透视“算术”向“代数”的转折,体现建模思想

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一、内容介绍、分析与教学建议

（一）内容介绍

“式与方程”是“数与代数”领域的教学内容。“式与方程”主要包括用字母表示数（四年级下册）、简易方程（五年级下册）和列方程解决简单的实际问题（六年级上册）。这部分内容是学生从算术的学习转向代数的学习的重要转折点，它们是后续学习数学的重要基础。

苏教版小学数学教材在第二学段分四年级下册、五年级下册和六年级上册三册教材接触“方程”。四年级下册“用字母表示数”这部分内容，主要包括用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题的数量关系或者计算公式。求简单的含有字母式子的值等。在教学“用字母表示数”后，五年级下册主要教学方程的意义，用等式的性质解一步计算的方程，列方程解决—步计算的实际问题。六年级上册主要教学用等式的性质解形如ax±b＝c、ax÷b=c和ax±bx=c的方程，列方程解决两、三步计算的实际问题。我们知道，小学生学习方程，是学习一种有效的解决实际问题的方法，进一步丰富解决问题的策略，更有价值与长远意义的是，初步建立方程思想。方程思想的核心体现是建模思想。

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【总评】：

理想的数学课堂是学生发展的课堂，是学生在价值引领下的自主探究的过程，是师生互动的过程，也是以动态生成方式推进教学活动的过程。纵观本节课的教学，教师从生活情境中引入，让学生在实践中探究，真正经历了数学学习的全过程。主要体现在以下三个方面：

1、体现数学生活化与生活数学化的理念
    体会数学的应用价值是数学教学的基本目标，也是当前课改的重要内容之一，我们要将数学教学融入生活应用中，让数学问题生活化，提高学生应用数学知识水平。另一方面，在应用和解决问题的过程中，要培养学生学好数学的兴趣和积极的情感，让学生学会用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会，用数学的思想与方法去分析和解决问题。我认为，前者是对学生解决问题能力和应用意识的培养，后者则是对数学意识的渗透，教学中两者应相互结合。本节课对之前已学方程的知识回顾，不仅激发了学生的兴趣，在旧知和生活经验的影响下，经历从生活中抽象出数学问题的过程。由此，让学生感受数学知识是由生活中来，又回到生活中应用，对数学产生亲切感。

2、注重学生主动参与学习方式多样

学生是学习的主人，教师要充分调动全体学生参与课堂学习的全过程。学生学习的不只是“文本课程”，而更是“体验课程”，在本节课教学中，老师提供学生分析比较、独立思考的机会，多次组织学生开展同桌学生交流、全班学生交流，集思广益，相互启发，使学生原有的认识得到补充与修正，提升与发展。尤其在“列方程解决实际问题步骤的运用”这个环节显得较为突出，通过层次性的集体活动、同桌活动、小组活动等学习方式，诱发学生主动参与的欲望，让学生在参与活动的过程中充分感受了“只有找到数量之间的相等关系，才能把实际问题转化成数学问题” 这样的数学建模思想。学生的数学学习内容是现实的、有趣的、富有挑战性的，教师的苦心经营，匠心运作，为学生提供了高频率、多维度、深层面的体验，激励他们进行更深入的学习与研究。
    3、练习设计灵活多样，促进学生思维发展。

《数学课程标准》“以人为本”的理念决定了数学教学的目标指向：适应并促进学生的发展。本课的练习设计注意从学习者的角色去分析学生，以了解什么知识是学生最需要的，积极寻求以最佳的教学方式为学生提供所需要的知识。本节课的练习设计形式灵活多样也是一个特色。通过安排“小试牛刀”、“对号入座”、“火眼金睛”、“明辨是非”等分层次性的练习，不仅给学生提供了熟练知识技能的机会，培养学生应用数学知识，用列方程的方法解决生活中不同的实际问题，使学生的思维得以发展。

三、典型习题设计分析与建议

数学课程标准中也指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此，要让学生动手做数学，而不是用耳朵听数学。让学生在课堂上亲手动一动，胜过老师一遍一遍的讲解。所以，课堂练习的设计也显得尤为重要。

