第二十二章一元二次方程教学设计

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第二十二章一元二次方程教学设计
教材内容
    1．本单元教学的主要内容．
    一元二次方程概念；解一元二次方程的方法；一元二次方程的应用题．
    2．本单元在教材中的地位与作用．
    一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程组》、《分式方程》等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法．学好一元二次方程是学好二次函数不可或缺的，应该说，一元二次方程是本书的重点内容．
教学目标
    1．知识与技能
    了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法；应用熟练掌握以上知识解决问题．
    2．过程与方法
    （1）通过丰富的实例，让学生合作探讨，老师点评分析，建立数学模型．根据数学模型恰如其分地给出一元二次方程的概念．
    （2）结合八册上整式中的有关概念介绍一元二次方程的派生概念，如二次项等．
    （3）通过掌握缺一次项的一元二次方程的解法──直接开方法，导入用配方法解一元二次方程，又通过大量的练习巩固配方法解一元二次方程．
    （4）通过用已学的配方法解ax2+bx+c=0（a≠0）导出解一元二次方程的求根公式，接着讨论求根公式的条件：b2-4ac>0，b2-4ac=0，b2-4ac<0．
    （5）通过复习八年级上册《整式》的第5节因式分解进行知识迁移，解决用因式分解法解一元二次方程，并用练习巩固它．
    （6）提出问题、分析问题，建立一元二次方程的数学模型，并用该模型解决实际问题．
    3．情感、态度与价值观
    经历由事实问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，使同学们体会到通过一元二次方程也是刻画现实世界中的数量关系的一个有效数学模型；经历用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的过程，使同学们体会到转化等数学思想；经历设置丰富的问题情景，使学生体会到建立数学模型解决实际问题的过程，从而更好地理解方程的意义和作用，激发学生的学习兴趣．
教学重点
    1．一元二次方程及其它有关的概念．
    2．用配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程．
    3．利用实际问题建立一元二次方程的数学模型，并解决这个问题．
教学难点
    1．一元二次方程配方法解题．
    2．建立一元二次方程实际问题的数学模型；方程解与实际问题解的区别．
教学关键
   1．分析实际问题如何建立一元二次方程的数学模型．
   2．用配方法解一元二次方程的步骤．
   3．解一元二次方程公式法的推导．
课时划分
    本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：
    22．1  一元二次方程              2课时
22．2  降次──解一元二次方程    4课时（直接开方法1、配方法1、公式法1、因式分解法1）
习题课                     1课时
22．3  实际问题与一元二次方程   3课时
小结                      1课时

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（把一元二次方程化成一元二次方程的一般形式时，常要利用去括号、移项、合并同类项等步骤，同时注意项与项的系数。在例２的学习中，主要考查一元二次方程的定义，可让学生说说自己的体会。）
四、课堂练习：
1、判断下列方程，哪些是一元二次方程（    ）
（1）x3－２ｘ2＋５＝０；　（２）ｘ2＝１；　（３） ；
（４）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）；（５）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１；（６）ax2＋bx＋c＝０
（提醒一下：判断一个方程是不是一元二次方程，首先要对其整理成一般形式，然后根据定义判断。）
２、（教材P32练习１）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。
（1） （2） （3） （4）



３、（教材P32练习２）根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式。
（1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x。
（2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x。
（3）把长为1的木条分成两段，使较短的一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长。
（4）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x。



（可让学生板演，完成后对照一下，教师可作简单点评。）
五、总结反思：（针对学习目标）
可由学生自己完成，教师作适当补充。
１、一元二次方程的定义要求的三个条件。要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围。
２、正确理解一般形式ax2＋bx＋c＝０（a≠0）．
３、如何将方程转化成一般形式。
４、学会由“一元一次”向“一元二次”推进，体验类比的数学思想。
【达标检测】
１、下列方程中不含一次项的是（      ）
（A）、 （B）、 （C）、 （D）、
2、若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则m的值是（   ）
（A）、1        （B）、-1         （C）、±1            （D）、±2
3、３ｘ2m-1＋10ｘ－１＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值应为：（　　）
Ａ、ｍ＝２　　　Ｂ、 　　Ｃ、 　　　Ｄ、无法确定
4、（教材P34习题２２.１第１题）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它们的二次项系数、一次项系数及常数项。
（２） 　　　　　　　　　　　　　　（４） 　　　　
解：                                            解：

