有效是底线也是教学的价值追求

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　■北京第二实验小学 施银燕

　　这是个有点极端但一定不陌生的案例：

　　[案例1]

　　教学除法时，教师首先提出了这样的问题：“每个书包11元，32元可以买几个这样的书包？”算式为32÷11=2……10，答案是可以买2个这样的书包。这时，有学生提出32元可以买3个这样的书包，其理由是买多了可以与售货员讨价还价，还有学生提出可以到别的商店去买。于是讨论各种买包方案成了这节课的高潮。

　　反思：这样的课堂是对开放的表面化理解和误读。新课程要求对学生开放，但绝对不是放任学生；新课程还要求数学向生活开放，但不意味着数学可以没有规则，无所谓对错。近年来随着对许多开放课堂的反思和质疑，课堂教学的有效性也被再次强调。

　　这是个离我们有些遥远但却耐人寻味的案例：

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[案例2]

　　“体积的问题”一课中，教师把教材中一道很普通的习题“长18厘米，宽13厘米的长方形纸，四个角各剪去一个边长4厘米的正方形，围成一个无盖的长方体，求这个长方体的体积”改编成一个开放式的问题：“剪去边长为多少的正方形后围成的长方体体积最大？”整节课学生在教师的带领下饶有兴趣地探求，给听课老师留下了深刻的印象。但课后教师提出的问题，迷倒了好几位听课老师：“算到小正方形的边长是2.484厘米和2.485厘米时，又出现了并列第一——260.00778立方厘米，算到小数点后面第四位，边长是2.4845厘米时，它的体积比260.99778立方厘米仅多0.00001立方厘米。这是为什么？”听课老师都倍感奇妙，有的还猜测这个结果与黄金分割数是否有关联。

　　反思：其实这个问题只要把长方体的体积（V）表示成小正方形边长（x）的函数，解方程即可。让我吃惊的是年轻一代的数学教师或多或少都接触过高等数学，但面对这么一个典型的极值问题居然连最基本的相关概念都无法唤醒。这里我无意谈数学教师的专业素养问题，而是因之联系到自己每天从事的教学：当我的学生离开了学校，扔掉了课本，忘掉了老师，在数学课堂中学到的曾经认为重要的东西还能留下多少？

　　由此，关于课堂教学的有效，我们似乎还不能单一地从某个知识点或某一技能的暂时达成与否来衡量。事实上，儿童的语言也许仅仅是表面的模仿和重复，他们的大脑里究竟改变了些什么才是我们最需要关心的。

　　有效，不再是那么容易就能达到的底线，而应该成为我们追求的目标。追求有效，就不能把本来和谐统一的内容分裂开，然后各部分再机械地相加。比如有效和开放，公开课“开放”，随堂课“有效”，这么做各自都变了味，前者无效，后者也因追求考试的有效而走向另一个极端。再比如：“四基”——基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。当我们持这样的观点，我们就不会人为分割“四基”，不会让学生在反复的计算操练中忘却了运算的意义，不会空对空地讲些玄而又玄的思想。

　　下面是一个谈不上完美但追求有效与开放统一的成功案例：

　　[案例3]

　　师：落日、年轮、老鼠洞、涟漪。你能找到藏在这4个词背后那个相同的词吗？

　　（生普遍有困难，师出示4幅图片）

　　生恍然大悟。

　　生1：圆！

　　生2（纠正）：近似的圆。

　　师：是的，自然界的植物、动物甚至无生命的都不约而同地选择了圆。难怪有人说“圆是非智慧图形”。当然，就像刚才同学们所说，这些圆只能说是近似的、大概的。那么用上什么工具，就可以做出一个标准的圆了？

　　生3：圆规。

　　师：给你圆规，会画圆吗？

　　（生3画圆，其他学生纠正）

　　师：看着这个圆，和我们以前学习的其他图形有什么不同？

　　（曲线图形，直线图形）

　　师：但是，圆这个曲线图形，和这些直线图形，它们都是——平面图形。大家知道，平面上最基本的元素是点，点动形成了线。研究圆这个图形，我们就从点和线开始。先来看点。圆上有无数个点，圆内也有无数个点。在这无数个点里，你觉得哪个点最重要？把它点出来！“聪明的脑袋瓜是相似的”，我们都选择了圆中心的这个点。的确，这个点不同一般，它还拥有自己的名字：圆心。圆心一般用字母O表示。以前我们学过的图形也有中心，地位却没这么重要过。你看，正方形的中心，我们也不给它取个名字叫方心什么的。圆心，究竟特别重要在哪里？

　　学生讨论。

　　生1：画圆时圆规针尖固定的地方。

　　生2：与圆上任何一点的距离都相等。

　　师：他说“圆心与圆上任何一点的距离都相等，”这是什么意思？你们同意吗？

　　生3：是相等的，因为这个距离都等于圆规两脚间的距离。

　　生4：因为把圆心固定了，旋转任何角度以后圆都与原来的图完全重合。

　　师：我很高兴，同学们在判断这个距离是不是真的都相等，都是在用自己的大脑去想、去推理的。再来看线——把你认为特别的、重要的线段画出来！

　　这节课，把圆的特征蕴含在“找出圆中重要的点和线，为什么说它重要？”这个十分开放的大问题中，开放但学生回答却不离谱的原因在于有内在的逻辑保障：圆心是唯一的，而其他点都可以找到与其地位平等的许多点。在对这个问题的探究中学生感悟到“研究平面图形就从点和线开始”这一可广泛迁移的方法，还能渗透“化高维为低维，化复杂为简单”的思想，不失为一个成功案例。