1、选用和改编好教材习题。

教材上的习题具有规范性和普遍性，是学生学习新知后进行巩固深化、提高的主要材料。特别是苏教版教材中的习题具有设计严谨、形式多样，编排详实，层层递进等特点，为学生掌握知识，学习科学的思维方法，发展数学能力有重要的作用，对我们设计课堂练习有很强的指导意义。例如：解方程   8x－25=15  ；3×0.7＋4x=8.5； 6 x－10.7=7.3这一组题中有教材中出现的两种方程，可以让学生进一步明确这样的方程是怎样变形的。因此我们首先要围绕课时教学目标，认真研究教材的习题，明确每一道习题的作用，弄清楚哪些是为哪个例题服务的。再例如：

（1）果园里有苹果树150棵，比梨树的3倍少30棵，梨树有多少棵？

（2）果园里有梨树60棵，苹果树比梨树的3倍少30棵，苹果树有多少棵？

在这一组题中，哪些是巩固新知的基础题，哪些是新知与旧知有机结合的综合题，哪些是加深理解，启迪思维的发展题，然后根据课时目标和教学步骤的需要对教材上的习题合理选择、安排。

2、习题情境要贴近生活实际。

数学新课程标准指出：数学是人们生活、劳动和进一步学习必不可少的基础和工具，学生的学习应脱离枯燥的纯数学的没有任何情境的学习。应该将学习的内容放到具体生活情境之中去，让学生在具体的、丰富多采的实际生活情境中去学数学，解决问题，体验数学与日常生活的密切联系。例如：

（1）花店运进同样多的玫瑰和百合，8朵玫瑰和2支百合配成一束花。插了若干束

后，玫瑰正好全部用完，百合还有54支，一共插了多少束花？

（2）王大爷承包了一个三角形鱼塘的面积是300平方米，已知三角形鱼塘的底是

30米。这个三角形鱼塘的高大约是多少米？

（3）六年级同学今年订阅《小学生数学报》245份，比五年级同学订阅的2倍少

15份。五年级同学今年订阅《小学生数学报》多少份？                              

（4）水果店运来的苹果比香蕉多480千克，苹果的重量是香蕉的1.8倍。运来的

苹果和香蕉各多少千克？

我们在设计练习时只有贴近儿童的生活，才有利于调动学生学习数学的积极性，激发其强烈的求知欲望，掌握方法或悟出规律。

3、习题的设计要具有阶梯性。

练习的设计要做到有层次、有坡度、先易后难、循序渐进、逐步深入、逐步提高。学生的练习一般要经过模仿——熟练——创造三个阶段。因此我们在设计时一般要考虑以下三个阶段：一是内化阶段，设计一些单项的、基本的、带有模仿性的题，使新知识内化，新技能初步形成。

例如：（1）校园里有杨树80棵，比柳树的3倍少4棵，校园里有柳树（   ）棵？设柳树有x棵。下面列式错误的是（    ）。

①3x－4=80   ② 3x＋4=80   ③ 3x－80=4   ④（80+4）÷x=3

二是同化阶段，设计一些变式的，稍有综合性和灵活性的题目或题组，巩固和熟练新技能、使新知识同化。这一阶段的练习题要注意以旧带新，使新知识逐步纳入原有的认知结构中去。

例如：（1）如果2x＋1=10，那么4x＋1=（   ）。

① 21       ② 19      ③  20      ④  18   

（2）x=1.5不是方程（  ）的解。

①5x＋6x=165    ② 10×5－6x=41   ③  3x－1.8=2.7  

三是强化、优化阶段，设计一些思考性、创造性、综合性较强的题目，强化、优化所学知识。

例如：（1）同学们植树，五、六年级共植树560棵，六年级植的棵数是五年级的

1.5倍。六年级植了多少棵？

（2）学校阶梯教室原有座位30排，每排36人，扩建后增加6排，比原来

多坐432人，扩建后平均每排坐多少人？

为了巩固所学的知识，教材提供了适量的练习，习题呈现的方式不同，练习的目标各异，在充分使用教材练习的基础上，结合“式与方程”章节的教学目标，考虑学生的生活实际，还可以设计一些情境贴近生活实际、有阶梯性的练习作为教材的补充，给学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法、从而获得广泛的数学活动经验。

