北师大版八年级上册数学第二章实数导学案讲学稿

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（二）实数:
无理数的定义：                          
实数的定义：                           
实数与       上的点是一一对应的。
练习：1、判断下列说法是否正确：
1.实数不是有理数就是无理数。   （      ）

2.无限小数都是无理数。         （      ）
3.无理数都是无限小数。         （      ）
4.带根号的数都是无理数。       （      ）
5.两个无理数之和一定是无理数。 （      ）
6.所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，
数轴上所有的点都表示有理数。   （     ）
7.平面直角坐标系中的点与有序实数对之间是一一对应的。（     ）
2、把下列各数中，有理数为                        ；无理数为                    
(相邻两个3之间的7逐渐加1个)
㈢实数的有关运算

1、计算




2、解方程（1）              （2）   




【知识提高】
1、已知 ， ，（1）        ；（2）        ；
  （3）0.03的平方根约为        ；（4）若 ，则        
练习：已知 ， ， ，求（1）       ；
      （2）3000的立方根约为      ；（3） ，则        
2、若 ，则 的取值范围是         
3、已知 位置如图所示，

试化简 ：（1）   



（2）




4、已知 的小数部分为 ， 的小数部分为 ，则        【当堂反馈】
1、下列说法正确的是(    )
A、 的平方根是     B、 表示6的算术平方根的相反数
C、 任何数都有平方根     D、 一定没有平方根
2、若 ，则         
3、若 ，则 的取值范围是        ； ，则 的取值范围是   
4、已知 ，求 的平方根



5、已知等腰三角形的两边长 满足 ，求三角形的周长

6、如果一个数的平方根是 和 ，求这个数




（选作）
1、若 为实数，则下列命题正确的是（   ）
A、         B、
C、        D、   
2、已知 ，求 的值。


总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在                    

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4.用立方根的定义解方程
⑴（x-2）3=27           ⑵［2（x+3）3］=512
［归纳几种运算规律］
㈠∵    =             =               =      
=            =             =      
∴  =            
有关练习：
1. =               =      
2.如果 =a-3，则a           ；如果 =3-a,则a         

∵（ ）2=           （ ）2=           （ ）2=      
∴ =               (a≥0)
由上述计算可知，当满足           条件时， =
㈡ ∵    =             =              =        
         =           =           =      
∴ =                  ；
有关练习：化简：当1＜a＜3时，  +


∵  （ ）3=          （ ）3=          （ ）3=      
∴ =                  
由上述计算可知，当满足           条件时， =
［课堂综合练习］
1.  9的算术平方根是（     ）
   （A）± 3   （B）3     （C）－ 3     （D）
2.化简 =（    ）
（A）2   （B）4     （C）－ 2   （D）－ 4
3.化简 =        
4.下列各式正确的是（     ）
（A） =-3 （B）  =±10  （C） =  （D） =26-10=16
5.  49的平方根是      ， 的平方根是       ，（-4）2的算术平方根是      
6.已知b是a的一个平方根，那么a的平方根是      
7.  的平方根是±2，则a=        
8. 的立方根是        ， 的立方根是        的平方根是     
9.若m＜0，则m的立方根是        
（A）    （B）－    （C）±    （D）
10.下列语句不正确的是（     ）
（A）  没意义       （B） 没意义
（C）－（a2+1）的立方根是    （D）－（a2+1）的立方根是一个负数
11.若a是（-3）2的平方根，则 等于（     ）
（A）－3   （B）    （C） 或－   （D）3或-3
12.若1＜a＜3，化简 －



总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在                    
方面表现不够，以后要注意的是：                                   总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。


实数复习(2)         
【复习目标】 1.通过复习学生能够准确掌握数的开平方、开立方运算。
              2.通过复习学生能充分理解实数的概念及分类。
              3.增强学生进行实数运算的能力。
【学习重点】：数的开方运算和实数的概念
【学习难点】：实数的计算
【学习过程】
［知识结构］
乘方 开方     
［知识回顾］（一）数的开方：
算术平方根的定义：                                                            
平方根的定义：                                                                 
平方根的性质：                                                                 
立方根的定义：                                                                  
立方根的性质：                                                                 
练习：1、—8是    的平方根；     64的平方根是      ；            ；
—64的立方根是      ；           ；     的平方根是       。
      2、大于 而小于 的所有整数为                                 
3.几个基本公式：（注意字母 的取值范围）
=                               ；    =                           
=                  ；  =                   ；  =               
应用：1.  取何值时，下列各式有意义
（1）  ：          ；（2） ：         ；（3） ：         
；  

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2.一个直角三角形的两条直角边长分别为  cm和  cm，求这个直角三角形的面积.




