透视数学中考中应用题

与你同行

山东广饶县稻庄镇实验中学　张良鹏　山东广饶一中　陈春红



著名数学家华罗庚先生曾这样论述数学的应用：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用到数学。”伴随着素质教育的实施，联系实际，贴近生活的数学中考题已经走入各省市的中考试卷。它引导学生从已有的知识和生活经验出发，使其在解决问题的过程中体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和应用数学的信心。

这类问题在解决时，首先要在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象为数学问题，即将实际问题经过抽象概括，利用数学知识建立相应的数学模型。再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，从而得出结论。然后再把解得的数学结论返回到实际问题中。下面分类予以说明：

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六、 建立几何模型
几何应用题内容丰富，诸如测量、取料、剪裁、方案设计、美化设计等等。解答此类问题的一般方法是认真分析题意，把实际问题进行抽象转化为几何问题，进而运用数学知识求解。
例6．（2004年淄博市中考题）在日常生活中，我们经常看到一些窗户上安装着遮阳蓬，如图（1）.现在要为一个面向正南的窗户设计安装一个遮阳蓬，已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为34°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为76°.
把图①画成图②，其中AB表示窗户的高，BCD表示直角形遮阳蓬.
⑴遮阳蓬BCD怎样设计，才能正好在冬天正午太阳最低时光线最大限度地射入室内而夏天正午太阳最高时光线刚好不射入室内？请在图③中画图表示；
⑵已知AB＝150cm，在⑴的条件下，求出BC，CD的长度（精确到1cm）.

解：（1）如图.

　　（2）如图，设BC＝x，CD＝y.
　　　　在Rt△ADC和Rt△DBC中，
　　　　由题意，得
　　　　把②代入①，得
　　　　　　　　，
　　　　　　　　(cm)，
　　　　　　　　(cm).
　　　　答：BC、CD的长度分别约为30cm、45cm。
七、建立线性规划模型
　 近年来，中考试题中开始出现线性规划问题。所谓线性规划，是指求线性函数在线性(不等式或等式)约束下达最(小或大)值的问题。线性规划广泛应用于工农业、军事、交通运输、决策管理与规划、科学实验等领域。
例7．（2004年山东省烟台市）先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先退到比较简单的情形：

如图①，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙走的距离之和等于A1到A2的距离.
如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲乙和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放到别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，在是多出来的，一次P放在A2处是最佳选择.
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P应设在第3台的位置.
问题⑴：有n台机床时，P应设置在何处？
问题⑵：根据问题⑴的结论,求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值.
解：⑴当n为偶数时，P应设在第台和（）台之间的任何地方
      当n为奇数时，p应设在第台的位置
   ⑵根据绝对值的几何意义，求︱x－1︱+︱x－2︱+︱x－3︱+…+︱x－617︱的最小值就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，…，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x＝309时，原式的值最小
最小值是：︱309－1︱+︱309－2︱+︱309－3︱+…+︱309－308︱+0+︱309－310︱+︱309－311︱+…+︱309－311︱＋+︱309－616︱+︱309－617︱
＝308＋307＋306＋…＋1＋1＋2＋…＋308＝308×309＝95 172
总之，这类问题透视热点，力求创新，将是今后中考命题的趋势。希望同学们在日常的学习过程中，掌握建模的方法、规律，切实提高自己解决实际问题的能力。

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二、建立方程（组）模型
方程（组）是研究现实世界数量关系的最基本的数学模型，求解此类问题的关键是：针对给出的实际问题，设定合适的未知数，找出相等关系，但要注意验证结果是否适合实际问题。
例2．（2005年重庆市中考题）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”。据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预测2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女将比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习。
（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增的1160名中小学生共免收多少“借读费”？
（2）如果小学每40名学生配备2名教师，中学每40名学生配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？
解：（1）设2004年秋季在主城区小学学习的农民工子女有人，在主城区中学学习的农民工子女有人，
由题意可得：
解得
∴ ，
∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（万元）
答：共免收82万元（或820000元）“借读费”。
（2）2005年秋季入学后，在小学就读的学生有（名），在中学就读的学生有（名）
∴ （名）
答：一共需要配备360名中小学教师
三、建立不等式模型
现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题很难确定（有时也不需要确定）具体的数值。但可以求出或确定这一问题中某个量的变化范围，从而对所有研究问题的面貌有一个比较清楚的认识。
例3．（2004年河北省中考题）光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台。先将这50台联合收割机派往A、B两地区收割小麦，其中30台派往A地区，20台派往B地区。
两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：

