《新课标》下初论数学思想的教学功能

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《新课标》下初论数学思想的教学功能
                         武 晓 锋
          　　　　  （呼 和 浩 特 市 第 六 中 学）
摘要：数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中锻炼上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。现行的数学教学大纲都明确强调把数学思想和方法作为基础知识的重要组成部分，这是体现素质教育精神的重要方面。强调这一点对数学教育教学有很大的指导意义.以往的数学教学往往着眼于教具体的概念、法则、性质公式、公理、定理，而忽视其中所反映出来的数学思想，也就是没有揭示知识的精神实质，没有让学生掌握精髓和灵魂，因此不利于提高学生的素质。而新的课程标准突出了数学思想这个精髓，要使学生逐步学会观察、比较、分析、综合、抽象和概括、归纳、演绎、类比等重要的数学思想方法，这些思想方法不仅对学习和研究数学有重要的指导意义，而且对提高全体学生的文化科学素质，思想素质都有重大的意义。本文对数学思想进行浅层的概念分析.简单概括了数学思想的特性和作用.重点分析了数学思想的教学功能.及从具体题目中体现如何运用数学思想.
关键词：数学思想  《新课标》  数学教学

　近几年，在教育领域，“应试教育”的弊端越来越受到大家的注意。就“数学”一门学科。在数学教学中违背教育规律的现象和做法层出不穷。那么数学教学到底应该教什么？
2001年7月教育部正式颁布《新课标》，用《新课标》的标准，可以知道数学教学过程，实质上是运用各种数学理论进行数学知识教学的过程，在这个过程中，必然要涉及数学思想的问题。数学思想是贯穿整个学习数学过程中的主线索，是数学的精髓，它对数学教育具有决定性的指导意义。本文对数学思想的意义及在教学中的作用作一探讨。
一、对数学思想的基本认识
　　“数学思想”是数学课程论的一个重要概念，关于这个概念的内涵，我们认为：数学思想是人们对数学科学研究的本质及规律的理性认识。这种认识的主体是人类历史上的数学家；而认识的客体，则包括数学科学的对象及其特性，研究途径与方法的特点，研究成就的精神文化价值及对物质世界的实际作用，内部各种成果或结论之间的互相关联和相互支持的关系等。可见，这些思想是历代与当代数学家研究成果的结晶，它们蕴涵于数学材料之中，有着丰富的内容。
　　通常认为数学思想包括方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想、分类讨论思想和公理化思想等。这些都是对数学活动经验通过概括而获得的认识成果。既然是认识就会有不同的见解，不同的看法。但总的来说只要是在充分分析、归纳概括数学材料的基础上来论述数学思想，那么所得的结论总是可能做到并行不悖、互为补充的，总是能在数学教材中起到积极的促进作用的。
二、数学思想的特性和作用
　　数学思想是在数学的发展史上形成和发展的，它是人类对数学及其研究对象，对数学知识（主要指概念、定理、法则和范例)以及数学方法的本质性的认识。它表现在对数学对象的开拓之中，表现在对数学概念、命题和数学模型的分析与概括之中，还表现在新的数学方法的产生过程中。它具有如下的突出特性和作用。
(一)数学思想凝聚成数学概念和命题，原则和方法
　　我们知道，不同层次的思想，凝聚成不同层次的数学模型和数学结构，从而构成数学的知识系统与结构。在这个系统与结构中，数学思想起着统帅的作用。
(二)数学思想深刻而概括，富有哲理性
　　各种各样的具体的数学思想，是从众多的具体的个性中抽取出来且对个性具有普遍指导意义的共性。它比某个具体的数学问题(定理法则等)更具有一般性，其概括程度相对较高。现实生活中普遍存在的运动和变化、相辅相成、对立统一等“事实”，都可作为数学思想进行哲学概括的材料，这样的概括能促使人们形成科学的世界观和方法论。
(三)数学思想富有创造性
　　借助于分析与归纳、类比与联想、猜想与验证等手段，可以使本来较抽象的结构获得相对直观的形象的解释，能使一些看似无处着手的问题转化成极具规律的数学模型。
三、数学思想的教学功能
我国《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试用修订版)》明确指出：“数学的基础知识主要是代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法”。根据这一要求，在数学教学中必须大力加强对数学思想和方法的教学与研究。
(一)数学思想是教材体系的灵魂
　　从教材的构成体系来看，整个数学教材所涉及的数学知识点汇成了数学结构系统的两条主线。一条是由具体的知识点构成明线，它是构成数学教材的“血肉”；另一条是由数学思想方法构成的具有潜在价值的“暗河流”暗线，它是构成数学教材的“骨架”灵魂。数学是知识与思想方法的有机结合，没有不包含数学思想方法的数学知识，也没有游离于数学知识之外的数学思想方法。数学思想能将零散的知识点凝结成优化的知识结构，有了它，数学概念和命题就够活起来，做到相互紧扣，相互支持，以组成一个有机的整体。可见，数学思想是数学的内在形式，是学生获得数学知识、发展思维能力的动力和工具。教师在教学中如能抓住数学思想这一主线，运用教材进行再创造，能使教学见效快，收益大。