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三、巩固练习

1、小试牛刀

杭州湾大桥是世界上最长的跨海大桥，全长大约36千米，比香港青马大桥的16倍还多0.8千米。香港青马大桥全长大约多少千米？

说说解方程时，第一步怎么做？依据是什么？

学生自己完成解方程，请三个学生板演。

集体点评，强调检验的习惯。

2、对号入座

学生在课本上独立完成填空。

说说每个含字母的式子分别表示哪个数量，你是怎么想的？

3、火眼金睛

（1）学校运动队男生30人，是女生人数的2倍，女生有多少人？

（2）学校运动队男生30人，女生人数是男生的2倍，女生有多少人？

读题并理解题意

改变条件

（1）学校运动队男生30人，比女生人数的2倍多4人，女生有多少人？

（2）学校运动队男生30人，女生人数比男生人数的2倍多4人，女生有多少人？

学生自己写数量关系式，并列方程解答。二人板演。

集体点评，强调数量关系与方程的对应，说说解方程的解法和依据。

4、明辨是非

（1）读书节学校买来500本科技书，文艺书的本数比科技书的2倍多15本，文艺书有多少本？

500×2+15                                 （       ）

(2)植树节五年级种了150棵杨树，比柳树棵数的2倍少5棵，种了多少棵柳树？

     150×2－5                                 （       ）

    解：设种了x棵柳树。

        2x－5 =150                             （       ）

    解：设种了x棵柳树。

          2x+5 =150                            （       ）

（评析：采用分层练习，力求在练习过程中，既巩固新知，又发展学生的数学思维，使学生在发散性、多维度的思维活动中提高解决实际问题的能力。）

四、课堂作业

练习一3、4、5

五、课堂小结

今天我们学习了什么内容，你有哪些收获？还有没有疑惑的地方？

（评析：让学生回顾反思本节课的学习内容，不同学习层次的学生谈学习收获，使每个学生都体验到成功的喜悦。学生的收获不仅只有知识，还包括能力、方法、情感等，学生体验到学习之乐，建立自信，成为进一步学习的动力。）

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二、教学新课

1、谈话导入

西安是我国有名的历史文化名城，有很多著名的古代建筑，其中包括闻名遐迩的大雁塔和小雁塔。（电脑出示风景图片）

今天我们就来研究与这两座建筑有关的数学问题。

2、分析数量关系

（出示例题1 ：西安大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？）

学生读题

提问：题目告诉了我们什么条件？要求什么？

    题目中的哪个条件说明了大雁塔和小雁塔高度之间的关系？

我们可以把题目中的小雁塔的高度的2倍看作一个……（整体）

你能根据这句话说出这两个数量之间的关系式吗？

学生独立思考后再分组讨论，学生汇报讨论结果：

小雁塔的高度×2-22=大雁塔的高度

教师分别出示：小雁塔的高度×2=大雁塔的高度+22

小雁塔的高度×2—大雁塔的高度=22

（评析：教师对学生寻找出的两个数量之间的相等关系给与肯定，增加学生的学习自信心，并在同伴的说理中对自己的想法也是一个适当的修正，从而得出正确的方法。）

提问：（引导到第一个关系式）在这个关系式中，已知什么数量？要求什么数量？

你觉得可以用什么方法来求小雁塔的高度？

（算术方法、解方程）

3、列方程、学解方程

在这个关系式中，一倍的量（小雁塔的高度）未知，这样的问题适合列方程解答，今天我们就继续学习列方程解决实际问题。（板书课题）

提问：列方程解决问题首先要写设句，怎么设？（板书设句）

根据数量关系式，我们可以列出怎样的方程？

（学生自己尝试列方程，并口答）

（板书：2X-22=64）

提问：说说你是怎么列出这个方程的？（将数量关系式中的数量用数或字母替换）

这道方程可以怎么解？你能运用以前学的知识解决这个问题么？

（学生思考并快速讨论解法）

（学生交流解法）

点评：我们可以将2x看成一个整体的未知数，先应用等式的性质将方程两边同时加上22，将这道方程转化为所学过的形如“2X=？”的一步计算的方程，再用以前学过的方法继续解答。

（教师和学生一齐完成第一步）

（学生完成剩余步骤，请一人板演）

(评析：让学生在交流讨论的过程中了解到列方程解决实际问题时应当根据列出的方程的不同情况而采用不同的方法，使学生在应用过程中体会数量关系的特点，即“顺向思考——用算术方法解”“逆向思考——用方程解”的规律，使学生在练习中进一步理解和领悟到知识的一般规律。)

