青岛版九年级上册数学4.6 一元二次方程根与系数的关系同步练习题有答案

桂馥兰香

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桂馥兰香

4.6 一元二次方程根与系数的关系
综合练习
一、填空题：
1、如果关于的方程的两根之差为2，那么           。
2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则      。
3、已知关于的方程的两根为，且，则         。
4、已知是方程的两个根，那么：         ；       ；         。
5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则        ；           。
6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是           ，的值为           。
7、已知是的一根，则另一根为       ，的值为       。
8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为：         。
二、求值题：
1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。
4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。
5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。
6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。
三、能力提升题：
1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？
2、已知关于的一元二次方程
    （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。
    （2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。
3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。
4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。
5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。
6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。


答案与提示
一、填空题：
1、提示：，，，∴，
∴，解得：
2、提示：，由韦达定理得：，，∴，
解得：，代入检验，有意义，∴。
3、提示：由于韦达定理得：，，∵，

∴，∴，解得：。
4、提示：由韦达定理得：，，
；；由，可判定方程的两根异号。有两种情况：①设＞0，＜0，则 ；②设＜0，＞0，则。
5、提示：由韦达定理得：，，∵，∴，，∴，∴。

6、提示：设，由韦达定理得：，，∴，解得：，，即。
7、提示：设，由韦达定理得：，，∴，
∴，∴
8、提示：设所求的一元二次方程为，那么，，
∴，即；；∴设所求的一元二次方程为：
二、求值题：
1、提示：由韦达定理得：，，∴
2、提示：由韦达定理得：，，∴
3、提示：由韦达定理得：，，
∴

4、提示：设这两个数为，于是有，，因此可看作方程的两根，即，，所以可得方程：，解得：，，所以所求的两个数分别是，。
5、提示：由韦达定理得，，∵，∴，
∴，∴，化简得：；解得：，；以下分两种情况：
①当时，，，组成方程组： ；解这个方程组得：；
②当时，，，组成方程组：；解这个方程组得：
6、提示：设和相同的根为，于是可得方程组：
；①②得：，解这个方程得：；
以下分两种情况：（1）当时，代入①得；（2）当时，代入①得。
所以和相同的根为，的值分别为，。
三、能力提升题：
1、提示：方程有正的实数根的条件必须同时具备：①判别式△≥0；②＞0，＞0；于是可得不等式组：

解这个不等式组得：＞1
2、提示：（1）的判别式△
＞0，所以无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。（2）利用韦达定理，并根据已知条件可得：
   
解这个关于的方程组，可得到：，，由于，所以可得，解这个方程，可得：，；
3、提示：可利用韦达定理得出①＞0，②＞0；于是得到不等式组：

求得不等式组的解，且兼顾；即可得到＞，再由可得：，接下去即可根据，＞，得到，即：＝4
4、答案：存在。
提示：因为，所以可设（）；由韦达定理得：，；于是可得方程组：解这个方程组得：①当时，；②当时，； 所以的值有两个：；；
5、提示：由韦达定理得：，，则，即，解得：
6、提示：利用求根公式可分别表示出方程和的根：
，，
∴，∴，∴，
又∵，变形得：，∴，∴