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　　2：汉诺塔移盘问题
　　有一种中国古老的智力游戏叫汉诺塔，有三个柱子，第一个柱子上有64个盘子，且大的在下，小的在上，大小都不等，要把这64个盘子移到另一个柱子上。问把整个64个盘子移到另一个柱子上需要多长时间？他的具体游戏规则如下：
　　1： 每次只能移动一个盘子。
　　2：无论在哪个柱子上，大盘不能放在小盘之上。
要算移动盘子的时间，先要算移动盘子的次数，为了弄清上边说的移动和推理过程，我们可以亲手玩一次这个游戏。我们可以把：“64”个盘子替换为“N”个盘子。先对较小的N（N=1，2，3，4）进行具体操作，通过游戏可以知道：当N=1时，移动盘子的次数M=1；当N=2时，M=3；当N=3时，M=7；当N=4时，M=15；……当N很大时,操作起来就很困难,我们用数学思想来考虑一下这个问题.
　　弄清N由 k变为k+1时发生的情况:对盘子从上到下依次编号,设为1～N号盘由A移到B(或C)上按移动次数最少的方法需要∪n次.因为要想把1～N号盘子由A移到B上,按规则(大盘不能在小盘之上),必须先把1～N-1号盘子由A移到C上(这是把B作为中转站),共用∪n-1次;再把N号盘移到B上,用一次;最后,再把C上的N-1个盘子(以A为中转站)移到B上,用∪n-1次.可见有如下的推理公式:    ∪1﹦1,
∪n﹦2∪n-1+1(n≧2)  
   有了上述的递推公式,就可以逐渐地算出∪64了
   方法一: ∪1=1,∪2=2∪1+1=3,∪3=∪2+1=,∪4=2∪3+1=15,∪5=2∪4+1=1,
∪6=2∪5+1=63,……可以看出这与2的幂有关,可以立刻得出∪1=21-1，∪2=22-1，∪3=23-1，∪4=24-1，∪5=25-1 ……可以立即猜想出∪64=264-1,或者可以猜想出这个式子的关系式 ∪n=2n -1 (n=1,2,3…)(用数学归纳法证明结论)
   方法二:由于∪n  = 2∪n-1+1, 所以∪n+1 = 2(∪n-1+1),得出数列{∪n+1}是首项为2,公比为2的等比数列.所以∪n+1=2×2n-1  =2n , ∪n=2n -1. 所以 ∪64=264  -1
   最后得出结论移动完64个盘子需要58000亿年.在这里就运用到了数学中的等比数列的数学思想,才能使复杂的问题简单化.
　 数学思想是一个很广的问题，既有深度又有难度。这里只是简单的讨论一下，希望在我今后的数学探究路上及教学生崖中能够得出更有深度和广度的成果，与大家共勉。
参考文献：
(1〕        邵瑞珍 《教育心理学》         上海教育出版社      1985
(2〕        赵振威 《中学数学教材教法》   华东师范大学出版社  2000
(3〕        刘慧贤 《教育学》             内蒙古教育出版社    2003
(4〕        陈录生 马剑侠 《新编心理学》  北京师范大学出版社  2002
(5〕        张奠宇 过伯祥《数学方法初稿》 上海教育出版社      1996  

