由一道数学竞赛题而引发的思考

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　原题：如图1所示，AOB是单位圆的四分之一，半圆O1的圆心在OA上且与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心在OB上且与弧AB内切于点B，半圆O1和半圆O2相外切，设两半圆的半径之和为x，面积之和为y。
〈1〉试建立以x为自变量的函数y的解析式；

〈2〉求函数y的最小值。

（2000年山西省太原市数学竞赛试题）

　　　　　　



解：〈1〉设两圆的半径分别为R、r，由题设可知x = R + r，而y =π（R2 + r2）/2 …（1）


在图1中，显然有（R + r）2 =（1-R）2 +（1 - r）2→x2 = 2-2x + R2 + r2，结合（1）得：y =π（x2 + 2x - 2）/2

〈2〉将y =π（x2 + 2x - 2）/2变形为y =π[（x+1）2
- 3]/2
…（2）

下面我们来探讨R + r（即x）的取值范围：

（i）如图2所示，当R最大（即Rmax=0.5）时，r则最小，此时由勾股定理可得：

（0.5 + r）2 =（1-0.5）2
+（1 - r）2→r=1/3 ， 即rmin=1/3，

那么这时所得x=0.5+1/3 =5/6

而当r最大（即rmax=0.5）时，R则最小，Rmin=1/3，这和上面所得x的值是一样的，即此时x=5/6；

（ii）R=r时，此时由勾股定理可得：（2R）2 =2（1-R）2 →R=

那么这时所得x=2（）

因为5/6大于0.83，而2（）小于0.829，所以5/6比2（
）要大，于是，我们初步判断当x=2（
）时，函数y取得最小值，那么将x=2（
）代入解析式（2）就可以得到函数y的最小值ymin=π（）

接下来，我们来证明x的最小值是2（）：我们已经知道x2 = 2-2x + R2 + r2，再结合r = x- R 可得：R2–xR–xR+1=0，对于这个关于R的二次方程，显然有△≥0，即x2 +4x–4≥0 → （x+2）2 ≥8

→x≥（因为x为非负数），即x的最小值是2（）。

当然，我们也可以运用比较法来迅速地判断出“x≥”：

首先，我们把上面的“R2–xR–xR+1=0”变形为x=（R2 +1）/（R+1）……（Ⅰ）

而（R2 +1）/（R+1）-（）=[R2 -2（）R+3-]/（R+1）


=[R2 -2（）R+（）2]/（R+1）



=[R-（）]2/（R+1）

我们也可以将上述变形作如下处理：

（R2 +1）/（R+1）-（）=（R2 +2R+1-2R-+2）/（R+1）


=[（R+1）2 -2（R+1）+2]/（R+1）


=（R+1-） 2/（R+1）

=[R-（）]2/（R+1）

考虑到（R+1）＞0可以知道：[R-（）]2/（R+1）≥0，再结合（Ⅰ）可知x-（）≥0，即x≥
x≥

解罢本题，不禁引发了我们的以下思考：

第一，   如何仅运用直尺（无刻度）和圆规正确地作出图1？

第二，   对于本题，函数y是否存在最大值？若存在，则如何求得该最大值？若不存在请说明理由。


针对第一问，笔者给出这样的作图方法：如图3所示，先以O为圆心作出四分之一单位圆OAB，在OB上取适当[ 因为由（i）可知1/3≤r≤1/2]的点O2，以O2为圆心画⊙O2，过O2作OB的垂线交⊙O2于点K，连结AK交⊙O2于点M，则直线O2M与OA的交点就是⊙O1的圆心O1，最后以O1为圆心、以A O1（或MO1）长为半径画半圆O1即可。


简单说明：不难知道△O2MK是以O2为顶点的等腰三角形，而△O2MK∽△O1MA，所以我们就知道△O1MA是以O1为顶点的等腰三角形，那么所作出的图形是满足题意的。

针对第二问，我们的回答是肯定的。其实，我们从上述解答〈2〉中已经知道x1=5/6及x2=2（）是R在两种特殊情况下所取得的x的值，并且又很容易判断出5/6大于2（），而当x=2（）时，函数y取得了最小值，那么我们有理由相信当x=5/6时，函数y取得最大值。简证如下：

同样，我们把上面的“R2–xR–xR+1=0”变形为x=（R2 +1）/（R+1）……（Ⅰ）

因为由（i）可知1/3≤R≤1/2，所以有（2R-1）（3R-1）≤0 →6R2–5R+1≤0 →

6+6R2 -5–5R≤0 →6（R2 +1）–5（R+1）≤0 → （R2 +1）/（R+1）≤5/6，结合（Ⅰ）可得：x≤5/6，所以当x=5/6时，函数y取得最大值，于是将x=5/6代入解析式（2）就可以得到函数y的最大值ymax=13π/72。

另外，关于x≤5/6，我们仍然可以运用比较法来迅速地给出证明：

因为（R2 +1）/（R+1）-5/6 =（6R2 -5 R +1）/6（R+1）

=（2R-1）（3R-1）/6（R+1）


而由1/3≤R≤1/2可知（2R-1）（3R-1）≤0，而6（R+1）＞0，所以我们可以得到：（2R-1）（3R-1）/6（R+1）≤0，结合（Ⅰ）可得：x-5/6≤0，即x≤5/6