4、交流、检验、小结

小组内相互说说解这道方程的方法和过程。

请学生检验方程的解是否正确，并完成答句。

（教师板书答句）

提问：还可以怎么列方程？（根据不同的数量关系式）

（学生自己列方程解答，并交流）

小结：刚才我们通过列方程解决了一个实际问题。你能说说列方程解决问题的大致步骤吗？其中哪些环节很重要？

说明：（1）要根据题目中的条件寻找等量关系，而且一般要找出最容易发现的等量关系；（2）分清等量关系中的已知量和未知量，用字母表示未知量并列方程；（3）解出方程后，要及时进行检验。（电脑出示）

（评析：教者能够努力营造宽松、民主和谐的学习环境，引导学生积极参与学习过程。力求让学生去发现和概括出规律性的知识，无论在体会列方程解决问题的优越性，还是在多种方法的择优上，给学生提供自主的活动空间和交流的机会，引领学生通过自己的探索来获取知识，改变以往教师教和学生学的方式。）

5、完成“练一练”

读题并理解题意

想一想，可以找到怎样的数量关系式？

学生根据数量关系式自己列方程并解答。

全班反馈交流。

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二、典型课例设计分析           

教学内容：苏教国标六上“列方程解决实际问题”例1、试一试和练习1～5。

教学目标：

1、让学生在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如ax±bx=c的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。

2、让学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象为方程的过程，进一步体会方程的思想方法及价值。

3、让学生在积极参与数学活动的过程中，养成独立思考、主动与他人合作交流、自觉检验等习惯。

教学重点：

正确分析题中数量间的相等关系，并列出方程，提高用方程解答实际问题的能力。

教学难点：

找出数量之间的等量关系，并解方程。

教学过程：

一、知识回顾（电脑出示）

1、解方程（口答）

X+20=39      4X=28      X-16=12      24+X=40

简要说说分别是怎么想的？解方程的依据是什么？

2、说出下面各数量之间的关系

（1）果园里桃树的棵树是梨树的4倍。（如果梨树有X棵，那么……）

梨  树  棵   数× 4  =桃  树  棵  数

（2）男生人数比女生人数多5人。

女   生   人  数 -  5 =男   生   人   数

女   生   人   数-男  生  人  数=   5  

女   生   人   数=男  生  人  数+    5  

3、解答实际问题

（1）五一班男生30人，是女生人数的2倍，女生多少人？

（2）五一班男生30人，女生人数是男生的2倍，女生多少人?

提问：哪道题更适合用方程解答？为什么？

怎样列算式或方程解答？

(评析：课始让学生对已有知识在脑海里进行自动检索，学生选择必要的数学信息列出数量关系，促使学习内容在动态中生成，激活了学生的认知需求与思维热情，使其积极主动地参与到下面的学习活动中。)

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在列方程解决实际问题的过程中，要灵活对问题进行“表征”，建立问题表征时，必须引导学生正确、迅速地收集，处理题目中的信息，去除多余的．选择必需的，问题的表征就是建立在对问题理解的基础上，正是由于问题表征具有不同的方式，所以它也以不同方式影响问题解决的难度。经过问题表征之后，下一个重要步骤就是提示问题中数量之间的相等关系，找到数量之间的相等关系，才能把实际问题转化成数学问题，也才能列出相应的方程解答问题。由于学生已经在五（上）学过列方程解决简单的实际问题，所以这里在揭示等量关系之后，他们一般能够比较熟练地应用列方程解决问题的程序，但在写设句时，我们教师要多加指导，必要时，可以像教科书中处理的一样，在设句中写出两个未知量的表示方法，从而帮助学生完成数量关系式到方程式的转换。当学生得到问题答案之后，教师要引导学生对问题的解答进行回顾与反思。一是检查解答是否正确，这不仅有利于促进学生养成自觉检验的习惯，而且通过检验，可以帮助学生进一步认识先前解决问题时所建构的解题模型。二是把解决问题的活动作为一个思考对象，反思活动过程中关键的想法与关键的过程，从而帮助学生将解决具体问题中的“经验”推广到更一般的情况。教师要注意设计好能引起学生反思的提问，如解决这个问题，你有哪些体会?通过反思，解决问题活动中的关键要素和观点得到提升。加深学生对方程作为一种重要的数学思想方法的理解。也正是在多次经历这样的活动过程中，学生感受到方程与实际问题的联系，领会数学建模的思想和基本过程。

