初中数学反思两则

天涯

田载今（人民教育出版社）



一、初中数学中函数概念的核心地位与概念的核心

函数是从数量关系的角度描述运动变化规律的数学概念，是从数学角度反映千变万化的世界的重要模型。

从数学科学本身看，函数概念的产生是数学发展的重要里程碑。初等数学与高等数学的重要分界是：前者基本上是常量数学，而后者则主要是变量数学，而变量数学的主要研究对象基本上都是以函数形式呈现的。综观今日的数学，其中一个重要的基础分支数学分析的主要研究对象就是函数，其余众多分支中哪一个又不是以相关函数作为重要内容呢？函数已成为整个数学的一个核心概念。

从数学教育角度看，函数无疑也是中学数学课程的一个核心概念。在学习函数概念之前，数学课程中基本是讨论静态的数学问题，教学中引入函数概念，不仅使讨论内容增加了运动变化的问题，而且提供了居高临下重新认识已学内容的观点，使得中学生头脑中的数学知识体系的得到扩大与提升；对基本初等函数的学习，使中学生的数学思维更为活跃；函数图象是使中学生体会数形结合的思想方法的典型范例；三角函数成为中学生研究三角形以及周期变化的重要工具；解析几何中曲线的方程f(x,y)=0实际上是隐函数，它使中学生看到解析式与几何图形的密切联系；以讨论函数变化率为基础的初等微积分使学生初步掀开高等数学的面纱；概率密度等使中学生见识到函数在研究或然性问题时的作用……综观中学数学内容，一个显然的结论是：函数是个纲，纲举目张。

学生第一次学习函数在初中阶段。初中数学中要学习函数的概念、正反比例函数、一次函数、二次函数和锐角三角函数等，这些内容在初中数学中无论数量还是影响力都居于重要地位，函数概念是其中的基础。

回顾函数概念的形成与发展历程，可以发现，函数的产生来自研究变量的需要。早在17世纪，伽利略、笛卡尔等科学巨匠已注意到一个变量对另一个变量的依赖关系。牛顿、莱布尼兹创立微积分时虽未给函数下明确的定义，但实际上已形成对变量之间的对应关系的关注。18世纪时函数被认为是由变量x和常量构成的式子。约翰?贝努利对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。” 欧拉把约翰?贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它按照式子中含有的运算种类区分为代数函数和超越函数。19世纪时人们对函数的认识发展到强调对应关系。柯西给函数的定义是：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”傅里叶发现函数也可以用曲线表示，也可以用式子表示，使对函数的认识跳出式子的限制。狄里克雷指出：“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有确定的值，那么y叫做x的函数。”当集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦用“集合”之间的“对应”给出了近代函数定义，使得函数概念具有三个要素即对应关系、定义域及值域。20世纪后，现代函数概念──“集合之间的映射”方式定义形成，即“若存在集合M到N的一个影射f，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f(x)，其中x 是M的任一元素，y是x在N中的像。”在古典分析中的函数概念是指两个数集之间所建立的一种对应关系。现代数学的发展却要求建立两个任意集合之间的某种对应关系。

现在初中所学的函数定义为：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数。”分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确是“y对x是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求 ，但是没有从“集合”角度描述函数，因而未明确涉及定义域及值域。由此可知，现在初中数学中的函数定义的核心，是函数概念三个要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。

函数是一个抽象概括程度很高的概念，学习它需要一个逐步深入的理解过程，初中阶段对它的认识是初步的。在没有“集合”“映射”这些知识基础时，对于函数的认识应该是通过一些具体例子，重点体会变量间的“单值对应”关系。例如，使用y=2x，y=3x+1，y=x2等正例，以及如这样的反例。要以正例为主，反例是少量而典型的，起对比反衬作用。对于自变量的取值范围（定义域）、值域等应先不作过多讨论，以免分散对概念的核心的认识。由于初步学习函数概念时强调的是变化中的对应，所以对于常值函数y=f(x)=c（常数），似也不必过早涉及，因为学生刚接触常量与变量的概念，往往不易理解常值函数y是特殊的变量，更不可能在映射的高度上认识函数概念中的“对应”可以是“多对一”的形式（这时并不强调y一定是变量）。这些问题都可以在以后的学习中陆续解决，不宜操之过急。追求一步到位，反而会干扰本阶段的主攻方向，造成欲速则不达的后果。

本次研讨活动中，与会者对“函数是中学数学课程中的核心概念”和“初中数学中函数概念的核心是‘单值对应’”取得基本一致的意见，至于在教学中如何使学生学好函数概念，则需要设计适合学生实际的方案，这将是不拘一格、见仁见智的。