桂馥兰香

4.6 一元二次方程根与系数的关系
同步练习
一、选择题
1．若，是一元二次方程的两个根，则的值是（    ）
A．2          B．1          C．―1        D．3
2．若关于x的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则k的值为（　　）
A．－1或 　   B．－1　    C．　  D．不存在
3．方程x2-3x-6=0与方程x2-6x+3=0的所有根的乘积为（    ）
A．-18        B．18         C．-3          D．3
4．若x1，x2是一元二次方程2x2-3x+1=0的两个根，则x12+x22 的值是（    ）
A．        B．           C．        D．7
5．若关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0的两个实数根x1，x2，且x1·x2＞x1＋x2－4，则实数m的取值范围是（    ）
A．m＞      B．m≤       C．m＜      D． ＜m≤
5．已知方程x2+(2k+1)x+k2－2=0的两实根的平方和等于11，k的取值是（    ）
A．3                B．－3                C．1                D．－3或1       
6．下列说法中不正确的是（    ）
A．方程x2+2x-7=0的两实数根之和为－2
B．方程x2-3x-5=0的两实数根之积为-5
C．方程x2-2x-7=0的两实数根的平方和为18
D.方程x2-3x-5=0的两实数根的倒数和为
7．如果x的方程x2+kx+1=0的两根的差为1，那么k的值为（    ）
A．±2       B．±      C．±       D．±
8．已知关于x的方程5x2+kx-6=0的一个根为2，设方程的另一个根为x1，则有（    ）
A．x1=，k=-7     B．x1=-，k=-7      C．x1=-，k=7     D．x1=，k=7
二、填空题
1．已知一元二次方程的两根为、，则      　．
2．如果，是方程的两个根，那么＝          ．
3．已知，是方程的两实数根，则的值为______．
4．已知、是关于的方程的两个实数根，且＋＝，则＝         ．
5．设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，则(x1+1)(x2+1)=       ．
6．若方程的两根为a、β，则       ．
7．若方程的两根之比是2：3，则k=         ．
8．请写出一个二次项系数为1，两实根之和为3的一元二次方程：                                    ．
三、解答题
1．已知关于x的二次方程x2+mx-1=0的一个根是，求另一个根及m的值．



2．已知关于x的方程x2－（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．




3．α，β是关于x的一元二次方程(m－1)x2－x + 1 = 0的两个实数根，且满足(α+1)(β+1) = m +1，求实数m的值．



4．已知关于x的方程，问：是否存在正实数m,使方程的两个实数根的平方和等于56，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.









5．已知关于x的一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O．
(1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程两根为x1、x2，且满足+ =－，求m的值．
















参考答案
一、选择题
1．B；  2．C；  3．A；  4．A；   5．D；  6．D；   
7．B．〖提示〗令x1＞x2，因为x1+x2=-k，x1x2=1，所以x1-x2=
=1，所以k2-2=1，所以k=±．
8．B．提示：因为x1x2=-，所以2x1=-，所以x1=-，又x1+x2=，所以k=5×（）=-7．
二、填空题
1．；    2．6；   3．10；  4．；  5．；   
6．10；    7．3；   8．答案不唯一，如x2-3x-2=0等；
三、解答题
1．设方程的另一个根为x1，那么（）·x1=－1，所以x1=－．
又因为，所以m=2．所以方程的另一个根为．

2．设方程的两根 x1、x2，则x1+x2=k+1，x1x2=k+2．因为x12+x22=(x1+x2)2―2x1x2=6，即(k+1)2－2（k+2）=6，解之，得k=±3．当k=3时，△=(k+1)2－4（k+2）=42－4×5＜0．当k=－3时，△=(-2)2－4（-1）=8＞0．
所以k=3不合题意，舍去，故k=－3．

3．根据题意，得α+β=，αβ=，且m-1≠0．
因为(α+1)(β+1) = m +1，所以αβ+（α+β）=m，所以+=m，所以m2-m-2=0，所以m1=2，m2=1（不合题意，舍去）．即实数m的值为2．

4．设方程的两实数根是x1、x2，假设存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于56，则x12+x22=56，所以（x1+x2）2-2x1x2=56，又因为x1+x2=2（m-2），x1x2=m2， 所以4(m-2)2-2m2=56，所以m2-8m-20=0，所以m1=-8，m2=10．
因为m为正数，所以m=-8舍去．
当m=10时，原方程变形为x2－16x+100=0，该方程的△=（-16）2-4×100＜0，与该方程有两个实数根相矛盾．
所以不存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于56．