（６
　解：


5、教材P34习题２２.１第２题：根据下列问题列方程，并将其化成一般形式。
（１）一个圆的面积是6.28m2，求半径（∏≈3.14）
解：

（２）一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积是9cm2，求较长的直角边的长。
解：

【拓展创新】
１、下列方程一定是一元二次方程的是（　　）
Ａ、ax2＋bx＋c＝０　　　　　　Ｂ、５ｘ2－６ｙ－１＝０　　
Ｃ、ax2－ｘ－２＝０　　　　　　Ｄ、（ａ2＋１）x2＋ｂｘ＋ｃ＝０
２、（中考题）若方程（ｍ＋２）ｘ︱m︱＋３ｍｘ＋１＝０是关于ｘ的一元二次方程，则ｍ的值为：（　　）
A、ｍ＝±２　　　　B、ｍ＝２　　　　Ｃ、ｍ＝－２　　　　Ｄ、ｍ≠±２       
３、已知关于ｘ的方程（２ｍ－１）x2－ｍｘ＋（ｍ＋２）＝０
（１）ｍ为何值时，此方程是一元一次方程？
（２）ｍ为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。



【布置作业】
教材P34习题２２.１第１题（１）、（３）、（５）第５、６、７题

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一元二次方程测试题               2课时

作本章教学案时   流程：
学习目标→学习过程→达标检测→拓展创新→布置作业
学习过程: 温故知新（创设情景）、自主学习（交流点拨）、典型例题、巩固练习、总结反思（针对学习目标）
思考：
1，制定切合实际的学习目标
2、自主学习中问题设计要合理，要符合学生自学要求。“问题”尽量不易过大、过深，要让学生易懂，便于思考。            “空”
3、在自学的基础上，教师要参与学生学习，与学生交流，及时掌握学生自学情况，必要时作释疑点拨。
4、典型例题要分析，要过程，要总结。
5，课堂训练、达标检查、拓展创新选题要精，要具有代表性。
6，课堂总结反思。

“因学施教、三三达标”九年级数学简明学案
22.1一元二次方程（第1课时）
【学习目标】
1、        理解什么是一元二次方程及一元二次方程的一般形式。
2、        能将一元二次方程转化为一般形式，正确识别二次项系数、一次项系数及常数项。
3、        会依据简单的实际问题列一元二次方程并将其转化为一般形式。
【学习过程】
一、温故知新：
1、观察方程：2x=1；3x+2=x-4;2(x+2)-3(x-1)=0它们都含有　　　个未知数，并且未知数的最高次数是　　，这样的整式方程叫做一元一次方程。
２下列方程哪些是一元一次方程（　　　）
（１）        ５ｘ＋３＝０，（２）２ｘ＋ｙ＝３，（３） ，
（４） 　；　　　（５）ｘ2－２ｘ＋１＝０
（此两题为口答题，复习一元一次方程的定义，旨在对比学习一元二次方程，对第２题（５）可设疑，培养学生继续探究的兴趣。）
二、自主学习：
自学课本Ｐ30---P31思考下列问题：
1、        在教材中两个问题得出的两个方程有什么共同点？未知数的个数和最高次数各是多少？
2、        什么叫一元二次方程？类比一元一次方程的概念，一元二次方程概念中的关键词是什么？举例说明。
3、        一元二次方程的一般形式是什么？为什么规定a≠0？对b、ｃ有什么要求吗？
4、        对一个一元二次方程是怎样转化成它的一般形式的？并说出它的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数？
5、        若方程ax2+bx+c=0中a＝０、ｂ≠0，则它是你学过的哪一类方程？
交流与点拨：
１、强调一元二次方程定义中的三个条件：（１）是整式方程（２）含有一个未知数（３）未知数的最高次数是２，三个条件缺一不可。
２、对第４个问题中回答“项或系数”时一定要连同符号。
３、让学生体会类比一元一次方程。
三、例题学习：
例１（教材P31例题）
将方程３ｘ（ｘ－１）＝５（ｘ＋２）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。


例２、若关于ｘ的方程（ｋ＋３）ｘ2－ｋｘ＋１＝０是一元二次方程，求ｋ的取值范围。