数学教学应重视应用初中数学优秀教学论文选

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数学教学应重视应用初中数学优秀教学论文选
武 晓 锋
（呼和浩特市第六中学）
内容摘要：从数学的起源入手，阐述数学知识源于生活，源于实践。又用于现实生活，随着社会的发展，数学的地位日益提高，应用也越来越广泛。社会呼唤着应加大“数学应用”的力度。“应用”最重要的是教学思想的问题，即在教学中培养学生的应用意识，课程教材和评价只是实现应用过程的一个必不可少的环节，更重要的是在平时的教学中去实现。
关键词：数学教学；应用；数学模型。

    数学是研究空间形式和数量关系的科学，它起源于自然与经验，产生于实际应用的需求。数学的应用不仅包括人们常讲的用数学的结论，用数学的方法，用数学的思想，还包括用数学的语言，用数学的观念，用数学的精神。数学就自身发展来说，始终是理论与实践密切结合的一门科学。从课程教材改革的方向分析，数学的知识体系逐步趋于实践化，体现了数学教材源于实践，又回归实践的独特性，从社会对人才需求的特点分析，同样体现出数学在实践应用中的重要性，种种的趋向表明，数学在教学过程中应加强应用，重视应用。下面从不同的角度对这一观点做出进一步的分析。
一．浅谈数学概念的起源
数学的概念是从哪里来的？著名的数学家冯•诺依曼答曰：“数学的概念来源于经验。”数学的历史证实了诺依曼的回答是正确的。但他作为一名伟大的数学家从数学的本质特点——与自然科学和生活实际的联系出发做出了深刻的剖析。例如几何学，我们已经看到，他起源于自然与经验；古巴比伦人，古希腊人，古中国人和古印度人等，他们谁没看见圆圆的月亮和平静的水面，在生活中他们把石头打磨成各种形状的工具。尼罗河泛滥过后要从新丈量和划分土地等。于是人们就有了多边形多面体，圆和球等经验。在经过欧几里得的“数学语言化”便形成了数学的知识。再例如，牛顿的微积分起源于经验和自然科学，刘徽与祖日桓“其幂即等，则其积不容异”的等幂等积定理源于经验；阿基米德对圆柱及其内切球以及一个高与底半径等于球直径的圆锥的联合体的“切片平衡法”求得球体积的高明的力学方法也是积分的经验之源。虽然牛顿与莱布尼兹的微积分是在后来柯西，多尔斯特拉斯等给出的“ε-δ”，“ε-Ν”等极限，连续导数，微分，积分等严格定义之后，才融入数学领域，且具有数学意义下的高度抽象性和严格性。但我们可以从中得知，数学概念起源于实践。这势必决定在今后的数学领域中数学将广泛应用于实践。而教学作为其传播知识的重要途径也应重视其应用。
二．数学问题源于实践生活
众所周知的“棋盘放米问题”，便是源于生活的例子。传说古代印度有一个人发明了国际象棋，棋盘为64个方格，献给国王后，国王玩的很高兴，便问那人要何赏赐。那人说：“第一格一粒米，第二格两粒米，第三格四粒米，…，总之，每一格比前一格放米多一倍，我只要这么多米。”国王一听，认为这点米算不了什么，就满口答应了。却不料那人领米时，所有仓库的米也不够给他。请算一算，究竟要给他多少粒米？
这是一道等比数列求和问题，所需米粒数为：

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设原标价为a，各次讨价还价如下：
消费者还价（第一次）：      
商家讨价（第一次）：        
消费者还价（第二次）：      
商家讨价（第二次）：        
……                      ……
可见 和 是摆动数列 ，
      
故最终定价是原价的 而 ，故如商家按“黄金数”定价，加上讨价还价后，也还有接近 的利润，这对双方来说都是可以接受的。
通过简单模型的建立，处于商家与消费者之间的互利问题迎刃而解。又如，在抽签时总会有这样的顾虑：“抽签有先有后，对各人公平吗？”现用下例利用概率的知识进行具体分析。
例：在5张票中有1张奖票，5人按照排列的顺序从中各抽一张以解决谁得到其中的奖票，那么先抽还是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的结果）对各人来说是公平的吗？即：各人抽到奖票的概率相等吗？