四总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在                    
方面表现不够，以后要注意的是：                                      
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。

实数（三）
学习目标：
1. 公式 （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）从右往左的运用．
2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．
重点
1.两个法则的逆运用.
2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。
难点
灵活地运用法则和逆用法则进行实数的运算.
学习过程
一、复习引入
下面正方形的边长分别是多少？



这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？



二、知识探究
探究（一）：
1．能否根据上一课时探究的公式： （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）．将 化成 ？


2. 巩固练习：
化简：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ．






3.反思：以上化简过程有何规律呢？
探究（二）:
1. 议一议：  怎样化简呢？

2. 练习：化简： ．

3.反思：被开方数含有分母，常用的化简方法是什么？

4. 小结归纳：
带根号的数的化简要求：
（1）使被开方数不含开得尽的数；
（2）使被开方数不含分母．
5. 运用
自学课本例2
三、知识巩固
化简：（1） ；（2） ；（3） ．


四、知识拓展
化简：（1） ；     （2） ；     （3） ；
（4） ；   （5） ；    （6） ．






五、课堂测试
1．计算  的结果是 (    )
A. 2              B. 0             C. -3         D. 3
2．化简：
① ；      ② ；       ③ 。



3．已知  。

六、课堂小结
（1）被开方数中含有        或者含有          的式子需要化简；
（2）公式 （a≥0，b≥0）， （a≥0，b＞0）从左往右或从右往左在化简中会灵活运用．
七、总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在                    
方面表现不够，以后要注意的是：                                   总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。
实数复习（1）
【复习目标】
1.进一步掌握平方根、立方根的有关概念、表示方法和性质。
2.能熟练地进行开平方和开立方运算，掌握几种基本公式
3.增强用数形结合方法分析问题的能力
【学习重点】平方根、立方根的性质和运算
【学习难点】几种基本公式的掌握
【学习过程】［知识点回顾］
㈠算术平方根
1. 的算术平方根为（     ）
算术平方根的定义：                              
2. － 有算术平方根吗？8的算术平方根是－2吗？
算术平方根具有          性，即⑴被开方数a     0，⑵ 本身       0，必须同时成立
㈡平方根
1. 49的平方根是       ，算术平方根是        ，它的平方根可表示为         
2.快速地表示并求出下列各式的平方根
⑴1         ⑵|－5|           ⑶0.81                        
平方根的定义：                                            
3.用平方根定义解方程
⑴16（x+2）2=81               ⑵x2-225=0
㈢立方根
1. －8的立方根是        ，表示为            
立方根的定义：                        
2.说出下列各式表示的意义并求值：
⑴ =           ⑵－ =        
⑶ =              ⑷（ ）3=         
3.如果 有意义，x的取值范围为           
立方根的性质：                           
                                            
                        

