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2016-2017学年江西省抚州市临川九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）．
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
2．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3= ；④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5） =x﹣1，一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
6．如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（ ）
A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5
C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5
8．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
9．若关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m≥ C．m＞ 且m≠2 D．m≥ 且m≠2
10．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．不确定
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
11．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= cm．
13．若 ，则 的值为 ．
14．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则 + 的值为 ．
15．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 ．
16．在比例尺为1：5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离约为25厘米，则甲、乙两地的实际距离约为 千米．
17．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．
18．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 ．
三、解答题
19．解下列方程
（1）25x2+10x+1=0
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
20．已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+ ﹣ =0的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 ，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
22．小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
24．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
25．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
2016-2017学年江西省抚州市临川九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）．
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
2．下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3= ；④（a2+a+1）x2﹣a=0；（5） =x﹣1，一元二次方程的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【解答】解：
①ax2+bx+c=0的二次项系数可能为0；
②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1是一元二次方程；
③x+3= 不是整式方程；
④（a2+a+1）x2﹣a=0整理得[（a+ ）2+ ]x2﹣a=0，由于[（a+ ）2+ ]＞0，故（a2+a+1）x2﹣a=0是一元二次方程；
⑤ =x﹣1不是整式方程．
故选B．
3．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【考点】菱形的性质．
【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠B=∠D=60°，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30°，
∴AE=AF，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAF=120°﹣30°﹣30°=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，∠AEF=60°，
∵AB=4，
∴BE=2，
∴AE= =2 ，
∴EF=AE=2 ，
过A作AM⊥EF，
∴AM=AE•sin60°=3，
∴△AEF的面积是： EF•AM= ×2 ×3=3 ．
故选：B．
4．在一个口袋中有4个完全相同的小球，它们的标号分别为1，2，3，4，从中随机摸出一个小球记下标号后放回，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于4的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于4的有10种情况，
∴两次摸出的小球的标号之和大于4的概率是： = ．
故选：C．
5．如图，已知矩形ABCD中，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是（ ）
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减小
C．线段EF的长不改变 D．线段EF的长不能确定
【考点】三角形中位线定理．
【分析】因为R不动，所以AR不变．根据中位线定理，EF不变．
【解答】解：连接AR．
因为E、F分别是AP、RP的中点，
则EF为△APR的中位线，
所以EF= AR，为定值．
所以线段EF的长不改变．
故选：C．
6．如图，AB∥CD∥EF，则在图中下列关系式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【分析】根据AB∥CD∥EF，再利用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形，即可得出正确答案．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ = ， = ， ， ；
故选C．
7．某市2013年投入教育经费2亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为x，从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元，则下列方程正确的是（ ）
A．2x2=9.5 B．2（1+x）=9.5
C．2（1+x）2=9.5 D．2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果教育经费的年平均增长率为x，根据从2013年到2015年共投入教育经费9.5亿元即可得出方程．
【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x，
则2014的教育经费为：2（1+x）万元，
2015的教育经费为：2（1+x）2万元，
那么可得方程：2+2（1+x）+2（1+x）2=9.5．
故选D．
8．根据下列表格对应值：
x 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.02 0.01 0.03
判断关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25 C．3.25＜x＜3.26 D．3.25＜x＜3.28
【考点】估算一元二次方程的近似解．
【分析】观察表格可知，随x的值逐渐增大，ax2+bx+c的值在3.24～3.25之间由负到正，故可判断ax2+bx+c=0时，对应的x的值在3.24＜x＜3.25之间．
【解答】解：由图表可知，ax2+bx+c=0时，3.24＜x＜3.25．
故选B．
9．若关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞ B．m≥ C．m＞ 且m≠2 D．m≥ 且m≠2
【考点】根的判别式．
