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福建省泉州市中考数学二模试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）计算|﹣3|的结果是（ ） A．3 B． C．﹣3 D． 2．（4分）如图是由八个相同小正方体组成的几何体，则其主视图是（ ） A． B． C． D． 3．（4分）从泉州市电子商务中心获悉，近年来电子商务产业蓬勃发展截止到3月，我市电商从业人员已达873 000人，数字873 000可用科学记数法表示为（ ） A．8.73×103 B．87.3×104 C．8.73×105 D．0.873×106 4．（4分）下列各式的计算结果为a5的是（ ） A．a7﹣a2 B．a10÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a）2•a3 5．（4分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 6．（4分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 7．（4分）去年某市7月1日到7日的每一天最高气温变化如折线图所示，则关于这组数据的描述正确的是（ ） A．最低温度是32℃ B．众数是35℃ C．中位数是34℃ D．平均数是33℃ 8．（4分）在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（ ） A．8x﹣3＝7x+4 B．8（x﹣3）＝7（x+4） C．8x+4＝7x﹣3 D． x+4 9．（4分）如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是（ ） A． B． C． D． 10．（4分）如图，反比例函数y＝ 的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，若点D的坐标为（﹣1，0），则k的值为（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）已知a＝（ ）0，b＝2﹣1，则a b（填“＞”，“＜”或“＝”）． 12．（4分）正八边形的每一个内角的度数为 度． 13．（4分）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的m个红球，6个黄球，3个白球现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算m的值是 ． 14．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°，得到△ADE．这时点D、E、B恰好在同一直线上，则∠ABC的度数为 ． 15．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣2）x﹣1＝0有两个相等实数根，则m的值为 ． 16．（4分）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为BC中点，连结AE，将△ABE沿AE折叠到△AB'E的位置，若∠BAE＝45°，则点B'到直线BC的距离为 ． 三、解答题：（本题共9小题，共86分） 17．（8分）解方程： ﹣ ＝1． 18．（8分）先化简，再求值： ，其中a＝ ． 19．（8分）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm． （1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长． 20．（8分）为进一步弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展以下四项活动：A经典古诗文朗诵；B书画作品鉴赏；C民族乐器表演；D围棋赛．学校要求学生全员参与，且每人限报一项．九年级（1）班班长根据本班报名结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）直接填空：九年级（1）班的学生人数是 ，在扇形统计图中，B项目所对应的扇形的圆心角度 数是 ； （2）将条形统计图补充完整； （3）用列表或画树状图的方法，求该班学生小聪和小明参加相同项目活动的概率． 21．（8分）求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程） 22．（10分）如图，菱形ABCD中，BC＝ ，∠C＝135°，以点A为圆心的⊙A与BC相切于点E． （1）求证：CD是⊙A的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 23．（10分）某公交公司决定更换节能环保的新型公交车．购买的数量和所需费用如下表所示： A型数量（辆） B型数量（辆） 所需费用（万元） 3 1 450 2 3 650 （1）求A型和B型公交车的单价； （2）该公司计划购买A型和B型两种公交车共10辆，已知每辆A型公交车年均载客量为60万人次，每辆B型公交车年均载客量为100万人次，若要确保这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次，则A型公交车最多可以购买多少辆？ 24．（13分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝ ，AD＝3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F． （1）求证：∠BFE＝∠ADE； （2）求BF的最大值； （3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长． 25．（13分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（﹣3，0），顶点为C（﹣1，﹣2） （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标； （3）试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤ ．
