习题教学“着力点”例谈

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  老师们碰到公开教学或课堂比赛时，往往都不满足于数学课本的编排思路或备课手册上的已有教案，都力求能把教学内容做足和做新。近期，笔者参加了苏教版六年级下册“解决问题的策略(转化)”的一次上课指导活动，与几位同仁经历了“做足、做新”的切磋之后，就习题教学的问题有一些想法，期待与广大教师交流和学习。

图与式，谁先行?

案例1
试一试(如下图，教材第72页)。

教学路径一
先出示正方形图，然后配合动画分割，依次呈现各个分数，提问：“怎样求涂色的面积?”学生立即想到“1/2+/14+1/8+1/16”和“1－1/16。接着，教师指出，结果相等，第一个算式可以转化成第二个算式，并且来得简便灵活些。最后，追问“1/2+/14+1/8+1/16+1/32”和“1/2+/14+1/8+……+1/1024的结果是多少。

教学路径二

先出示算式1/2+/14+1/8+1/16，学生独立计算后，老师指出，将异分母的分数经过通分变成同分母分数计算也是转化的过程，并引领学生观察算式中加数的特点(分子都是l，分母分别是几个2相乘)，提问：“还有更简便的方法吗?”学生无语。接着，教师出示正方形图，让学生认识到正方形的涂色部分的大小表示的就是该算式的和，用l减去空白部分的大小就得到涂色部分的大小，也就是算式的和。因此，可以将
原算式转化成1—1/16计算。最后，出示算式1/2+/14+1/8+1/16+1/32+1/64去并追问如何进行转化。

分析

路径一满足于让学生在图中直观地找到算式的结果，却从本质上忽略了让学生经历对“转化”思想内涵的深刻感悟和充分体验。省去了困顿和感悟的过程，学生仅仅得到了“两种解法就是转化”的不完整认识。路径二没有另起炉灶，只是在图与式的呈现顺序上稍加改变，却让学生充分感受到了转化的必要性并经历了转化的过程。同时，路径二还附带有通分转化与算式转化的比较，使学生意识到“转化在思想本质上是相同的，但在具体方法上却有优劣之分”。；同样的教学任务，路径一让图的作用过于突出反而影响了认知，学生囿于图的“庐山”中，不识“转化”的真面目；而路径二才真正实现了“以图辅式”的教学意图，先跳出“图”，最终却能通过“图”而认识“转化”的真面目。

虚与实，谁相宜?

案例2
用分数表示图中的涂色部分(如右图，教材第74页)。

教学路径一

先让学生独立思考，然后指名说是几分之几。接着，教师针对学生出现的9/16，利用Flash动态旋转，证明涂色部分不是9格，从而把学生引向分解思考或反向思考，并进行几种转化方法的比较，得出涂色部分是10格用5/8表示，再次否定学生原先的错误想法。

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教学路径二

学生先独立思考，并把自己的想法说给小组成员听，再全班交流。教师针对学生的错误答案9/16，让学生指图说出自己的判断依据。接着，放大学生的观点“直角三角形中斜边比直角边长”或“直线外一点到直线的距离垂线段最短”，推理证明涂色正方形的边长不是3。同时，利用手中的教棒对准涂色正方形的二边选取同长度后旋转，让学生发现其边长确实超出3。最后，结合学生对错误答案的矫正，把学生带往正确的思考方向，并让学生说说是如何想到5/8的。

分析
桐当多的学生认为涂色部分是9/16，还振振有词地说“经过旋转，就是二个边长为3的正方形。”是以纠正学生错误转化过程中的认知障碍为主，还是虚晃一枪，把精力放到转化的方法“求涂色，想空白”上，从而推出涂色部分是16－6=10格，进而以“5/8”这个正确的答案呢?或者，用动画技术旋转，呈现涂色部分旋转后会超出9格正方形的边缘，从而“证明”不是9格是10格呢?我们认为，路径一避实就虚，无视学生的认知症结，是“虚”的优化；路径二暴露了学生的认知症结，促使学生反思错误之所在，并通过多种方法加以验证，使学生的认识落到了实处。

深与浅，谁为准?

案例3
计算图形的周长(如右图，教材第74页)。

教学路径一
先请学生计算该图的面积，说说是如何转化的。然后出示，一个直径8cm的圆，学生口算其周长。接着，教师出示原图让学生计算周长。最后，借助课件演示，将该图下面的斜“S”形边，渐次晃动，最终拉成与大圆周下半部分的虚线重叠，以此证明完全可以转化成求半径为4cm的大圆周长。

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  教学路径二  首先，引领学生认识并指出该图形的周长

  就是三段曲线长度之和。然后，学生独立计算并汇报、交流，可以将周长的计算转化成一个小圆周与大圆周的一半相加。最后，带领学生计算大圆周长，观察发现该图经过转化算出的周长与大圆周长相等，都是25.12cm，指出：“这是巧合，还是有依据的呢?有兴趣的同学，不妨课后进行再研究!”(课件配以大圆周下半部分的虚线显示。)

    分析  两种教学路径都对“转化”的起点和程度作了挖掘拓展。路径一先以转化法计算了图形的面积(教师的意图是明确计算对象，但实际上，这里的面积计算反而会产生负迁移)，再指向周长计算，并试图证明可以转化为直接求大圆周长。这样教学本质上还是“告知”式的，用课件演示的手段来证明也不可靠，显然有悖于“在问题解决过程中体验转化的思想和价值”的教学目标。路径二则顾及了学生的可能，让学生先分析图形，明确了图形周长的组成，为周长计算的成功转化作了铺垫。在学生独立计算后，面对相同的计算结果，教师抛出的“想法”恰恰也是学生自己的猜想。这样教学，兼顾了基本目标的达成和发展目标的催生，为学有余力的学生指引了再研究的思考方向。

就上述三道习题的教学，着力点不同，教学效果也不同。当然，上述三题应该还有其他的教学路径，但不管怎么说，如何提高习题教学的能力却是我们不能回避的研究话题。细细玩味上面的三个案例，我们或许能从中获得一些启示。

第一，目标定位要“准”。这主要体现在对教学内容的把握和施教层面。如前文中的三个案例的目标定位应分别是：先“式”后“图”地呈现，让学生体验算式转化的必要性和过程；引导学生自主反思，在纠正学生错误的转化方法上求真务实；激发学生内在的探究欲望，引导学生在更高的层面上感悟转化的精髓。对教学路径的设计与选择，要杜绝将教师的“需要”强加在学生的发展可能之上。“做足、做新”不应脱离学生的实际经验和应有的教学目标。

    第二，教学起点要“低”。每次的习题教学总是有起点的。在关注学生可能出现的学习困惑和矛盾的同时，我们更需要探明学生已经知道什么和需要知道什么，并据此设计和选择路径展开教学。尤其在起始课的习题教学中，应“低”得让大部分学生有话可说、有路可循。不同门槛的教学路径，对学习水平高的学生而言可能差别不大，但对学习水平处于中、下等的学生则可能截然不同。   

    第三，技术支撑要“严”。对教学手段和技术的应用需持严格、审慎的态度。在某种程度上讲，验证之类的教学任务仅凭借动画技术支撑是不可靠的。我们应该把学生带上可信的实证尤其是数学证明的道路上来，而不是“告知”式的演示证明。