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按正负分类：
实数
有理数和无理数的区别：把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数或无限循环。
与有理数一样,实数a的相反数是-a;  一个正实数的绝对值是它本身, 一个负实数的绝对值是它的相反数, 0的绝对值是0;     非零实数a与   互为倒数.   写成式子形式为  请第一组出数, 其它人说出它的相反数. 绝对值和倒数)
a=     
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表 示, 反过来, 数轴上的每一个点都可以表示一个实数,即实数和数轴上的点是一一对应关系.
实数大小的比较: 有理数大小的比较法则在实数范围内仍适用: 数轴上任意两点, 右边点所表示的实数总比左边的点所表示的实数大; 正数大于0, 0大于负数, 正数大于一切负数, 两个负数比较大小, 绝对值大的反而小.
  常见的无理数：（1）开不尽的方根： 等  （ 不是）
              （2） 及含 的数： 、 等
              （3）不循环的无限小数：0.1010010001…
(1)有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，例如5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数，例如12=0.5(有限小数)，13=0.3(无限循环小数).
(2)无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如2，33等，也有π这样的数.
二、提高练习：
1判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
　　(1)无理数都是开方开不尽的数.(　　)
　　(2)无理都是无限小数.(　　)
　　(3)无限小数都是无理数.(　　)
　　(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.(　　)
　　(5)不带根号的数都是有理数.(　　)
　　(6)带根号的数都是无理数.(　　)
　　(7)有理数都是有限小数.(　　)
　　(8)实数包括有限小数和无限小数.(　　)
2填空题
1.— 的立方根是______， 的平方根是________.
2. 的相反数是_______,绝对值等于 的数是________.
3.满足— <x< 的整数x是___________.
4. 是 的_______倍.
5.已知 = —16.52， =1.652，则x=_________.
6.用“<”或“>”号连接下列各数：
（1）—  _____ —4.2 ; (2) — _____ —3  ；（3） _____ .
7.若一个正数的平方根是2a—1和—a+2 , 则a=______, 这个正数是________.
8.估算：面积是20 的正方形，它的边长是______m (精确到0.1m).
二、选择题
9.面积为2的正方形的边长是（        ）.
(A)整数       (B)分数   (C)有理数    (D)无理数
10.下列说法正确的是（     ）.
(A)一个数的算术平方根都是正数
(B)一个数的立方根有两个，它们互为相反数
(C)只有正数才有平方根
(D)一个数的立方根与这个数的符号相同
三总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在                    
方面表现不够，以后要注意的是：                                      
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。
  实数(二)
知识与技能目标：
1.了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
2.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则，运算律在实数范围内正确计算.
3.正确运用公式

.
教学重点
1.用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能在实数范围内正确进行运算.
2.发现规律：

.并能用规律进行计算.
教学难点
1.类比的学习方法.
2.发现规律的过程.
教学过程
一探究新知
在实数范围内如何求相反数、倒数、绝对值，它们的求法和在有理数范围内的求法相同.那么在有理数范围内的运算法则、运算律等能不能在实数范围内继续用呢？
1.有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
如： ，

所以说明有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。
1、计算：
(1) ；   
(2) ；
(3)(2 )2；
(4) .
2.做一做：填空
(1) =_________， =_________；
(2) =_________， =_________；
(3) =_________， =_________；
(4) _________， =_________.
以下用计算器进行计算：
(5) =_________， =_________；
=_________， =_________；
导学：请同学们先计算，然后分组讨论找出规律.
；

如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？
(a≥0,b≥0)；
  (a≥0,b＞0)
巩固练习化简：
(1) ；   
(2) －4；
(3)( －1)2；
(4) ；
(5) .
二例题讲解
化简：
(1) ；(2) ；(3)( +1)2；(4) .
三课堂练习
1、化简：(1) ；(2) ；(3)(1+ )(2－ )；
(4)( )2.
2.化简：
(1) ；(2)(1+ )( －2)；
(3) ；(4) ；
(5) ；(6) .

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估算无理数的方法是：       
（1）通过平方运算，采用“夹逼法”，确定真正值所在范围；
（2）根据问题中误差允许的范围内取出近似值。
（3）“精确到”与“误差小于”意义不同。如精确到1m是四舍五入到个位，答案惟一；误差小于1m，答案在真正值左右1m都符合题意，答案不惟一。在本章中误差小于1m就是估算到个位，误差小于10m就是估算到十位。

用估算来解决数学和实际问题.
例3  你能比较 与 的大小吗？你是怎样想的？
解：

                                          
     
例4  生活表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙距离为梯子长度的三分之一，则梯子比较稳定.现有一长度为6米的梯子，当梯子稳定摆放时，
（1）他的顶端最多能到达多高（保留到0.1）？
（2）现在如果请一个同学利用这个梯子在墙高5.9米的地方张贴一副宣传画，他能办到吗？
解：设梯子稳定摆放时的高度为x米，此时梯子底端离墙恰好为梯子长度的 ，根据勾股定理 ：




作业1  估算下列数的大小.
（1） （误差小于0.1） ;  （2） （误差小于1）.