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(二)数学思想是进行教学设计的指导思想
　　数学课堂教学设计其目的都在于为了让学生参与到获得和发展真理性认识的数学活动过程中去。这种设计不能只是数学认识过程中的“还原”，一定要有数学思想的飞跃和创造。例如初中阶段的函数概念，便是概括了变量之间关系的简缩，也应当是渗透现代数学思想、使用现代手段实现的新的认识过程。又如高中阶段的函数概念，便渗透了集合关系的思想，还可以是在现实数学基础上的概括和延伸，这就需要搞清楚应概括怎样的共性，如何准确地提出新问题，需要怎样的新工具和新方法等等。对于这些问题，都需要进行预测和创造，而要顺利地完成这一任务，必须依靠数学思想作为指导。有了深刻的数学思想作指导，才能引发起学生的创造性的思维活动来，是他们能更好的运用知识，活学活用。
(三)数学思想是课堂教学质量的重要保证
　　数学课堂教学是教师主体表演的过程，是语言、动作、板书演示、语言交流、情感交流等融于一体的过程。在这种过程中，往往既能反映出教师专业基础知识的情况，又能反映出教师对教学理论的掌握情况，同时还可反映出教师的数学思想的有关情况。
有思想深度的课，能给学生留下长久的思想激动和对知识的深刻理解，在以后的学习和工作中，他们可能把具体的数学知识忘了，但数学地思考问题的方法将永存。进行数学教学的根本目的，是通过数学知识和观念的培养，通过一些数学思想的传授，要让学生形成一种“数学头脑”，使他们在观察问题和提出问题、解决问题的每一个过程中，都带有鲜明的“数学色彩”，这样的数学一定会有真正的实效和长效，真正提高人的素质。
四、如何在教学中使学生掌握数学思想
(一）深入挖掘蕴含在数学教材内容中的数学思想，加以揭示，乃至予以必要的强调。
这就要求教师在认真备课的同时，深入挖掘隐含在教材里的数学思想方法，而在具体教学过程中，加以揭示，明确地告诉学生，阐明其作用，并给以必要的强调，以引起学生的重视和加深理解。例如立体几何教学中许多内容都体现了一个重要思想方法——把空间里的问题转化为平面上的问题，在教学过程中，就要善于引导学生从具体问题中提炼出这一具有普遍指导作用的思想方法。并进一步上升为降维的思想方法，再总结出更一般的更高层次的思想——转化与化归。
（二）紧密结合教材，有计划、有步骤地系统开展数学思想的教学。
对于不同的数学教学内容，可根据其特点，选配不同的数学思想方法进行教学。例如在概念的形成阶段，可选配观察、比较、归纳、抽象、概括等思想方法，而在定理的教学阶段，可选配分析、综合、类比、归纳、演绎等推证的思想方法等等。
（三）展现同数学思想相联系的思维活动过程。
前苏联数学教育家斯托利亚尔把数学教学定义为数学（思维）活动的教学。他认为，数学教学既可理解为思维活动的结果，又可理解为思维活动的过程。现代教育理论从培养人才的需要出发，愈来愈强调教学的过程（即思维的过程），愈来愈强调培养学生能力，特别是思维能力的重要性。然而在现在的教材中较多显示的是数学结论，对数学结论里面所隐含的数学思想以及数学思维活动的过程，教材则较少提及。为了让学生较好地理解与掌握数学的思想，教师应精心设计课堂教学过程，展示数学思维过程， 这样才助于学生了解其中数学思想方法的产生、 应用和发展的过程；理解数学思想方法的特征，应用的条件，掌握数学思想方法的实质。

　（四）加强数学思想的训练，逐步提高学生运用数学思想方法分析问题解决问题的能力。
美国心理学家布鲁纳指出，掌握基本数学思想方法能使数学更易于理解和更易于记忆，领会基本数学思想是通向迁移大道的“光明之路”。掌握数学思想有利于学生更好地理解和掌握数学知识，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力。同时，在数学教学过程中，在分析和解决数学问题的过程中，有意识地加强数学思想方法的训练，使学生在运用中加深对数学思想方法的理解，更好地掌握其精神实质。训练的具体方法可以结合数学课堂教学，针对数学思维活动过程中展示出来的数学思想方法不失时机地进行提问与讨论、启发引导学生领悟出思想方法进行总结提炼，也可以有意识地组织学生进行必要的解题训练，结合分析问题解决问题的思维过程提炼出数学思想方法等等。
　　下面用具体两个例子来说明一下数学思想在教学中的运用。
　　1：哥尼斯堡七桥问题
　题目：欧洲有座美丽的城市，普里格尔河蜿蜒期间，形成小岛。河岸和岛屿间有七桥相连（图一），市民和学生们都喜欢去那里散步。有人就问了：能否不重复地一次接连通过每坐桥？
　这个生活中的问题，引起了人们浓厚的兴趣，人们竟相“过桥”；有人还画出地图，描来描去，然而总是找不到合适的路线，人们开始怀疑这是不可能的，但也仅是怀疑而已。结果，欧拉以否定的形式解决了问题：他用“点”表示河岸与岛屿，用“线”表示桥画出一张图表示普里格尔河上的七座桥。欧拉进而用笔表示过桥人。一个人要能接连且不重复地走过七座桥，那么也就相当于不重复地一笔画出图形二。
接着欧拉指出：这是办不到的，因为连接每点的线都是奇数条（这时，点称为奇数点），而每通过顶点（入一次出一次）一次，要用去两条线（不可以重复），除了起点和终点。因此，一个图要能一笔画出，它的奇顶点就不能多于2个（没有或恰有2个奇顶点）。但图二的奇顶点的个数是4。因此，一笔画不出来，“七桥问题”无解。
欧拉运用了数学抽象的方法，成功地解决了这个问题，并由此产生了数学一个新的分支——图论。