5．（1）证明：因为一元二次方程x2+(4m+1)x+2m-1=O的根的判别式
△=(4m+1)2－4（2m-1）=16m2+8m+1-8m+4=16m2+5．
因为不m取何值时，m2≥0，所以16m2+5总大于0，即不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）因为方程两根为x1、x2，所以x1+x2=－（4m+1），x1x2=2m－1，
因为+ =－，所以，所以，所以m=．

桂馥兰香

4.6 一元二次方程的根与系数的关系
◆随堂检测
1、已知一元二次方程的两根为、，则______．
2、关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2，则______，______．
3、一元二次方程的两实数根相等，则的值为（   ）
A．      B．或      C．      D．或
4、已知方程的两个根为、，求的值.


◆典例分析
已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；     （2）当时，求的值．
（提示：如果、是一元二次方程的两根，那么有，）
分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.


◆课下作业  ●拓展提高
1、关于的方程的两根同为负数，则（   ）
A．且   B．且    C．且    D．且
2、若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（   ）      
A、－1或      B、－1      C、       D、不存在
(注意:的值不仅须满足,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即的值必须使得△才可以.)
3、已知、是方程的两实数根，求的值.


4、已知关于的方程的一个根是另一个根的2倍，求的值.



5、已知，是关于的方程的两个实数根．
（1）求，的值；
（2）若，是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m，p满足什么条件时，此直角三角形的面积最大？并求出其最大值．



●体验中考
1、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（   ）    A．    B．3    C．6    D．9
(提示：如果直接解方程，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)
2、已知是关于的一元二次方程的两个实数根,则式子的值是（   ）
A．      B．      C．      D．




参考答案：
◆随堂检测
1、.    依据一元二次方程根与系数的关系可得.
2、－3,2    依据一元二次方程根与系数的关系可得，
∴.
3、B.    △＝，∴或，故选B.
4、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴.
◆课下作业
●拓展提高
1、A.    由一元二次方程根与系数的关系可得：，当方程的两根同为负数时，，∴且，故选A.
2、C.    由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∵，∴，解得，.
当时,△＝,此时方程无实数根,故不合题意,舍去.
当时,△＝,故 符合题意.综上所述,.故选C.
3、解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴.
4、解：设方程的两根为、，且不妨设.
则由一元二次方程根与系数的关系可得：，
代入,得,∴,.
5、解：（1）原方程变为：
∴，
∴，
即，
∴，．
（2）∵直角三角形的面积为=
=
=，
∴当且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为或．
●体验中考
1、B.    设和是方程的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：   ∴，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B.
2、D    由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴.故选D.

桂馥兰香

一元二次方程根与系数的关系  练习题
A    组
1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(        )
        A．                B．        C．                        D．
2．若是方程的两个根，则的值为(         )
        A．                        B．                                C．                                D．
3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于(         )
        A．                        B．                                C．                        D．
4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是(        )
        A．                B．                C．                        D．大小关系不能确定
5．若实数，且满足，则代数式的值为(          )
        A．                        B．                                C．                        D．
6．如果方程的两根相等，则之间的关系是 ______．
7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______ ．
8．若方程的两根之差为1，则的值是 _____ ．
9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则= _____ ，= _____ ．
10．已知实数满足，则= _____ ，= _____ ，= _____ ．
11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？请您说明理由．


12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．



13．已知关于的一元二次方程．
        (1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
        (2) 若方程的两根为，且满足，求的值．



14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．
        (1) 取何值时，方程存在两个正实数根？
        (2) 当矩形的对角线长是时，求的值．









B    组
1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．
        (1) 求的取值范围；
        (2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．



2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．求证：关于的方程有实数根．



3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．
        (1) 求实数的取值范围；
        (2) 若，求的值．



答案

A组
1． B        2． A        3．A        4．A        5．A
6．
7． 3                8． 9或                        9．
10．                        11．正确                        12．4
13．
14．

B组
1．                (2) 不存在
2．        (1)当时，方程为，有实根；(2) 当时，也有实根．
3．(1)         ；        (2) ．