【分析】根据一元二次方程的定义以及方程有解，结合根的判别式即可得出关于m的一元二次不等式组，解不等式即可得出结论．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1=0有解，
∴ ，
解得：m≥ 且m≠2．
故选D．
10．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．不确定
【考点】三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【分析】根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1= AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的 ，依此类推可得四边形AnBnCnDn的面积．
【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1= AC，
∴△BA1B1∽△BAC，
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ，
又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16，
∴SA1B1C1D1= ×16，
∴四边形AnBnCnDn的面积=16× = ．
故选B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
11．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加 AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．
【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．
【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，
∴HG∥BD，EH∥AC，
∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，
∴∠2=∠EHG，
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EHG=90°，
∴∠2=90°，
∴AC⊥BD．
故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．
12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF的周长= 9 cm．
【考点】三角形中位线定理；矩形的性质．
【分析】先求出矩形的对角线AC，根据中位线定理可得出EF，继而可得出△AEF的周长．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC= =10cm，
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF是△AOD的中位线，EF= OD= BD= AC= cm，AF= AD= BC=4cm，AE= AO= AC= cm，
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=9cm．
故答案为：9．
13．若 ，则 的值为 ．
【考点】比例的性质．
【分析】先由 ，根据分式的基本性质得出 = = = ，再根据等比性质即可求解．
【解答】解：∵ ，
∴ = = = ，
∴ = ．
故答案为 ．
14．已知x1，x2是方程x2+6x+3=0的两实数根，则 + 的值为 10 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】先根据根与匇的关系得到x1+x2=﹣6，x1x2=3，再运用通分和完全平方公式变形得到 + = ，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣6，x1x2=3，
所以 + = = = =10．
故答案为10．
15．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 2 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE=BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE=AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB=2 ．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=2 ．
故所求最小值为2 ．
故答案为：2 ．
16．在比例尺为1：5 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离约为25厘米，则甲、乙两地的实际距离约为 1250 千米．
【考点】比例线段．
【分析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式直接求解即可．
【解答】解：设甲、乙两地的实际距离是x厘米，则：
1：5 000 000=25：x，
∴x=125 000 000，
∵125 000 000厘米=1250千米，
∴两地的实际距离是1250千米．
故答案为1250．
17．现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 x2﹣70x+825=0 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】本题设小正方形边长为xcm，则长方体盒子底面的长宽均可用含x的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x）cm，宽是（60﹣2x）cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．
【解答】解：由题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）=1500
整理得：x2﹣70x+825=0，
故答案为：x2﹣70x+825=0．
18．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为 ．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．
【解答】
解：延长AB至M，使BM=AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°
∴AB=AD，∠A=60°，
∵BM=AE，
∴AD=ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，
∴∠MEF=∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，
∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE=MF，∠M=∠A=60°，
又∵BM=AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF=AE，
∵AE=t，CF=2t，
∴BC=CF+BF=2t+t=3t，
∵BC=4，
∴3t=4，
∴t=
故答案为： ．
三、解答题
19．解下列方程
（1）25x2+10x+1=0
（2）（y+2）2=（3y﹣1）2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）因式分解法求解可得；
（2）直接开平方法求解可得．
【解答】解：（1）∵（5x+1）2=0，
∴5x+1=0，
解得：x1=x2=﹣ ；
（2）∵y+2=±（3y﹣1），
即y+2=3y﹣1或y+2=﹣3y+1，
解得：y=﹣ 或y= ．
20．已知：平行四边形ABCD的两边AB、BC的长是关于x的方程x2﹣mx+ ﹣ =0的两个实数根．
（1）试说明：无论m取何值方程总有两个实数根
（2）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（3）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？
【考点】平行四边形的性质；根的判别式；菱形的判定．
【分析】（1）利用根的判别式求出△的符号进而得出答案；
（2）利用菱形的性质以及一元二次方程的解法得出答案；
（3）将AB=2代入方程解得m= ，进而得出x的值．
【解答】（1）证明：∵关于x的方程x2﹣mx+ ﹣ =0，△=m2﹣2m+1=（m﹣1）2
∵无论m取何值（m﹣1）2≥0
∴无论m取何值方程总有两个实数根；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC即（m﹣1）2=0，
∴m=1代入方程得：
∴
∴x1=x2= ，
即菱形的边长为 ；
（3）解：将AB=2代入方程x2﹣mx+ ﹣ =0，
解得：m= ，
将 代入方程，x2﹣mx+ ﹣ =0，
解得：x1=2，x2= ，
即BC= ，
故平行四边形ABCD的周长为5．
