数学还是那个数学——让数学教学回归数学

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上海市静安区教育学院 曹培英



“数学还是那个数学”，经得起推敲吗？谁都知道，今天的数学，它的研究内容、研究方法都有长足的发展。如今，早已不是凭着一枝笔、一张纸就能驰骋数学世界的年代了。但令人庆幸的是，数学的基础，虽说经历了几次恐慌——危机，但矛盾不断在出现，也不断在解决。过去证明是正确的结论，现在依然正确。在数学王国里，对错依然分明，不至于公说公有理，婆说婆有理；也不存在正方、反方的辩论赛，参赛者抓阄决定自己的观点取向，最后获胜的居然是口才好的人。在这个意义上，“数学还是那个数学”。

至于呼吁“让数学教学回归数学”，并不是反对加强数学与生活的联系，拒绝数学内容与其他内容、数学表现形式与其他表现形式的有机整合，而是针对近年来一些日益流行的，似乎课程改革可以改变数学本质的现象提出的。这些现象形形色色，但都满足于把课改理念淋漓尽致地发挥在教学表现形式上，甚至影响了数学的实质，偏离了数学的精神都浑然不觉。鉴此，本文试就其中最常见的几种现象，提出问题，展开质疑与讨论。考虑到小学数学及其教师、教学的特殊性，在下面的讨论中，不纯粹由数学视角切入，而采用以现象描述入手，以学习心理学、学科教学论与数学相结合的方式展开讨论。

一、数学教学的课题：究竟突出什么

（一）现象描述

近年来新编的小学数学教材，有的采用了一些形象生动的语言作为课题。如“玩具”“小猫钓鱼”“买冰淇淋”等等。初看时，似乎有些新意，童趣盎然。实践下来，有时却令人啼笑皆非。

［案例1］

父：今天数学课学了什么？

儿：运动会。

父：怎么不上数学课，又开运动会了？

儿：不是的，是数学课的题目叫运动会。

父：噢……

如果说，家长产生诸如此类的误会，是由于他们不了解小学数学教材，他们只要打开课本仔细看看，就释然了。那么课堂上又会怎样呢？

［案例2］

师：昨天我们学了什么，

生1：小胖下车。

师：前面呢？

生2：小胖上车。

师：小胖上车用什么方法算？

生3：加法。

师：小胖下车呢？

生4：减法。

课堂上这样的“启发式”对话，不仅让生病请假后刚复课的学生摸不着头脑，就连观摩听课的其他年级数学老师也“一头雾水”，情不自禁地摇头。看看教材，原来课本上的课题就是这样的。

而且，当教师不满意课本提供的情节内容。自己根据新一轮课改的理念，创设具有地方特点或学校特色的问题情境时，只好更改课题名称。于是，使用同一教材、同一内容的一堂课，不同的教师教，就出现了不同的课题。比如，都是教学乘法分配律，甲老师自拟的课题是“水果大超市”，乙老师自定的课题为“选购西装”，丙老师的课题叫做“课桌椅”……五花八门，唯独不见乘法分配律的“蛛丝马迹”。

（二）透视分析

面对这一新的情况，我们首先应当肯定教师对教材的二次加工。情境变了，“运动场”换成了“大舞台”，课题再叫“运动场”显然不合适，只能跟着变。再说，教师的教学创新应当鼓励，统一课程的校本化实施也是我们期望并提倡的。问题在于，课题“多样化”的目的是什么？是小学低年级不出数学名词时的代名词？一种有趣的联想符号？还是一种时髦？是不是应该听任数学课题在整个小学阶段都被情境彻底颠覆，让人看不出这是一节数学课，让人摸不透这节课学了什么？由此引起的质疑是：究竟何为载体，何为主题？数学课题，究竟应当突出载体，还是突出主题？

我们认为，一节数学课的主题，一般是明确的、确定的，而表现主题的载体，亦即承载数学知识的现实背景却可以千变万化，这是数学广泛应用性所决定的。因此，用数学内容的载体作课题，势必出现令人眼花缭乱的现象。

