小升初专题讲座

彭庙

第一讲  行程问题
走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：
距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；
速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；
时间行走或移动所花时间.
这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
距离=速度×时间
很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如
总量=每个人的数量×人数.
工作量=工作效率×时间.
　　因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.
　　当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.
　　这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米
1.1  追及与相遇
　　有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，
　　甲走的距离-乙走的距离
　　= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
　　=（甲的速度-乙的速度）×时间.
　　通常，“追及问题”要考虑速度差.
　　例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
　　解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.
　　此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时，因此
　　所用时间=9÷6＝1.5（小时）.
　　小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是

　　面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.
　　城门离学校的距离是
　　48×1.5＝72（千米）.
　　答：学校到城门的距离是72千米.
　　例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？
　　解一：可以作为“追及问题”处理.
　　假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是
　　50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）?
　　因此，小张走的距离是
　　75× 20＝ 1500（米）.
　　答：从家到公园的距离是1500米.
　　还有一种不少人采用的方法.
　　
　　家到公园的距离是

　　一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.
　　例3 一辆自行车在前面以固定的速度行进，有一辆汽车要去追赶.如果速度是30千米/小时，要1小时才能追上；如果速度是 35千米/小时，要 40分钟才能追上.问自行车的速度是多少？
　　解一：自行车1小时走了
　　30×1-已超前距离，
　　自行车40分钟走了

　　自行车多走20分钟，走了

　　因此，自行车的速度是

　　答：自行车速度是20千米/小时.
　　解二：因为追上所需时间=追上距离÷速度差
　　1小时与40分钟是3∶2.所以两者的速度差之比是2∶3.请看下面示意图：

　　马上可看出前一速度差是15.自行车速度是
　　35- 15＝ 20（千米/小时）.
　　解二的想法与第二讲中年龄问题思路完全类同.这一解法的好处是，想清楚后，非常便于心算.
　　例4 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
　　解：画一张简单的示意图：

　　图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
　　8-4＝4（千米）.
　　而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
　　这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
　　但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了
　　4＋12＝16（千米）.
　　少骑行24-16＝8（千米）.
　　摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.
　　8＋8＋16＝32.
　　答：这时是8点32分.
　　下面讲“相遇问题”.
　　小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么
　　甲走的距离+乙走的距离
　　=甲的速度×时间+乙的速度×时间
　　=（甲的速度+乙的速度）×时间.
　　“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.
　　例5 小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？
　　解：走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段，小张花费的时间是
　　36÷（3＋1）＝9（分钟）.
　　答：两人在9分钟后相遇.
　　例6 小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地，每小时步行4千米.两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，求甲、乙两地间的距离.
　　解：画一张示意图

　　离中点1千米的地方是A点，从图上可以看出，小张走了两地距离的一半多1千米，小王走了两地距离的一半少1千米.从出发到相遇，小张比小王多走了2千米
　　小张比小王每小时多走（5-4）千米，从出发到相遇所用的时间是
　　2÷（5-4）＝2（小时）.
　　因此，甲、乙两地的距离是
　　（5＋ 4）×2＝18（千米）.
　　本题表面的现象是“相遇”，实质上却要考虑“小张比小王多走多少？”岂不是有“追及”的特点吗？对小学的应用题，不要简单地说这是什么问题.重要的是抓住题目的本质，究竟考虑速度差，还是考虑速度和，要针对题目中的条件好好想一想.千万不要“两人面对面”就是“相遇”，“两人一前一后”就是“追及”.
　　请再看一个例子.
　　例7 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.
　　解：先画一张行程示意图如下

　　设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.
　　下面的考虑重点转向速度差.
　　在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点
　　（或E点）相遇所用时间是
　　28÷5＝ 5.6（小时）.
　　比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.
　　甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是
　　12÷0.4＝30（千米/小时）.
　　同样道理，乙的速度是
　　16÷0.4＝40（千米/小时）.
　　A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
　　答： A，B两地距离是 420千米.
　　很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.
　　例8 如图，从A到B是1千米下坡路，从B到C是3千米平路，从C到D是2.5千米上坡路.小张和小王步行，下坡的速度都是6千米/小时，平路速度都是4千米/小时，上坡速度都是2千米/小时.

　　问：（1）小张和小王分别从A， D同时出发，相向而行，问多少时间后他们相遇？
　　（2）相遇后，两人继续向前走，当某一个人达到终点时，另一人离终点还有多少千米？
　　解：（1）小张从 A到 B需要 1÷6×60＝ 10（分钟）；小王从 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60＝ 25（分钟）；当小王到达 C点时，小张已在平路上走了 25-10＝15（分钟），走了

　　因此在 B与 C之间平路上留下 3- 1＝ 2（千米）由小张和小王共同相向而行，直到相遇，所需时间是
　　2 ÷（4＋ 4）×60＝ 15（分钟）.
　　从出发到相遇的时间是
　　25＋ 15＝ 40 （分钟）.
　　（2）相遇后，小王再走30分钟平路，到达B点，从B点到 A点需要走 1÷2×60=30分钟，即他再走 60分钟到达终点.
　　小张走15分钟平路到达D点，45分钟可走

　　小张离终点还有2.5-1.5=1（千米）.
　　答：40分钟后小张和小王相遇.小王到达终点时，小张离终点还有1千米.

jinjin4000

帖子太棒了

tgcs100

内容充足丰富，感谢楼主分享~

你知道我是谁吗

内容里面带图表的，不能下载，就没有办法使用，，

heyf

彭庙 发表于 2009-1-5 14:13
第八讲 比和比例关系
比和比例，是小学数学中的最后一个内容，也是学习更多数学知识的重要基础.有了“比” ...

ho

nzj888

FG

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