21．已知a、b、c是△ABC的三边，且满足 ，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】令 =k．根据a+b+c=12，得到关于k的方程，求得k值，再进一步求得a，b，c的值，从而判定三角形的形状．
【解答】解：令 =k．
∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，
∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．
又∵a+b+c=12，
∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，
∴k=3．
∴a=5，b=3，c=4．
∴△ABC是直角三角形．
22．小莉的爸爸买了某演唱会的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为1，2，3，5的四张牌给小莉，将数字为4，6，7，8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张牌数字相加，如果和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用树状图或列表的方法表示出两张牌数字相加和的所有可能出现的结果；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？为什么？若不公平，请设计一种公平的游戏规则．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】（1）用列表法列举出所以出现的情况，再用概率公式求出概率即可．
（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
【解答】解：（1）
4 6 7 8
1 1+4=5 1+6=7 1+7=8 1+8=9
2 2+4=6 2+6=8 2+7=9 2+8=10
3 3+4=7 3+6=9 3+7=10 3+8=11
5 5=4=9 5+6=11 5+7=12 5+8=13
由上表可知，两张牌数字相加和的所有可能出现的结果共有16种．
（2）不公平．
因为上述16种结果出现的可能性相同，而和为偶数的结果有6种，和为奇数的结果有10种，
即小莉去的概率为： = ，
哥哥去的概率为： = ，∵ ＜ ，∴小莉去的概率低于哥哥去的概率．
可把小莉的数字5的牌与哥哥数字4的牌对调，使两人去的概率相同，即游戏公平．
23．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求证：CE=AD；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．
【考点】正方形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．
【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥BC，
∴∠DFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠DFB，
∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形，
∴CE=AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，
理由是：∵D为AB中点，
∴AD=BD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD=BD，
∴▱四边形BECD是菱形；
（3）当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，理由是：
解：∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴∠ABC=∠A=45°，
∴AC=BC，
∵D为BA中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴菱形BECD是正方形，
即当∠A=45°时，四边形BECD是正方形．
24．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．那么每千克的利润为：（3﹣2﹣x）元，由于这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克．所以降价x元，则每天售出数量为：千克．本题的等量关系为：每千克的利润×每天售出数量﹣固定成本=200．
【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元．
根据题意，得[（3﹣2）﹣x]﹣24=200．
方程可化为：50x2﹣25x+3=0，
解这个方程，得x1=0.2，x2=0.3．
因为为了促销故x=0.2不符合题意，舍去，
∴x=0.3．
答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元．
25．如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连AP、AG．
（1）求证：△AOG≌△ADG；
（2）求∠PAG的度数；并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系，说明理由；
（3）当∠1=∠2时，求直线PE的解析式；
（4）在（3）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）由AO=AD，AG=AG，根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，判断出△AOG≌△ADG即可．
（2）首先根据三角形全等的判定方法，判断出△ADP≌△ABP，再结合△AOG≌△ADG，可得∠DAP=∠BAP，∠1=∠DAG；然后根据∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，求出∠PAG的度数；最后判断出线段OG、PG、BP之间的数量关系即可．
（3）首先根据△AOG≌△ADG，判断出∠AGO=∠AGD；然后根据∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，判断出当∠1=∠2时，∠AGO=∠AGD=∠PGC，而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，求出∠1=∠2=30°；最后确定出P、G两点坐标，即可判断出直线PE的解析式．
（4）根据题意，分两种情况：①当点M在x轴的负半轴上时；②当点M在EP的延长线上时；根据以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形，求出M点坐标是多少即可．
【解答】（1）证明：在Rt△AOG和Rt△ADG中，
（HL）
∴△AOG≌△ADG．
（2）解：在Rt△ADP和Rt△ABP中，
∴△ADP≌△ABP，
则∠DAP=∠BAP；
∵△AOG≌△ADG，
∴∠1=∠DAG；
又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°，
∴2∠DAG+2∠DAP=90°，
∴∠DAG+∠DAP=45°，
∵∠PAG=∠DAG+∠DAP，
∴∠PAG=45°；
∵△AOG≌△ADG，
∴DG=OG，
∵△ADP≌△ABP，
∴DP=BP，
∴PG=DG+DP=OG+BP．
（3）解：∵△AOG≌△ADG，
∴∠AGO=∠AGD，
又∵∠1+∠AGO=90°，∠2+∠PGC=90°，∠1=∠2，
∴∠AGO=∠PGC，
又∵∠AGO=∠AGD，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC，
又∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°，
∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°，
∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°；
在Rt△AOG中，
∵AO=3，
∴OG=AOtan30°=3× = ，
∴G点坐标为（ ，0），CG=3﹣ ，
在Rt△PCG中，PC= = =3（ ﹣1），
∴P点坐标为：（3，3 ﹣3 ），
设直线PE的解析式为：y=kx+b，
则 ，
解得 ，
∴直线PE的解析式为y= x﹣3．
（4）①如图1，当点M在x轴的负半轴上时， ，
∵AG=MG，点A坐标为（0，3），
∴点M坐标为（0，﹣3）．
②如图2，当点M在EP的延长线上时， ，
由（3），可得∠AGO=∠PGC=60°，
∴EP与AB的交点M，满足AG=MG，
∵A点的横坐标是0，G点横坐标为 ，
∴M的横坐标是2 ，纵坐标是3，
∴点M坐标为（2 ，3）．
综上，可得
点M坐标为（0，﹣3）或（2 ，3）．
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发表于 2020-10-6 21:05:58
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