“数学教学不能满足于单纯的知识灌输。而是使学生掌握数学最本质的东西，用数学思想和方法统串具体知识、具体问题的解法，循此培养和发展学生的数学能力”因此，我们要在教学中充分认识“方程”这一内容的教学价值与地位，增强学生用方程方法解决问题的意识和能力，丰富学生解决问题的策略，帮助学生加深理解方程是一种重要的数学思想方法，使学生的数学素养得到更好的发展。  

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（三）教学建议

1、用字母表示数这部分内容分两段安排：例1～例5引导学生逐步认识用字母表示数；例6教学简单字母式子的加减运算。在进行教学时要做到：引导学生逐步认识字母表示数，首先在简单的数量关系里让学生体会字母表示数，这里通过常见的、简单的、学生容易理解的实例，让学生依据简单的数量关系，体会每个实例中字母的具体含义，认识可以用字母表示相应的数，并了解字母式子的意义。然后在稍复杂的数量关系里体会字母表示数，这里主要是根据含有两级运算的两步计算的数量关系的表达，引入用字母表示其中某个量的数，让学生进一步体会字母的含义，再通过摆图形等实际情况，引导学生联系实际问题和具体情境理解用字母所表示的数的意义，在操作、感知的基础上理解字母表示的数的实际含义从不同角度理解简单的加减计算的结果，进一步认识字母可以表示数，加深对字母表示数的认识和理解，体现和反映对学生符号感的培养，从而达到数学课程标准中所规定的要求：“能从具体的情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”、“理解符号所表示的数量关系和变化规律”。
2、在四年级下册“用字母表示数”教学的基础上第一次教学方程，涉及的基础知识比较多，教学内容主要有等式的含义与方程的意义，根据直观情境里的等量关系列方程；还有等式的性质和解方程的教学，列方程解答一步计算的实际问题。我们在进行方程教学的过程时应让学生在具体情境中认识方程的意义，“含有未知数的等式是方程”，这是用定义的形式来揭示概念。小学数学中揭示概念的方式有多种，这里对方程的定义采取的是属加种差定义方式：种差+邻近的属概念=被定义概念。这里，被定义概念邻近的属是“等式”，种差是“含有未知数”。

在教学时先教学等式，再教学方程的意义。教学时应注意要让学生经历由图过渡到式子的抽象过程。先通过观察天平图，判断物体的轻重，再用式子表示两端物体的质量关系；在交流等式和方程有什么关系时，应引导学生观察具体实例进行说明，这样能加深学生对方程的认识，还可以引导学生从集合的角度体会这两个概念之间的关系。在对方程的意义有了明确的认识之后应循序渐进地教学等式的性质和用等式的性质解方程，《数学课程标准》从学生的长远发展和中小学教学的衔接出发，要求小学阶段学生也要利用等式的性质解方程。为了让学生联系等式的性质解方程，教学时可以让学生自己说说怎样求出x的值。同时还要学生注意三点：一是规范解方程的书写格式，等式变换时，每个等式的等号要上下对齐；二是利用等式的意义对方程进行检验，只要看左右两边是不是相等；三是联系上面的过程，深刻领会什么是“解方程”。作为教师要知道方程就是一种数学模型，它是刻画现实世界中数量相等关系的数学模型。它可以帮助人们更准确清晰地认识、描述和把握现实世界。五上教材主要安排的了求和、相差关系和倍数关系等一些基本问题，它们是最基本的数量关系，所以在列方程解决实际问题的过程中，找到问题中数量之间的相等关系是列方程解决实际问题的关键。列方程解决问题与列算式解决问题相比，在思维方式上是一个飞跃。应引导学生积极参与解决问题的活动，教学时具体分这样几步：（1）明确条件和问题；（2）分析问题中已知量和未知量的相等关系；（3）把数量间的相等关系“翻译”成未知数X和已知数之间相等关系的方程。这样的过程就是建立数学模型的过程。

3、苏教版小学数学教材在第二学段分两次教学“方程”。六年级上册是第二次接触方程，教学解形如ax±b=c、ax÷b=c、ax±bx=c的方程，列方程解答两、三步计算的实际问题。我们知道，小学生学习方程，是学习一种有效的解决实际问题的方法，进一步丰富解决问题的策略，更有价值与长远意义的是体现是建模思想。