2013年2月25日小学五年级寒假奥数题《计数问题》天天练习及答案

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【计数问题】　　 1．难度：★★★
　　 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？

　　2．难度：★★★★
　　在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？

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【答案解析】　　1、
　　注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．
　　第1步：找对应图形  每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．
　　第2步：明确对应关系　从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．
　　第3步：计算对应图形个数  由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，
　　第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．
　　评注：通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．

　　

2、

【分析】 首先可以知道题中所讲的1×3长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．
下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的1×3长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个1×3长方形．
由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有18×2+12=48个这样的长方形．
本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个1×3长方形，所以棋盘上横、竖共有1×3长方形6×8×2=96个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96÷2=48个．