进一步，数学教学的课题，应当是数学教学内容的概括。它是内容主题的刻画，而不仅仅是内容载体的表现。它对一节课的教学，常常起到画龙点睛的效果。当然，点睛必须点在龙身上，而不是点在龙身外的浮云上。同时，它对学生的记忆，往往具有简化记忆与提示回忆的作用。

相反，数学教学的课题，用表现数学知识的具体事物，即承载数学知识的表现载体来命名。这就在知识的名称，即所谓的“符号表征”之外，又增加了一类名称，这里不妨将这类名称叫做“载体表征”，以示区别。而载体表征又无法替代符号表征，因此增加了知识的意义与表征之间关系的复杂性。例如，教学加法交换律，已经到了概括感性认识的阶段。

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至于原来的情境是否过时，同样需要具体问题具体分析。比如，在小学低年级渗透加法的交换律，20多年前全国通用教材中的插图是：


    该情境不仅能让学生直观地感知加法的可交换性，而且还生动、形象地揭示了加法交换律的依据：计数结果与计数顺序无关（计数公理）。这样的情境其实无需去赶时髦更新。又如，教学时间单位“秒”的认识，传统的情境是除夕之夜，中央电视台春节联欢晚会倒计时读秒迎接新年钟声的录像片段。前不久，有教师采用雅典奥运会上我国选手刘翔夺冠的精彩录像片段来引入“秒”，实践表明效果并不十分理想。原来激动人心的场面让学生兴奋，他们感受到了中国人的骄傲，却没有关注1秒的时间长短。教师重放录像，学生注意了计时，但电子计时器快速跳动的数字仍干扰了他们体验1秒的持续时间。
    看来，追求知识与情感、科学与艺术以及内容与形式的和谐统一，没有“最好”，只有“更好”。让我们共同努力！
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［案例1］

在二年级下学期教学混合运算顺序“先乘、除，后加、减”，学生课本中的例题是两道计算式题。教师觉得太陈旧了，改用新一轮课改试验教材上的情境题：

“问题1：小胖、小丁丁、小亚、小巧4人一组玩‘激流勇进’，小胖是组长，负责买票，每人6元。他口袋里有156元，买票后还剩下多少元钱？”

“问题2：小胖小组还走了‘勇敢者之路’，小胖又买了4张票，每人7元。小胖为两个游戏项目一共付了多少元钱？”

两个游乐项目本身就富有刺激性，加上多媒体课件的视觉冲击力，学生被深深吸引住了。他们非常投入地、也比较顺利地解决了这两个问题。从学生的汇报来看，他们都采用分步列式。在教师的引导下，部分学生也能将两个分步算式组成一个综合算式。即

156-6×4=132（元）

24+7×4=52（元）

于是教师问：“通过这两个实际问题，我们知道了在一个有加、减法，又有乘法的算式里，必须先算什么？”学生异口同声：“先算乘法。”正当教师要求学生完整叙述并记忆这一“结论”时，一个学生举手说：“老师，我的计算是先算加法，后算乘法。”原来，该生解决问题2的算式是6+7×4=52（元）。老师应答：“你要先算加法，必须添上圆括号。”学生没再说什么，教师就把教学引向了预设的练习。

下课了，我问学生，为什么24+7×4，乘法在后，可以先算；而6+7×4，加法在前，却不能先算呢？大家都一脸茫然。一位大胆的学生说：“老师讲乘法先算嘛，它就先算了。”执教教师在旁补充道：“有的参考书上说，因为在实际生活中需要先乘除的问题比需要先加减的问题更多，所以规定先乘除、后加减。”这种说法恐怕只是一种估计，要统计是很困难的，即便确实如此，它是规定先乘除的依据吗？

在这个案例中，教师创设的问题情境有效地激发了小学生的学习兴趣，然而问题在于：混合运算顺序的规定，是否应该由现实素材导出？更一般地，是否所有数学知识都需要由现实情境引入？