显然，对第1个抽票者来说，他从5张票中抽1张奖票的概率 。
为了求得第2个抽票者抽到奖票的概率，我们把前2人抽票的情况做一整体分析，从5张票中先后抽出2张，可以看成从5个元素中抽出2个进行排列，它的种数是 ，而其中第2个抽到奖票的情况有 种，因此第1人未抽到奖票而第2人抽到奖票的概率 。
通过类似的分析可知，第3个抽到奖票的概率 。
如此下去，我们可求得第4个抽票者和第5个抽票者抽到奖票的概率也都是 。
一般地，如果在n张票中有1张奖票，n个人依次从中各抽1张且后抽人不知道先抽人抽出的结果，那么第i个抽票者（i=1，2，…n）抽到奖票的概率 即每个抽票者抽到的奖票的概率都是 ，也就是说，抽到奖票的概率与抽票的顺序无关。
如果在5张票中有2张奖票，5个人依次从中各抽1张，情况又如何，我们来分析一下：
显然，第1个抽票者抽到的概率是 ，下面来求第2个抽到奖票的概率，在前2个抽票者抽票的所有 种情况中，第2个抽票者抽到奖票的情况有 种。因此第2个抽票者抽到奖票的概率是 。
同理可求得以后各个抽票者抽到奖票的概率均为 。
一般地，假定在n张票中有2张奖票（n≥2），n个人依次从中各抽1张且后抽人不知道先抽出的结果。那么第i个抽票者（i=1，2，…n）抽到奖票的概率是 。                  
这表明：每个抽票者抽到奖票的概率都是 ，与抽票的顺序无关。
通过上述问题的分析，我们知道在抽签时顺序虽然有先有后，但只要不让后抽者知道先抽者抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，即：并未因为抽签的顺序不同而影响其公平性。人们心中的顾虑是多余的。
综合以上六方面的分析，我们会发现数学的应用十分广泛。而且将以更快地速度向其他领域渗透。作为传播数学知识的重要手段——教学，更应重视应用。
参考文献：
[1].沈文选，数学建模[M]，长沙：湖南师范大学出版社，1999.
[2].吴长江，高中数学应用性问题[M]，上海：上海大学出版社，2001.
[3].罗浩源，生活得数学[M]，上海：上海远东出版社，1997.
[4].弗赖邓塔尔，作为数学任务的数学[M]，陈昌平，唐瑞芬译，上海：上海出版社，1995.
[5].曹才翰，中学数学应用概论[M]，北京：北京师范大学出版社，1990.
[6].郑毓信，数学教育：从理论到实践[M]，上海：上海教育出版社，2001.
[7].全日制普通高级中学数学教科书（试验修订本•必修）北京：人民教育出版社，2000.
[8].王树东，数学思想史，北京：国防工业出版社；2003.

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四．数学在其他领域中的广泛应用
随着科学技术的发展和社会的进步，数学的这一重要基础科学迅速地向自然科学和社会科学的各个领域渗透。它不仅被用来解决我们日常的生产，生活和社会等领域中的各种各样的实际问题，而且也广泛的应用于科学技术，经济建设和国防建设中。数学化的家电系列，宇航工程，临床医学，市场的调查与预测，气象学等等，无不体现数学的广泛应用。简单的比如：“比的意义”讲完之后，我们发现自己身上的许多有趣的比：体重与血液之比大约为13：1，身高与脚长之比大约为7：1，知道了这些有趣的比，如你是公安人员，可凭借坏人的脚印估计到坏人的身高，有助于侦察破案。又如修建某扬水站时，从剖面图看到斜坡AC与水平面所成的角∠A可用测角器测出，水管AB的长度可直接量得，当水管铺到B处时，设B离水平面的距离为BC。如果你是施工人员，如何测得BC长？应该运用解直角三角形的知识解决。BC=AB•sinA(AB,∠A均已知)，类似的例子举不胜举。例如，运用统计的初步知识帮助交通管理人员分析解决十字路口的交通堵塞问题；运用概率的知识去分析总结计算现在热门的“福利彩票”中奖的几率（可能性）；运用运筹学的知识去解决一类平衡与不平蘅的货物运输问题等等。数学知识的广泛应用现已引起了广大师生的重视，应此教学过程中应用知识的渗透范围扩大，进一步加强数学教学中的应用。