作业2  通过估算，比较下面各数的大小.
（1） 与  ; （2） 与3.85.




【总结评价】：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在                    
方面表现不够，以后要注意的是：                                      
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。
实数（1）
【教学目标】：
了解无理数发现的历程，知道无理数是客观存在的；
知道实数的概念并能对实数进行正确的分类；
知道实数与数轴上的点一一对应，会用数轴上的点表示实数；会判断一个数是有理数还是无理数。
【教学重难点】：
实数的概念和分类及实数与数轴上的点的一一对应。
【教学指导】：
一无理数的定义。
无理数具体形式表示常见的类型。（根号，直接表现，π的倍数等）
实数可进行如下分类:
按定义分类：            

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立方根
学习目标
  　1、了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
  　2、能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算。
学习重点：立方根的意义及其表示方法。
学习难点：立方根与平方根的区别。
预习导学
一、创设问题情境，引入立方根概念
1.问题2 要做一只容积为125cm3的正方体木箱，它的棱长是多少?
与“平方根”类似，讨论和研究以下问题：
（A）  这个实际问题，在数学上提出怎样的一个计算问题?如何解？

（B）  你能找一个数，使这个数的立方等于125吗?
2.试一试
我们先来算一算一些数的立方.
23=______ ;(-2)3=______; 0.53=_____;(-0.5)3=______;

( )3=_____;-( )3=_____ ; 03=______.
3.立方根的表示方法：
类似平方根定义可知,若  = 则 为 的立方根,记为 ,读作“三次根号 ”
  因为 ，所以5是125的立方根，即   
求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其中a叫做被开放数。
4. 同学们讨论以下问题：
    1、 27的立方根是什么?
    2、－27的立方根是什么?
3、0的立方根是什么?
5.根据以上题目的答案，回答以下问题：
    1、正数有几个立方根?
2、0有几个立方根?
3、负数有几个立方根?
4、从以上问题中你发现了什么?
【总结归纳】


二  自主训练
   1.参照教材P45例1，求下列各数的立方根：
    (1)64　　    (2)－125    (3)－0.008


2.参照教材P46例2求下列各式的值：
(1)   (2)；　 ；　(3)　  ；(4)   ；


三达标作业
一、选择题
1.下列说法中正确的是（    ）
A.－4没有立方根                                                        B.1的立方根是±1
C. 的立方根是                                                 D.－5的立方根是
2.在下列各式中：  =   =0.1,  =0.1,－ =－27,其中正确的个数是（    ）
A.1                                        B.2                                        C.3                                        D.4
3.若m<0，则m的立方根是（    ）
A.                                 B.－                                  C.±                         D.  

4.下列说法中，正确的是（    ）
A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数
B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1
二、填空题
6. 的平方根是______.
7.（3x－2）3=0.343,则x=______.
8.若 + 有意义，则 =______.
9.若x<0，则 =______, =______.
10.若x=( )3，则 =______.
三、解答题
11.求下列各数的立方根
（1）729  （2）－4   （3）－   （4）（－5）3
12.求下列各式中的x.
(1)125x3=8
(2)(－2+x)3=－216
(3)  =－2
(4)27(x+1)3+64=0
四总结评价：今天的学习，我学会了：                                 
我在                        方面的表现很好，在                    
方面表现不够，以后要注意的是：                                      
总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）。
公园有多宽
【学习目标】：
会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题.
【学习重难点】：
掌握估算方法，形成估算意识，培养学生用估算法解决实际问题.
【学习过程】：
某市开辟了一块长方形的荒地用来建一个以环保为主题的公园.已知这块地的长是宽的两倍，它的面积为400000平方米.此时公园的宽是多少?长是多少?

引导问题：公园的宽有1000米吗？（没有）那么怎么计算出公园的长和宽.
解：设公园的宽为x米,则它的长为2x米,由题意得：
x•2x=400000,
      2x =400000,
      x = .
那么 =?

（2）该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗（误差小于1米）？

例1 下列结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流.
① ≈20   ;                 ②  ≈0.3;
③ ≈500;               ④  ≈96.



例2 你能估算它们的大小吗？说出你的方法.
①   ;  ② ;    ③  ;  ④ .