［案例2］

曾听过一节教学算术平均数的课。引入时，教师组织了这样一个学习活动：

让两组学生的代表（各4人）比赛原地踢毽子，教师将各人踢的个数分别记录在黑板上，然后问：现在两组中每位同学踢的个数我们都知道了，那么怎样比较两个组的整体，哪个组踢毽子的水平高呢？学生回答，求总数，看哪组代表踢的总数多。接着，教师又以踢毽子水平较低一组学生的伙伴身份，加入比赛，使该组代表踢的总数大大反超另一组。从而引出问题：当人数不相等时，比较什么才公平？多数学生认为，应当比较平均每人踢的个数。也有个别学生认为，老师踢的不能算进来，同学和同学比较才公平。对这些不同的看法，教师没有理睬，以致坐在笔者前面的一个学生直到下课还在嘟囔“老师偏心眼，老师不公平”。

课后，该教师反思道：

这个引入活动是借鉴了一堂公开课的教学设计。当初观摩时，觉得富有教学艺术色彩，效果不错，学生的积极性被激发起来了。现在用到自己的教学中，没想到会有学生反对，一时不知道怎样引导才好。看来自己不该踢得这么多，引起另一组学生的反感。

有教师建议：可以强调哪一组更弱，老师就帮助哪一组；还可以教育不同意老师加入的同学，让他们发扬风格。

这里，让学生发扬风格，能解决问题吗？

（二）透视分析

其实，通过适当的现实情境引出数学问题，是小学数学早就经常使用的教学方法。它的功能，不仅仅是激起学生的学习兴趣，更重要的是调动学生的相关生活经验，促进对所学数学知识的意义建构，同时还有利于揭示数学与现实世界的联系，让学生逐渐感悟学习数学的实用价值，并在这一过程中，培养学生的数学应用意识与能力。然而，情境引入的作用，并不是无条件的，处处都能“一石三鸟”的。再说，一节课的教学目标，应当有所侧重，每节课都面面俱到是不现实的。

上述案例1表明，以学生喜爱的、亲身体验过的游乐项目为载体创设情境，的确有助于提高学生的学习积极性，并使问题解决过程能够得到已有生活经验的支撑。进一步的问题是，这节课的主要教学方向究竟是什么？

如果是解决实际问题，那么完全可以分步列式，因为分步列式可以有效降低思维的难度。事实上，追求容易、简便的本能，使得学生首选分步计算。于是，仅就解决实际问题而言，既然问题已经解决了，再来列综合算式，似乎多此一举。

如果是教学混合运算顺序，那么尽管面对的是现实问题，却不得不违背实际，舍易求难，指导学生列出综合算式，否则运算顺序无从谈起。至于“先乘、除，后加、减”的运算顺序，纯粹是一种人为的规定。它的合理性很简单，就是为了保证运算结果的唯一性。因而无需证明，更不存在因为某些实际问题需要先算乘、除法，所以这样规定的因果关系。换句话说，由一个具体的实际问题，导出两级混合运算先算乘、除法的规定，是不合逻辑的。

案例1还提示我们，由于问题解决途径的多样性，同一问题，可能这样解需要先乘，那样解需要先加。可见，用现实素材来解释“先乘、除”的合理性，容易陷入自相矛盾的窘境。因此，仅就教学混合运算顺序而言，由单纯的计算式题引入也是可取的。

再来分析案例2。

且不说师生踢毽子分散学生注意力，花费时间太多，影响了教学效率，仅从数学或者说统计学的角度来看，它的合理性就值得商榷。

其一，任何统计工作都有特定目的。这里，既然是比较两组学生踢毽子的水平，就应该采集学生踢毽子的个数。因此，个别学生认为教师不应该加入是对的。否则，为什么体育项目测试要分年龄组呢？

其二，平均数作为一种最常用的集中量数，其最大的局限性在于，当一组数据中出现了极端数据之后，它的代表性会大受影响。很多比赛之所以采取去掉最高分、最低分，再求平均分的措施，不仅是为了从心理上给评分者公正评分施加一种制约，还为了减少一大一小这两种极端数据对平均数的影响，以提高平均数刻画一组数据集中趋势的有效性。因此，为了便于学生感悟平均数的统计功能，引入时，较为明智的策略是有意识地避免极端数据，而不是尽情发挥教师踢毽子的水平，故意人为制造一个极端数据。