五．教学过程中倾向应用
（1）课堂教学联系实际。我们过去的数学教学往往比较重视解答现有的数学问题，即课本上已经经过数学处理的问题，虽然能熟练的掌握各种题目的解题技能技巧。但一碰到实际生活却显得不知所措，在转变“应试教育”的现状下，教师也在追求教学与实际的相联系，注重其应用。如教轴对称图形后，有一位教师带领学生走出校门，到马路旁，让他们仔细观察，找一找生活中哪些物体是呈对称图形的，学生在观察中显得十分投入。有的说：“房子”，有的说：“汽车”，有的说：“蜻蜓”……学生把日常生活中每天看见的 但没有意识是对称图形的物体一一找了出来。学生的这种自觉的参与，大大丰富了他们对对称图形的认识和理解，也提高了教学质量。又如在《长方体和正方体体积》教学中，有的教师根据教材中的实物图，让学生观察了火柴盒，工具箱，水泥板和粉笔盒以后，立即提出问题，四个物体中哪个所占空间最大？哪一个所占空间最小？接着就概括出物体所占空间的大小叫做物体的体积等等。从实际生活中引入新课，有助于学生对知识点的理解，提高实际应用的能力。
（2）丰富的课外实践活动的开展。为了调试数学的枯燥乏味，教师也采取了多种措施。例如：数学的第二课堂，数学知识应用竞赛，数学兴趣小组等都是课堂教学的重要补充。从而激发了学生学习数学的兴趣。有助于教师更有效的完成教学任务。大力加强“数学课外实践应用”也是新课程体系下对数学教学的要求之一。
综上所述，数学教学是数学活动，教师要紧密联系学生的生活环境。将学生的生活与数学学习结合起来，让学生熟知，亲近现实的生活数学走进学生视野，使数学教材变的具体、生动、直观，使学生感悟发现数学的作用与应用：增强数学应用意识。
六．数学模型在实际中的应用
数学的应用实质上是数学和所研究的实际问题相结合的结果，是数学的语言应用到实际问题的过程。数学模型就是架于数学理论和实际问题之间的桥梁，是解决问题的重要工具。通过模型的组建，数学的语言被充分的应用，即把实际的问题抽象成数学问题。日常生活中应用数学模型解决的实际问题的例子相当多，现用下面的简单例子作以分析：
例：购物中心讨价还价问题。
在当前市场经济条件下，在商场、个体小商品市场，商品的标价a与实际价b之间存在着相当大的差距。对消费者而言，总希望这个差距越小越好，即希望比值 而对商家来说则希望λ＞1越大越好。这样就存在两个问题：一是商家应如何根据商品的实际价格来确定其标价a才合理？二是消费者根据商品的标价应如何与商家“讨价还价”。
个体商家的实际标价基础上很接近“黄金数”，即 约为0.618 ，对于消费者来说如何“讨价还价”才算合理呢？常见的方法是对半还价法：“即消费者第一次减去定价的一半，商贩第一次讨价则加上二者差价的一半，消费者第二次还价再减去二者差价的一半，如此等等”。直到达到双方都能接受的价格为止。
一般认为，这样讨价还价后的最终价格将是定价的黄金分割点，其实不然。下面通过建立模型定量分析上述“对半还价”的过程结果。

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类似的问题数不胜数，“马格尼兹基的数学生数问题”，“欧拉的卖鸡蛋问题”，“托尔斯泰问题”，“百钱百鸡问题”，“买马问题”等等，这无不说明数学知识源于生活，又应用于生活，将上述种种问题置于数学教学过程中，体现出教学应重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习数学和理解数学。从而更有效地应用数学，使学生切实体会到身边有数学，用数学也可以解决生活中的实际问题。
三．新课程体系下的数学教学
