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初中数学三角形重心性质定理

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楼主
发表于 2011-5-30 09:18:00 | 只看该作者 回帖奖励 |正序浏览 |阅读模式
三角形重心性质定理
湖北省黄石市下陆中学 宋毓彬
1.三角形重心性质定理



课本原题(人教八年级《数学》下册习题19.2第16题)



在△ABC中,BD、CE是边AC、AB上的中线,BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系?BC边上的中线是否一定过点O?为什么?

(提示:作BO中点M,CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND)



分析:三角形三条中线的交点是三角形的重心(第十九章课题学习《重心》)。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质:三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分,其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。

证法1:(根据课本上的提示证明)

取GA、GB中点M、N,连接MN、ND、DE、EM。(如图1)

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沙发
 楼主| 发表于 2011-5-30 09:18:00 | 只看该作者
        MN是△GAB的中位线,∴MNABMN=AB
ED是△ACB的中位线,∴DEABDE=AB
DEMNDE=MN,四边形MNDE是平行四边形
GM=GD,又AM=MG,则AG=2GD
同理可证:CG=2GFBG=2GE
点评:证法1是利用中点构造三角形中位线,从而得到平行四边形,再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。
证法2:延长BEF,使GF=GB,连接FC
             
GBF的中点,DBC的中点
GD是△BFC的中位线,GDFCGD=FC
GDFCAE=CE,易证△AEG≌△CEF
AG=FC,即GD=AG
点评:利用线段中点,还可以将与线段中点有关的线段倍长,构造全等,从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。
证法3:取EC中点M,连DM,利用平行线分线段成比例及EAC中点可证得相同的结论。(证明过程略)

2.三角形重心性质定理的应用


⑴求线段长
1 如图3所示,在RtABC中,∠A=30°,点D是斜边AB的中点,当GRtABC的重心,GEAC于点E,若BC=6cm,则GE=cm
              
RtABC中,∠A=30°,BC=6   AB=BC=12
D是斜边AB的中点,∴CD=AB=6
GRtABC的重心,∴CG=CD=4
CD=AD,∠A=30°,∠GCE=30°
RtGCE中,∠GCE=30°,CG=4,∴GE=CG=2cm
⑵求面积
2 在△ABC中,中线ADBE相交于点O,若△BOD的面积等于5,求△ABC的面积。
             
:∵O是△ABC的重心,
AOOD=21

SAOBSBOD=21   SAOB=2 SBOD=10

SABD= SAOB+ SBOD=10+5=15

AD是△ABC的中线
    SABC=2 SABD=30
练习1.如图5,△ABC中,ADBC边上的中线,G是重心,如果AG=6,那么线段DG=
        


2.如图6,在△ABC中,G是重心,点DBC的中点,若△ABC的面积为6cm2,则△CGD的面积为


作者简介:宋毓彬,男,45岁,中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《中学生数学》、《数理天地》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《语数外学习》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》、《数理报》、《小博士报》、《少年智力开发报·数学周刊》等报刊发表教学辅导类文章80多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。
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