如果为了引入中位数、众数，或者为了比较平均数与中位数、众数各自特点的需要，而有意设置极端数据，则另当别论。

（三）我们怎么办

首先必须明确，并不是所有的数学教学内容都需要情境引入。有如下两方面的理由。

一方面，数学知识的来源具有多样性。除了源于广泛的现实世界，由实际问题抽象出来之外，还源于数学内部的矛盾或数学研究的需要，由数学自身纯逻辑地提出。这就是思维对于现实的能动性。比如，在我国家喻户晓的“哥德巴赫猜想”，耗费了几代数学天才的心血，历经358年终于得证的“费马大定理”，都是这样的例子。小学数学中也有这样的例子，比如素数与合数，就是出于研究整数的需要引进的概念。只是后来科学家才偶然发现自然界里就有素数，如某些昆虫的生命周期正好是素数，从而有利于躲避天敌对其繁衍后代的威胁。

另一方面，情境引入又是一把“双刃剑”。有时它会带来一些负面效应。情境选择不当会产生牵强附会现象，这是显而易见的。就是情境设计恰如其分，有时也会使原本可以“各个击破”的难点相对集中。比如上面的案例1，在二年级下学期教学混合运算顺序，原来针对式题讨论，比较顺利。现在由实际问题引入，不得不将列综合算式与混合运算顺序两个内容整合在一节课内，客观上加大了教学难度。又如教学方程，原来先学怎样解方程，再学怎样寻找等量关系列方程，同样可以联系实际，培养应用能力。现在为了从现实情境引入方程，只能合二为一，这对教师的教学能力和学生的学习能力，都是一种考验。有这必要吗？

如果把“完整的数学过程区分为抽象、符号变换和应用三段，以往的数学课程却以处理中间一段为原则，这导致了数学教学脱离实际的倾向。现在，强调数学抽象和数学应用已成为国内外课程内容改革的共同取向。”[1]有人把数学过程喻为一条鱼，过去是宰头去尾只烧中段，现在则主张“烧全鱼”。但课程改革绝不是简单地从一个极端走向另一个极端；关注数学抽象也不是教条，不论条件，不讲实事求是。只要哪个内容不从实际情境引入，就扣上“没有体现课改理念”的帽子，一概否定，这是典型的形而上学。我们不应画地为牢，自设禁区，“烧全鱼”，与“鱼头、鱼尾分开吃”都是可以的，一切从实际出发，这是再显然不过的道理。

比如，在案例1的教学中，假定所教班级的学生学习能力很强，把列综合算式与混合运算顺序两个内容放在一节课内教学，没有问题。那么，当学生解决问题2出现了两种不同算法时：

解法一24+7×4

解法二6+7×4

教师可以抓住契机，提出问题，激化矛盾：解法一需要先算乘法，解法二需要先算加法，怎么办？由此引出，为了避免混乱，使一个算式只有一个正确计算结果，数学上规定这样的算式先算乘法、后算加法。然后讨论，遇到需要先算加法、后算乘法时，怎样改变运算顺序。从而使学生比较全面地感悟规定运算顺序的必要性。显然，前提是学生“受得了”。如果学生“吃不消”，则分散难点才是上策。

因此，正确的做法是：具体问题具体分析，根据内容特点和学生特点，该情境引入的就精心设计，不宜情境引入的就不要再去挖空心思、生搬硬套。

其次，在追求情境素材情感价值、过程价值的同时关注数学的实质。

当某一数学内容需要并且适合情境导入时，如何防止情境创设流于形式？关键在于讲究实效，在追求情境素材情感价值、过程价值的同时关注数学的实质，力求形式与内容的统一。

过去，我们习惯于用教师创设的问题情境来引入教学内容，现在提倡师生、生生互动，于是追求通过师生共同参与的活动来引入学习内容。这无疑是一种发展。然而，无论是教师单独创设的问题情境，还是师生共同开展的实践活动，评价其引入教学内容的效果，首先看它是否有利于揭示数学的规律、展现或反映数学知识的实质，其次才是它的趣味性、挑战性和参与互动性。否则，教学的内容“把握不好，或者把握偏了，方法越高明，越会南辕北辙。错了、偏了，还有什么艺术可言呢？”[2]