二、信息技术工具的使用提高函数图象的教学效果

利用函数图象的直观性，认识函数的性质，是研究函数的一种途径，它体现了数形结合这一重要的数学思想和方法。

正比例函数y=kx（k是常数，），是中学生正式学习的第一类具体函数，如何引导学生认识它的图象呢？人教版教科书的做法是；先用描点法画函数y=2x和y=-2x的图象，再引导学生从中发现规律，即正比例函数的图象是一条过原点的直线，当k>0时，直线从左向右经过第三、一象限；当k<0时，直线从左向右经过第二、四象限。这个规律中包含了两个内容：①正比例函数图象的形状（一条直线）；②正比例函数图象的位置（经过原点和两个象限）。

描点法作函数y=kx的图象的步骤是：先描出若干个点；再将描出的点连成平滑曲线。实际作图中，无论描出多少个点，点的个数都是有限多的。这就产生了一个疑问：仅由有限多个描出的点在同一直线上，就能确定所有点都在这一直线上吗？要解答这个问题，显然不能靠实际画图，而要靠逻辑推理。推理的过程大体为：先过点O(0,0)和P(l,k)作直线l，再进行两方面的推导，即①l上的任意一点Q的坐标(x,y)满足关系y=kx；②坐标满足关系y=kx的任意一点M(x,y)在l上。

为什么人教版教科书没有对正比例函数图象的形状进行严格的推理呢？可以看出：第一，这样的推理涉及曲线与方程关系中的纯粹性和完备性两个方面，而对于初中学生来说这些较难理解；第二，这样的推理要利用相似形的知识，而相似形是初中几何中靠后面的内容，如把正比例函数安排在相似形后面，则在初中数学教材体系中函数内容的出现有些过迟。因此，教科书采用了前面所说的用不完全归纳法引出正比例函数图象的形状。这种不完全归纳法包括两重意思：①由描出的满足y=2x（或y=-2x）的某些（特殊）点在同一直线上，引出满足y=2x（或y=-2x）的所有（一般）点在同一直线上；②由y=2x和y=-2x这些的具体（特殊）的正比例函数的图象是直线，引出抽象（一般）的正比例函数y=kx的图象是直线。很明显，这种归纳虽是一种认识方式，但不是严谨的推理方式。在当前的初中实际教学中，要提高学生对正比例函数图象是直线的信度，就要增加所观察的特殊对象的数量，即对具体函数y=2x（或y=-2x）要尽可能多描出一些点，对y=kx中的k要尽可能多取一些具体值并作相应函数的图象。但是，这样做无疑在教学过程中又会占用较多时间和精力，影响教学效率。如何解决这个矛盾呢？

本次课题研究活动中，授课教师的做法启发我们：利用信息技术工具，可以较为有效地解决上述问题。利用计算机的计算和作图功能，不占用很多时间就可以做到：①描出很多满足某个正比例函数的离散的点，使这些点排列得很稠密，从而提高对这个函数的图象是一条直线的信度；②对变换多个具体取值，得出多条直线，从而提高对每个正比例函数的图象都是一条直线的信度。借助计算机提高学生认识正比例函数的图象的效果，这种做法又一次说明，现代信息技术可以改进教学手段，更快、更多、更活、更好地展示课程学习内容，为提高教学效率提供了更广阔的空间。为此，我们还需要结合学科特点与教学内容，对如何充分发挥计算机的作用，进行更深入的研讨。

计算机辅助教学的一个突出优点是加强了直观性，这对于学习抽象内容有很大帮助。然而，培养抽象思维能力也是数学学习的一项任务。数学教学中并非只要直观，不要抽象。虽然，利用计算机可以更有效地引导学生认识正比例函数图象的形状及位置，使学生能一目了然地看到具体的正比例函数图象；但是，教学中不应让学生的认识仅仅停留在观察、猜想阶段，还应适当上升到推理的层次，当然这种推理必须是学生可接受的。例如，关于正比例函数图象的位置，虽然可以从具体函数的图象中观察，但是仍有必要让学生考虑这样的问题：为什么正比例函数的图象一定经过原点？当k>0时，为什么函数y=kx的图象只经过第三、一象限？当k<0时，为什么函数y=kx的图象只经过第二、四象限？……这样的思考对学生来说难度并不大，而且会使学生的认识得到深化。

综上所述，在教学中我们应处理好特殊与一般、具体与抽象的关系，使它们能有机的结合，以利于学习知识与发展思维。为此，我们应结合数学课程的内容和特点，对计算机辅助教学进行更深入的研究，更好地发挥计算机具有的快速、直观、多变、生动等教学作用，使其更好地为数学教学服务。