数学知识来源于生活实践，而获取数学知识的个体又将把它放到具体的生活情境中去实践和应用，以解决生活中的数学问题。在《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲》（试用修订版）前言部分就提到“数学是日常生活和进一步学习必不可少的基础工具，”在教学目的要求中提到“使学生感受数学与现实生活的 密切联系，培养学生观察和认识周围事物间的数量关系和形状特征的兴趣和意识，运用所学知识和方法解决一些简单的实际问题。”而对于数学教学内容的选择上则明确规定“小学数学要选择日常生活和进一步学习所必须的，学生能够接受的，最基础的数学知识作为教学内容。”对于枯燥而又繁琐的计算则进行了大量的删减，而对于日常生活中广泛用到的估算，应用题，统计知识等内容却得到了较大的丰富，还在新课程体系中新增加了富有情趣和意义的实践活动内容，重视了从学生的生活经验和已有知识中学习和理解数学。《全日制普通高级中学教科书-数学》的修订始终贯彻教育必须与生产劳动相结合，旨在进一步提高学生的思想道德品质，文化科学知识，审美情趣和身体心理素质，培养学生的创新精神，实践能力，适应社会生活的能力，促进学生全面发展。仅此可见，新课程体系中加强了数学教学与实践的密切联系，即重视其应用。
纵观数学教材及数学参考书，数学教学与生活得紧密联系也体现得尤为突出。
（一）教学内容及例题的产生大多密切联系生活，小学第一册数学教材开篇就是一幅反映新学期开始的图画，联系了学生新鲜的学校生活，其中的老师、学生、鲜花、树木、房屋、飞鸟等完全使一幅儿童身边的真实画卷，其中的人和物无不贯穿这1到10的数目，认识2则出现了两个小朋友做游戏的生活情景，学完10以内的加减法后设计的“数学乐园”为学生提供了几种贴近学生生活而又简便易行的活动，密切联系学生的生活实践，让学生在“乐中学，学中乐”，此时教学怎么能不去重视其应用，同样的思想与意识贯穿于整个基础教育的教材中，初中的教材常有“想一想”，“议一议”，“做一做”，“读一读，”“你知道吗？”等类以的字样映入眼帘，同时还附有相关内容的实物图片，高中的教材也增加了“阅读材料”“研究行课题”等模块的了解与学习，这些材料内容广泛，形式各异，图文并茂，有生动具体的现实问题，有让人着迷的数学史，有发人深思的悬念，也有尚未解决的各种实践问题，还有现代数学及其应用的最新发展等。下面以高中数学第一册（上）为例。作具体分析：
1．教学内容的选取
知识点：函数的应用举例。等差（比）数列及其通项公式。前n项和公式
研究性课题：数列在分期付款中的应用
教学目标：①能够运用函数的性质、指数函数、对数函数的性质解决某些简单的实际问题。②理解等差（比）数列的概念。掌握等差（比）数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的实际问题。
2．教学内容的处理
（1）正文：“2．2函数一节中”
例5．在国内投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g而不超过40g付邮资160分，依此类推。试建立平信应付邮资（单位：分）的函数关系，并画出图像。
这是几乎每个人在现实生活中都会遇到的问题，也即现实情境（问题情境）。建立函数关系式（数学模型）
（2）阅读材料：自由落体运动的数学模型。
（3）研究性课题：数列在分期付款中的作用。
（二）从练习作业设计上也充分体现了数学教学的应用程度在加强。如小学数学教材第一册在教完连加后第66页上设计了一道8分钱的思考题：有1分，2分，5分的硬币若干，让学生想一想，把不同的拿法一一列举出。初中教材九年级上册在学完“太阳光与影子”设计的一道实际操作题：“在太阳下摆弄立方体，观察立方体的影子，你得到的影子分别是几边行？”又如学习了长方形，锥体，柱体的认识后要求学生把生活中的实物与几何形状相联系起来等等。这类练习题的设计有助于培养运用所学知识解决实际问题的能力，同时也培养学生应用数学的意识。
纵观整个课程改革体系，我们不难发现，在数学课程，教科书中更加重视应用。强调数学课程教材中的应用。并不是仅仅通过“增加一些有用的教学内容。”“在例题和习题中增加一些应用题”，而是要在这种趋向下，在数学教学中强调与重视应用。正如著名数学家华罗庚所言：“人们对数学早就产生了枯燥乏味，神秘难懂的印象，成因之一便是脱离实际。”由此可见：如果脱离了生活中的应用而单一的进行数学教学，必将使学生失去学习数学的兴趣。