学生形成对概念内涵的丰富认识。更为重要的是，不仅要引导学生在经历事实材料辨析比较的过程中，学会透过事实材料的表面现象发现其本质特点，使学生逐步形成由表及里发现本质的数学眼光；而且还要引导学生在经历归纳概括和抽象命名的过程中，逐步形成辨析比较、概括提炼的抽象能力，提升学生准确、简练和严密的数学语言表述水平。

为了在概念教学中体现其具体的育人价值，我们提出以下教学原则：一是经历从上位概念到下位概念的建构过程，即先学习上位概念，然后在上位概念语义的导航和支撑下学习下位概念；二是经历从事实材料中发现本质属性进行归纳概括抽象命名的过程。

根据数学概念形成过程的不同特点，我们总结了两种不同的概念教学过程结构。一种教学过程结构是：材料感知——寻找相同中的不同(分类分析)——归纳提炼和抽象命名；另一种教学过程结构是：