学生对小数乘法运算的错误理解

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《数学课程标准》强调：对数与代数学习的评价，应主要考查学生对概念、法则及运算的理解与运用能力。众所周知，小数乘法是乘法意义的一次扩展，这就给教与学带来了困难。小数乘法运算，依赖于分数乘法。因此，如果学生对于分数的意义和分数乘法的意义缺乏深刻理解，对于小数乘法运算就可能出现各种各样的错误。通过研究，我们试图了解学生对小数乘法运算的错误理解及原因，以期促进小数乘法运算的教学。

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从表面上看，该生给出了该题的一个直观表示。但从访谈中可以看出，他并没有直观地表示运算的结果。“把0.5平均分成10份，每份是0.1”就说明了这一点。

    5．其他错误的解释。

    比如，生10将0.5×0.4解释成了0.4×5。

    导致学生错误理解的主要原因是缺乏分数知识，不理解分数的意义、分数乘法的意义。事实上，对于小数乘法运算的理解，无论是直观理解还是抽象理解，都涉及一个关键问题，即对分数的理解。比如，直观地表示0.5×0.4，不仅要知道平均分，分10份，取其中的4份(这是分数的意义)，还要知道对谁平均分(这是小数乘法的意义)，以及怎样直观地表示0.5。比如，要抽象地理解0.5×0.4的结果可以表示为0.5÷10×4，就要非常清楚0.5×0.4就是将0.5平均分成10份后，取这样的4份。如果不理解分数的意义，无论如何也不可能用这样一个等价的式子来进行运算。

    可以说，对小数乘法运算的错误理解，大都归因到对分数和分数乘法意义的理解上。学习一种运算首先要让学生理解运算的意义，因为只有理解了运算的意义，才能知道何时使用这种运算，也才能从意义出发推导运算的法则。

    (作者系杭州师范大学教授，心理学博士后，主要研究数学教育心理)   

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二、结果：错误的理解及原因分析

1．不理解分数的意义。

比如，生1表示的0.5×0.4如图1所示。

该生错误地把0．5的十分之一当做了十分之四。一般说来，即便不知道十分之四是谁的十分之四，也应该知道如何单独表示十分之四。学生既然不清楚十分之四的表示方法，也就很难正确地表示0.5的十分之四了。
比如，生2所表示的0.5×O.4(如图2)：一个大饼取一半，这是0.5。再把0．5分成4份，取其中的1份，这就是结果。

学生把0．4理解为4份中的1份，表明学生还不理解分数的意义。

2．不理解分数的绝对性和相对性，将1份和1个相混淆。
比如，生3表示的20×O.1(如图3)：20的十分之一就是把20平均分成10份，取其中的1份。

学生正确地解释了算式的意义，但是，在所画图形中，表示的却是20个中的1个。在他看来，关键是要标出1来，而不关心它是谁的1份。这表明学生还不理解10份中
的1份与20个中的1个不是一回事。生4所表示的2×0.1(如图4)，更清楚地说明了这一点。

生4是先画20个圆圈代表20，然后从中选择10个，再从其中选择1个涂上颜色，这就代表20的十分之一了。在学生的头脑中，20的十分之一就是先从20个中选10个，再从10个中选1个。20就是20，10就是10，1就是1，他们之间没有什么联系。十分之一是谁的十分之一，他们没有考虑。学生不理解分数的意义，不理解小数的意义，也就很难理解小数乘法的意义。

以上例子表明，学生并不明白：(1)这里的十分之一是20的十分之一。(2)20的十分之一是把20平均分成10份取其中的1份。1个圆圈与20的十分之一的“1”虽然都是1，但不是一回事：前一个“1”就是1个圆圈，是一个绝对的概念；后一个“广指的是1份，是一个相对的概念，代表2个圆圈。学生的错误表明，他们并不理解分数的绝对性与相对性。比如1/10米，这是一个绝对的量，而20米的1/10，这个1/10就是一个相对的量，它的大小是由前面的总量决定的。

3．不理解分数(小数)乘法的意义。
(1)机械地解释算式。比如，生5所解释的0.5×0.4=0.2(如图5)。学生所画的直观图完全是算式的表面意义。

(2)仅仅解释一个因数。比如，生6提供的“20的十分之一”的直观表示如图6所示。

学生解释了十分之一，而不知道是谁的十分之一，没有建立起十分之一与20的联系。
(3)孤立地解释两个因数。比如，生7表示的0.5×0.4，如图7所示。

在学生的眼里，0.5就是5份，0.4就是4份。学生根本没有建立起0.4与0.5之间的关系，0.5×0.4是什么意思也并不清楚。
再比如，生8表示的“20的十分之一”，如图8所示。

生8：20个小格代表20，1个小格就是0.1。

师：能一眼就看出结果是2吗?

生8：不能。

诚然，如果学生能够将这个直观图解释为20个0．1，也还是完全正确的。然而，该生所要表示的是0.1和20，是将0.1和20肢解开来的。

孤立地表示小数乘法算式中的因数表明，学生并没有建立两个小数之间的联系，学生并不理解小数乘法的意义，不知道一个数乘小数就是求这个数的几分之几是多少。
4．正确地画出了直观图，也正确地解释了题意，但不能说明结果。
比如，生9对0.5×0.4所作的直观说明如图9所示。

师：能解释一下你的直观图吗?

生9：把0．5平均分成10份，取4份。

师：其中的4份是多少?

生9：看不出来。

师：把0．5平均分成10份，每份是多少?

生9：0.1。

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  一、研究的方法

我们选取山东省某市的两所城镇小学作为研究、调查对象。这两所小学在当地的排名分别位居第二和第三，每所学校都有6个左右的平行班级。我们从这两所学校分别选  取了成绩中等的五年级的1个班(我们调查时，五年级的学生正好学习小数乘法)。问卷内容如下：

先计算，然后用尽可能多的方法，如文字解释、画直观图、算式表示等来说明你的计算结果是正确的，说明得越详细越好。

    问题1：小刚邀请7个小朋友吃午饭，这样吃午饭的有8个人。小刚想，每人会吃掉一个半甜饼，他要准备多少个甜饼?

    问题2：20的十分之一是多少?

问题3：0.5的十分之四是多少?