	每台甲型收割机的租金	每台乙形收割机的租金
A地区	1800元	1600元
B地区	1600元	1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说明有多少种分配方案，并将各种方案设计出来；
（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提一条合理化建议。
解：（1）若派往A地区的乙型收割机为x台，则派往A地区的甲型收割机为（30－x）台；派往B地区的乙型收割机为（30－x）台，派往B地区的甲型收割机为（x－10）台。
∴y＝1600x＋1800(30－x)＋1200(30－x)＋1600(x－10)＝200x＋74000
x的取值范围是：10≤x≤30（x是正整数）
（2）由题意得 200x＋74000≥79600
解不等式得 x≥28 由于10≤x≤30（x是正整数）
∴x取28，29，30这三个值。
∴有3种不同的分配方案。
①当x＝28时，即派往A地区的甲型收割机为2台，乙型收割机为28台；派往B地区的甲型收割机为18台，乙型收割机为2台。
②当x＝29时，即派往A地区的甲型收割机为1台，乙型收割机为29台；派往B地区的甲型收割机为19台，乙型收割机为1台。
③当x＝30时，即30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区。
（3）由于一次函数y＝200x＋74000的值y是随着x的增大而增大的，所以当x＝30时，y取得最大值。如果要使农机租赁公司这50台联合收割机每天获得租金最高，只需x＝30，此时，y＝6000＋74000＝80000。
建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区；20台甲型收割机全部派往B地区，可使公司获得的租金最高。
四、建立函数模型
函数应用问题涉及的知识层面丰富，解法灵活多变，是考试命题的热点问题。解答此类问题，一般都是从建立函数关系入手，将实际问题模型化或结合函数图象来挖掘解题思路。
例4．(2005年广东省梅州市中考题) 东海体育用品商场为了推销某一运动服，先做了市场调查，得到数据如下表：

卖出价格x（元/件）	50	51	52	53	……
销售量p（件）	500	490	480	470	……

（1） 以x作为点的横坐标，p作为纵坐标，把表中的数据，在图8中的直角坐标系中描出相应的点，观察连结各点所得的图形，判断p与x的函数关系式；
（2）如果这种运动服的买入件为每件40元，试求销售利润y（元）与卖出价格x（元/件）的函数关系式（销售利润=销售收入－买入支出）；
（3）在（2）的条件下，当卖出价为多少时，能获得最大利润？

解：（1）p与x成一次函数关系。 设函数关系式为p=kx+b ，则
　　　　解得：k=－10，b=1000 ， ∴ p=－10x+1000
　　　　经检验可知：当x=52，p=480，当x=53，p=470时也适合这一关系式
　　　　∴所求的函数关系为p=－10x+1000
　　（2）依题意得：y=px－40p=(－10x+1000)x－40(－10x+1000)
　　　　　∴ y=－10x2+1400x－40000
     (3)由y=－10x2+1400x－40000 可知，当时，y有最大值
          ∴ 卖出价格为70元时，能获得最大利润。
五、建立统计模型
统计知识在现实生活中有着广泛的应用，作为学生要学会深刻理解基本统计思想，要善于提出问题，考虑抽样，收集数据，分析数据，做出决策，并能进行有效的交流、评价与改进。
例5.（2005年辽宁省锦州市中考题）某校为了推动信息技术的发展，举行了电脑设计作品比赛，各班派学生代表参加，现将所有比赛成绩(得分取整数，满分为100分)进行处理然后分成五组，并绘制了频数分布直方图，请结合图中提供的信息，解答下列问题：
　　

　　(1)参加比赛学生的总人数是多少?
　　(2)80.5～90.5这一分数段的频数、频率是多少?
　　(3)这次比赛成绩的中位数落在哪个分数段内?
　　(4)根据统计图，请你也提出一个问题，并做出回答.
　　解：(1)　参赛学生总人数为4+12+20+10+6=52(人)；　　
　　　　(2)　80.5-90.5这一分数段的频数为10，频率是；　　
　　　　(3)　这次比赛成绩的中位数落在70.5-80.5这一分数段内；
　　　  (4)　答案不惟一，只要合理，就可给分.提问题举例：
　　　　　 　①这次竞赛成绩的众数落在哪一个分数段内？
　　　　　　　答：众数落在70.5-80.5这一分数段内；　　
　　　　　　②90.5-100.5分数段内的学生与50.5-60.5分数段内的学生哪一个多？
　　　　　　 答：在90.5-100.5分数段内的学生多；
　　　　　 ③若规定90分以上(不含90分)为优秀，则此次考试的优秀率为多少？
　　　　　　　答：.

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一、 建立数式模型
数与式是最基本的数学语言，由于它能有效、简捷、准确地揭示由低级到高级、由具体到抽象、有特殊到一般的数学思维过程，富有通用性和启发性，数与式模型通常成为学生抽象和概括数学问题的重要方法。
例1．（2004年安徽芜湖市中考题）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元）

星期	一	二	三	四	五
每股涨跌（元）	＋2	－0.5	＋1.5	－1.8	＋0.8

根据上表回答问题：
①　星期二收盘时，该股票每股多少元？
②　周内该股票收盘时的最高价，最低价分别是多少？
③　已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？
解：（1）星期二收盘价为25＋2－0.5＝26.5（元/股）
（2）收盘最高价为25＋2－0.5＋1.5＝28(元/股)
收盘最低价为25＋2－0.5＋1.5－1.8＝26.2（元/股）
（3）小王的收益为：27×1000(1－5‰)－25×1000（1＋5‰）
＝27000－135－25000－125
＝1740（元）
∴小王的本次收益为1740元.