“数形结合“天地宽

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数形结合，是指在研究数学问题时，把问题的数量关系和空间形式结合起来，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，由数思形，以形思数，使某些抽象的数学问题直观化、生动化、简单化，变抽象思维为形象思维，有助于学生把握数学问题的本质。所以，数形结合思想是数学解题中常用的思想方法，尤其在小学数学中，使用数形结合的方法，能够使很多复杂的数学问题迎刃而解，且解法简捷。

例1：甲、乙两人从两地相向而行，经过6小时相遇于A点，如果两人回到原来的出发地，甲速度不变，乙每小时加快5千米，在距离A点12千米处相遇。如果两人再回到原地，乙速度不变，甲每小时加快5千米，在距离A点16千米处相遇?甲、乙原来的速度分别是多少?

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分析与解：这道题条件变化多，数量关系复杂，从字面上很难理顺数量间的关系。如果画出线段图，思路就豁然开朗了。

从图1可以很清楚地看出：第二次与第一次比较，甲速度不变，乙每小时加快5千米，结果在距离A点12千米的B点处相遇；第二次与第一次比较，乙速度不变，甲每小时加快5千米，在距离A点16千米的C点处相遇。第三次与第二次比较，甲、乙两人的速度和没有变，所以从出发到相遇时所用的时间不会变。

在同样的时间里，甲第三次比第二次每小时多行5千米，共多行了12+16=28千米，所以从出发到相遇所用的时间是28÷5=5.6小时。第一次与第二次相比，甲的速度没有
变，甲第一次比第二次多行了12千米，多用了6-5.6=0.4小时，所以，甲原来的速度是12÷0.4=30千米/小时。

同样，第三次与第一次比，乙的速度没有变，乙第一次比第三次多行了16千米，也多用了0.4小时，所以乙原来的速度是16÷0.4=40千米/小时。
例2：体育课上，60名同学面对体育教练，学号分别是1～60号。教练说：“学号是3的倍数的同学向后转。同学们按要求转好后，教练说：“学号是4的倍数的同学向后转。”之后，教练又说：“学号是5的倍数的同学向后转。”三声口令过后，面对教练的有多少人?
分析与解：转1次和转3次的同学是背对教练的，只要从总人数中去掉背对教练的人数，就是面对教练的人数。
教练的三声口令后，60名同学中，有的转了1次，有的转了2次，有的转了3次，也有的1次也没有转。情况比较复杂，如果借助韦恩集合图，则可以化繁为简。
学号是3的倍数的有60÷3=20人，学号是4的倍数的有60÷4=15人；学号是5的倍数的有60÷5=12人。
转3次的同学的学号一定是3、4、5的公倍数，60÷(3×4×5)=1，因而转3次的只有1人。
转2次以上的同学，学号一定是3和4的公倍数或3和5的公倍数或4和5的公倍数。学号是3和4的公倍数的有60÷(3×4)=5人；学号是3和5的公倍数的有60÷(3×5)=4人；学号是4和5的公倍数的有60÷(4×5)=3人。这样，可以很快得到只转2次的人数：5-1=4(人)，4-1=3(人)，3-1=2(人)，如图2。

这样，就能很容易算出只转1次的人数。那么转1次和3次的总人数为12+8+6+1=27人。所以面对教练的同学有60-27=33人。
例3：王红从家里步行到火车站，若每小时多行0.5千米，所用时间是原定时间的5/6；若每小时少行0.5千米，则比原定时间晚到1/4小时。王红家到火车站是多少千米?

分析与解：如图3，把长方形的长AB看成是王红从家里步行到火车站计划的时间，宽AD看成是王红从家里步行到火车站计划的速度，那么长方形ABCD的面积就是王红家到车站的路程。

先根据“王红从家里步行到火车站，若每小时多行0.5千米，所用时间是原定时间的5/6”这个条件画出图4。

因为从家到车站的路程相同，所以长方形ABCD和长方形A1B1ClD1的面积相等，因而图中两个阴影长方形的面积相等。每小时多行0.5千米，则时间减少了原定时间的1－5/6=1/6。长方形A1AEBl的面积是：0.5×5/6所以BC的长是：0．5×5/6÷1/6=2.5，也就是王红从家里步行到火车站的原定速度是2.5千米／小时。

同理，根据“若每小时少行0．5千米，则比原定时间晚到1/4小时”这个条件可以推算出AB的长是：(2.5-0.5)×1/4=1，也就是王红从家里步行到火车站的原定时间是l小时。所以，王红家到车站的路程是2.5×1=2.5千米。

“一图抵百语”，数形结合抓住了数与形之间的联系，以“形的直观表达数，以“数”的精确研究形，可以帮助我们直观地理解某些数量间的关系，有利于记忆和思考、我们在引导学生解决数学问题时，要根据具体问题多引导学生用数形结合的思想方法进行解题，让学生养成画图思考的习惯。