例如，教学圆面积计算时，二十多年前，笔者任教时创设的问题情境是：一片绿茵茵的草地上，有一棵树，树上拴着一只正在低头吃草的羊。配合画面提出的问题是：怎样计算羊吃草的面积？[3]当时，场景画在投影胶片上，其影像、色彩无法与今天的多媒体课件相比。但还是引起了学生的极大兴趣。公允地说，这一老掉牙的问题情境，基本符合现今的评判价值取向：“新课程特别倡导用具体的、有趣味的、富有挑战性的素材引导学生投入数学活动。”[4]因为学生喜欢这样的情境，他们通过观察纷纷发现，羊只能在以树为圆心，以绳长为半径的圆形地面内吃到草。他们为自己的发现而感到兴奋。进一步，用笔者的评判标准来衡量，更为本质的是，这一问题情境便于揭示圆形地面的大小，取决于绳子的长短，从而使学生自己抽象出，圆面积的大小是由圆的半径决定的。如果以树所在位置为原点，建立直角坐标系，那么羊能吃到草的圆面可以用x2+y2≤r2来刻画。也就是说，这一问题情境，实际上已经生动地渗透了或者说蕴涵了圆面方程的一个现实原型。记得针对同一课题，当年曾尝试过多种方式创设情境，实践下来，以“羊吃草”为佳。比如，用手甩动梭镖，也能形成一个圆面，但观察细心的学生会发现，教师的手在抖动。即圆心也在转动（比较准确地说，是形成了一个圆环面）。

如果要问，这样的问题情境，能否用于新课改下的引入教学，回答是：至少在没有找到更好的能让师生都参与互动的方式之前，可以采用。因为圆还是那个圆，圆的本质属性并没有因为课改而改变。当然，教学设计可以也常常需要与时俱进。比如，考虑到面对的是大都市的孩子，不妨把“羊”改为“宠物狗”，相应地把“羊吃草面积”改为“狗活动面积”。

这里，之所以翻出“一块陈年奶酪”，是想陈述一个正例。尽管这个正例缺乏新意，但可以说明：引入教学需要考虑学生的情感，力求激起学生的求知欲望，更要关注教学的科学性要求，不能歪曲数学本意，这是前提。

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原来，直截了当：

现在，画蛇添足：



可见，这类外加的课题名称，既增加了记忆的内容，又添加了回忆检索以及后继教学的麻烦。
诚然，小学生的年龄特征，决定了小学数学必然重视内容的表现形式。在这个意义上，载体表征的课题也有积极的一面，主要是有助于增强数学学习课题对于小学生的亲和力、趣味性。但“童趣味”不应淹没、替代“数学味”，毕竟形式是为内容服务的，本末不应倒置！何况我们有很多其他行之有效的手段可以达到增强数学的亲和力、趣味性的效果。
（三）我们怎么办
第一，很简单，让数学课题回归数学内容。
其实，很多数学课题，以数学知识本身的名称来命名，就很不错。以乘法运算定律为例，乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律，这“交换”“结合”“分配”，多么生动、形象，又多么贴切，以致词自身的含义就有助于领会定律的内涵，有助于由名称获得提示，回忆起定律的内容。比如，由“乘法分配律”的名称学生最容易联想到的问题是“分配什么”，通过举例说明：
   
