在小学数学应用题教学中怎样构建数学模型

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在小学数学应用题教学中怎样构建数学模型
徐云鸿    潘桂华
史宁中教授在《数学思想概论》中提出：“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理、模型，……通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”。由此可见，模型思想在义务教育数学教学中的作用举足轻重。
所谓数学模型，就是根据特定的研究目的，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地表征所研究对象的主要特征、关系所形成的一种数学结构。在义务教育阶段数学中，用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式，及各种图表、图形等都是数学模型。
对数学模型可以从两个层次上理解：广义的理解是把那些凡是针对客观对象加以一级或多级抽象所得到的形式结构都视为客观对象的模型；狭义的理解是指针对特定现实问题或具体实物对象进行数学抽象所得到的数学模型。在中小学数学中的数学模型一般指后者。
应用题教学在小学数学教学中占有重要位置，对提高学生的思维能力和培养学生的应用意识起着颇为重要的作用，那么，在应用题教学中如何构建数学模型呢？
一．创设情景
史宁中教授认为“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径”。它鲜明地表述了这样的意义：建立模型思想的本质就是使学生体会和理解数学与外部世界的联系。
“20 世纪中叶以来，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、 研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断，同时为人们交流信息提供了一种有效、简捷的手段。数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题。因此，在修订版课标思想指导下，应用题教学已经不能仅仅局限于课本例题的教学，教师应该与时俱进，着眼于社会生活中丰富多彩的内容，根据需要选取素材， 使应用题的教学内容与社会生活紧密联系，赋予应用题教学鲜活的生命力，然后教师应该用教材教，而不能死板的教教材，只有这样才能使学生更好的关注社会生活， 更好的体验数学与生活的密切联系。选取生活中的素材进行创造，可以使应用题的教学更富情趣，有利于学生情商的培养、兴趣的激发，减少学生对应用题的畏惧心理。如，刘雯老师执教《相遇问题》时，先用媒体播放王明和李华上学的动画情景（王明和李华分别住在学校的两侧，两人同时从家出发，相对而行，经过5分钟两人同时到达学校。），诱发学生观察两物体的运动过程，寻找新知学习的切入点——唤起相遇问题的生活经验。接着教师与学生联手，现场模拟表演（王明与李华运动情况），引导学生用上“两个物体”、“两个地方、”“同时出发”、 “相对而行”、“最后相遇”这几个关键词描述他们的运动过程。这样，从学生熟悉的生活实例入手创设问题情境，采用模拟表演、打手势等直观生动的演示方式描述王明和李华的运动过程，激发了学生数学学习兴趣，调动学生积极主动地投入到探究学习活动中去，引导学生理解“同时出发”、“相对而行”、“最后相遇”等关键词的含义，掌握相遇问题的基本特征，初步建立相遇问题的模型雏形，为建立数学模型做好准备。
二．构建模型
修订版义务教育阶段数学课程标准，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。它不仅考虑到数学自身的特点，还关注学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。因此，在情景创设之后，教师的一般做法是引导学生亲历应用题模型的构建过程，赋予应用题鲜活的生命力，使学生润物细无地渐入学习佳境。如，刘雯老师“相遇问题”这节课，一是先构建“图形模型”。教师放手让学生运用已有的知识基础、方法策略和活动经验，用自己喜欢的方法对问题情境中相关联的信息加以梳理（如，图画、图表等）。帮助学生直观形象地理清信息与信息之间、信息与问题之间的内在联系，为有效解决问题做好铺垫；接着，对各种解题策略进行分析，比较各种方法的异同，突出画线段图整理信息的优越性和必要性；最后在“自主整理——组内交流——展示汇报——分析比较——提炼升华”等一系列活动中，引导学生获得解决问题的策略，积累解决问题的经验，提高解决问题的能力。二是构建“算式模型”。  在学生自主整理信息，理清数量关系，明确解题思路，探究计算方法的基础上，学生独立列式解答，建构起了相遇问题的算式模型。三是构建“数量关系模型”。引导学生对分析解决问题的过程进行观察与比较、分析与综合、抽象与概括，炼出相遇模型背后所蕴含着的结构性关系，并运用形式化的数学符号刻画出这种数学结构——“速度和×时间=总速度”，从而建立相遇问题的基本模型。
三．解释与应用模型
分析解答应用题的过程，就是解释与应用模型的过程。在小学低年级一般运用综合法解答，到中高年级则需要分析法和综合法的分别使用或者并用，在解释与应用模型这一环节中，一般经过“理解题意、分析数量关系、列式计算、验算写答案”四个步骤。设置习题时要注意，一是要进一步创设问题情景，凸显数学化过程；二是要循序渐进，有梯度；三是要具有启发性、趣味性和拓展性，让学生乐于解决实际问题，在解决实际问题过程中体验成功的喜悦，培养应用意识，使学生的情商得以培养。如，刘雯老师“相遇问题”这节课，设计了“基本练习、变式练习和拓展练习”三个层次的、并带有现实背景的练习，对相遇问题进行解释与应用。使学生在生活化内容和数学化探索中，获得知识、方法与数学活动经验。
总之，数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。这一过程的步骤可用如下流程来体现：
观察实际情境→发现提出问题→抽象成数学模型→得到数学结果。
首先是“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”。这说明发现和提出问题是数学建模的起点。然后“用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律”。在这一步中，学生要通过观察、分析、抽象、概括、选择、判断等等数学活动，完成模式抽象，得到模型。这是建模最重要的一个环节。最后，通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义。显然，数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能，更有思想、方法，也有经验积累，其情感态度（如兴趣、自信心、科学态度等）的培养也会得以落实。