一道例题复习的四步曲

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数学学习过程是一个不断地探索和思考的过程。在数学教学中，是单纯地给学生现成的知识，还是为学生创设一定的问题情景，使学生有更多的机会去探索和思考，以便发挥其潜在能力，这是数学教学改革的核心问题，一般地说，数学教科书中的例题是学习的范例，学生要通过例题的学习，了解例题所代表的一类知识的规律和理解方法。但这并不是说，只要学生学会了书本上的例题就可以自然而然地解决与之相似的问题。要能举一反三，就还需要学生有一个深入思考的过程，甚至要经过若干次错误与不完善的思考，这样才能达到一定的熟练程度。这更需要学生把书本上的知识内化为自己的知识。而教材又是重要的教学资源，我从开发教学资源的效益考虑，开放教材例题，使例题更富有课改气息，更富有挑战性，也激活了教材。　　一、
复习巩固：
　　现在就（人民教育出版社出版的八年级上册《数学》）第131页探究进行剖析：
　　如图14.2—8（1），要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气。泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

    

思路分析：若A、B两点在直线a的异侧，同学们能很自然地想到连结AB，交点即为所求作的点。但因为本题中A、B两点位于直线a的同侧，如何将之转化为异侧呢？易联想到全等三角形之中的“翻折”—“轴对称”。若作出其中任意一点A，A（或B）关于直线a的对称点A′（或B′），交直线a于点M，则有MA=MA′（MB=MB′），故依次转化就可解答此题。
作法：如图2：（1）作A点关于直线a的对称点A′；（2）连A′B，交直线a于M点。则M点就是所求作的点。
证明：如图3：在直线a上任取一点N，连结AN、BN、A′N、AM。
因为A、A′两点关于直线a对称，所以AM=A′M，A′N=AN。
在△A′BN中，BN+A′N＞A′B，所以AN+ BN＞AM+BM。即AM+BM最小。
点评：对于这样的极值问题，学生虽已接触，但难度较大，主要在两个方面。一是遇到要找出某条线段（或线段的和）最短，无从下手，再就是证明中要另选一点，学生想不到，不会用。教学时老师要注意解决好这两个难点问题。
　　二、旁敲侧击：
　　如图1在平面直角坐标系中，已知两点A（1，2），B（3，4），P为x轴上一点，且点P到A、B两点的距离和最短，你能求出点P的坐标吗？

   

思路分析：因为点P到A、B两点的距离和最短，根据例题可知P点在经过A点的对称点A′和点B的直线上，并且是直线与X轴相交的交点，怎样求点P的坐标，就转化成一次函数的内容去解决。结合例题把问题进行了转化。
解法：因为点A（1、2）关于X轴对称点的坐标为A′（1，-2），
　　　　　　设过A′、B的解析式为y=kx+b，∴  解之得  ∴y=3x-5
　　　　　　则直线y=3x-5与x轴的交点坐标为（，0）。
点评:此题除了与例题有关外,还与点关于坐标轴对称点的坐标的特点和一次函数的内容有关。只有通过前后知识的结合，才能顺利完成这道题，所以考查学生综合运用知识的能力。
　　三、例题拓展：
　　如图1所示，河的同侧有A、B两个村庄，要把A处的产品运往B处，并规定要走a千米的河岸路，要使路线最短，问河边码头应建在何处？

     

指点迷律：如图2所示，设码头分别为M、N，则从A到B的路线为AMNB，不妨假设先走河岸路，沿河岸方向将A平移A′，使A A′=a，作B关于河岸L的对称点B′，连接A′B′与岸L交于点N，再将A′N平移回AM，则AMNB的长为满足条件的最短路线。显然，沿L平移B到B′，使B B′=a，类似地可得建码头的另一种方案。
解：如图3所示。作法：1。过点A作AE∥L，在AE上截取A A′=a；2。作点B关于L的对称点B′，连接A′B′，交L于点N；3。过A点作AM∥A′B′，交L于点M。则点M、N即为所求。
探究交流：本题涉及了两种变换，即平移变换和轴对称变换，其实质是相等的边或角之间的转化，本题运用了一种探究问题的方法，先假设图形已作出，探究出解题思路后，再去解题。
四、例题应用：
　　某同学打台球，想通过击主球，使主球B撞击桌边MN后返回击中彩球A，请在图上标明，使主球B撞在MN上，哪一点才能达到目的？

思路分析：设主球撞击后与MN交于P点，为使反弹后击中A球，必有∠APM=∠BPN，为此，只要作B关于MN的对称点B′，连接A B′与MN交点即P点。
作法：作主球B关于桌边MN的对称点B′，连接A B′交MN于点P，点P即为所求作的点。
点评：本题是实际问题，但如何把实际问题转化为几何问题是解决这个问题的关建，这就考查如何运用例题的能力。
例题的作用不单是知识点的示范应用,有大量潜在的数学功能需要开发,挖掘这些潜在功能的过程,正是学生获得知识和技能的关键。通过提出问题和解决问题,扩大解题的“武器库”,进行这方面的诱导和培养,可以激发学生的学习兴趣, 培养和提高学生的探索能力和创新精神。