不少学生能够用自己的语言来描述“分配”的含义：所谓分配原来是“把一个因数分配给每个加数”。多好的通俗解释，虽说很不严谨，但这恰恰是儿童自己的意义建构、自己的表述。而且，乘法分配律的精髓——沟通乘、加两种运算的定律，不已蕴涵其中了吗？众所周知，在五条运算定律中，唯有乘法对于加法的分配律给出了乘、加两种运算之间的联系。我们不禁要问，像这样科学性、人文性兼备的名称，作为数学课的课题，又有什么不好呢？
第二，也很简单，对课题做出必要的、适当的加工。也就是说，强调课题突出教学内容的主题，并不排斥对课题的通俗化、艺术化的处理。
比如，将数学的拓展内容统称为“数学广角”或“数学广场”，显得更生动、更有趣；将“多位数的认识”称之为“大数的认识”，似乎更通俗、更大众化。本来，“多位数”就不是一个严格的数学概念，改称“大数”也未尝不可。
又如，教学乘法分配律的初步认识，由于是“初步认识”，教学时不出结论，所以很难取一个确切的课题。于是，有教材设计了这样一个课题“5个3加3个3等于8个3”，看似啰嗦，不够简练，实践下来效果倒还不错。请看该课结束前的对话。
师：今天这节课学了什么？
生：学了5个3加3个3等于8个3。
师（愣了一下）：噢，对，这个课题本身就说明了今天学的知识。
……
学生记住了这个课题，实际上就等于记住了一个乘法分配律的实例。
再如，将“乘法的初步认识”加工成“从加到乘”。课题这么一改，就新课程改革的理念来讲，凸显了教学的关注点是学生的认知过程和感悟；从数学本身来看，突出了引进乘法的必要性。为什么有了加法还要乘法，因为同数连加首先碰到的问题就是书写太麻烦。比如一百个2相加，写到何时？采用省略号也不如

改写成乘法，一目了然。所以说，乘法是同数连加的简便运算，是特殊的加法。因此，乘号的发明者认为，只要把加号“十”旋转45°，改为“×”，用来表示“乘”，再恰当不过了。由此可见，以为现在允许学生把“2×100”写成“100×2”，连乘法的含义，即两个因数的含义——“相同加数”与相同加数的“个数”都可以不要了，实在是抛弃了乘法的本意。要知道，乘法还是那个乘法，课改没有也不可能改变它与加法的本质的、历史的联系。当然，这是题外话。回到我们讨论的问题上来，你看，简简单单四个字“从加到乘”，将课改的追求、数学的实质，都体现其中了。
这些，都是从数学教学工艺学的视角来看，加工得比较适当的课题。
此外，实践活动或综合应用的课题，它的主题不是得出数学知识，而是应用数学知识解决某一方面的实际问题。因此，用活动情境或应用场合来命名，以突出所学数学知识与现实世界某一方面的联系，也是可以的。设计得比较好的，如：“制作年历”“小管家”等等。也有些综合应用的课题，似乎有加副标题的必要。如一位教师自行设计了一节综合应用课，课题为“话说奥运”，令人不得要领，加上副标题“话说奥运——百分数的应用”，显然比较合适。这也是主题与载体兼顾的一个例子。
过去，我们常说，一个好的课题，犹如“画龙点睛”之笔，能为一节课增色、添彩。这对新课改背景下的课堂教学来说，没有过时，同样适用。
让我们共同来追求课堂教学的“画龙点睛”之笔！
有必要指出，在上面的讨论中，为了“就事论事”，摘录了几套新编教材中的若干课题，除此之外，还引用了一线教师自拟的一些课题。其中有笔者认为比较合适的，也有笔者看来是欠妥的。之所以一概不注明出处，是因为本文无意对新编教材妄加评论，更无意赞扬某套教材，或者贬低某套教材。对教师设计课题时的某些创意，同样如此。以后的论述中，还会举一些例子，不管是否注明出处，都是为了“就事论事”，本意不在褒贬。
二、数学内容的引入：一概创设现实情境，或牺牲数学换取兴趣，可取吗
（一）现象描述
近年来，在设计数学课教学内容的引入时，教师们考虑最多的是，从生活情境引进与采用活动方式引进。前者的主要理念是“数学回归生活”，后者的主要依据是“发挥学生的主体性”。两者共同的追求是“激发学生的学习兴趣”。