福建省泉州市中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）计算|﹣3|的结果是（ ） A．3 B． C．﹣3 D． 【分析】根据绝对值的性质进行计算． 【解答】解：|﹣3|＝3． 故选：A． 【点评】本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 2．（4分）如图是由八个相同小正方体组成的几何体，则其主视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】主视图是从图形的正面看所得到的图形，根据小正方体的摆放方法，画出图形即可． 【解答】解：主视图有3列，从左往右分别有3，1，2个小正方形， 故选：C． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图是从物体的正面看得到的视图． 3．（4分）从泉州市电子商务中心获悉，近年来电子商务产业蓬勃发展截止到3月，我市电商从业人员已达873 000人，数字873 000可用科学记数法表示为（ ） A．8.73×103 B．87.3×104 C．8.73×105 D．0.873×106 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：数字873 000可用科学记数法表示为8.73×105． 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4．（4分）下列各式的计算结果为a5的是（ ） A．a7﹣a2 B．a10÷a2 C．（a2）3 D．（﹣a）2•a3 【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案． 【解答】解：A、a7﹣a2，无法计算，故此选项错误； B、a10÷a2＝a8，故此选项错误； C、（a2）3＝a6，故此选项错误； D、（﹣a）2•a3＝a5，故此选项正确． 故选：D． 【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 5．（4分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1； 解不等式﹣3x+6≥0，得：x≤2， 所以不等式组的解集为：1＜x≤2， 数轴上表示为： ， 故选：C． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 6．（4分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案． 【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴． 7．（4分）去年某市7月1日到7日的每一天最高气温变化如折线图所示，则关于这组数据的描述正确的是（ ） A．最低温度是32℃ B．众数是35℃ C．中位数是34℃ D．平均数是33℃ 【分析】将数据从小到大排列，由中位数及众数、平均数的定义，可得出答案． 【解答】解：由折线统计图知这7天的气温从低到高排列为：31、32、33、33、33、34、35， 所以最低气温为31℃，众数为33℃，中位数为33℃，平均数是 ＝33℃， 故选：D． 【点评】本题考查了众数、中位数的知识，解答本题的关键是由折线统计图得到最高气温的7个数据． 8．（4分）在《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数几何？大意为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元．问人数是多少？若设人数为x，则下列关于x的方程符合题意的是（ ） A．8x﹣3＝7x+4 B．8（x﹣3）＝7（x+4） C．8x+4＝7x﹣3 D． x+4 【分析】根据“总钱数不变”可列方程． 【解答】解：设人数为x， 则可列方程为：8x﹣3＝7x+4 故选：A． 【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程． 9．（4分）如图，在3×3的网格中，A，B均为格点，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧，图中的点C是该弧与格线的交点，则sin∠BAC的值是（ ） A． B． C． D． 【分析】如图作CH⊥AB于H．在Rt△ACH中，sin∠BAC＝ ＝ 即可解决问题； 【解答】解：如图作CH⊥AB于H． 在Rt△ACH中，sin∠BAC＝ ＝ ， 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 10．（4分）如图，反比例函数y＝ 的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，若点D的坐标为（﹣1，0），则k的值为（ ） A．2 B．﹣2 C． D． 【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而可以得到点E的坐标，进而求得k的值，从而可以解答本题． 【解答】解：∵反比例函数y＝ 的图象经过正方形ABCD的顶点A和中心E，点D的坐标为（﹣1，0）， ∴点A的坐标为（﹣1，﹣k）， ∴点E的坐标为（﹣1+0.5k，﹣0.5k）， ∴﹣0.5k＝ ， 解得，k＝﹣2， 故选：B． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的知识解答． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）已知a＝（ ）0，b＝2﹣1，则a ＞ b（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】直接利用零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案． 【解答】解：∵a＝（ ）0，b＝2﹣1， ∴a＝1，b＝ ， ∴a＞b． 故答案为：＞． 【点评】此题主要考查了零指数幂的性质和负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 12．（4分）正八边形的每一个内角的度数为 135 度． 【分析】利用多边形的外角和为360度，求出正八边形的每一个外角的度数即可解决问题． 【解答】解：∵正八边形的每个外角为：360°÷8＝45°， ∴每个内角为180°﹣45°＝135°． 【点评】本题需仔细分析题意，利用多边形的外角和即可解决问题． 13．（4分）一个暗箱中放有除颜色外其他完全相同的m个红球，6个黄球，3个白球现将球搅匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%附近，由此可以估算m的值是 11 ． 【分析】直接利用样本估计总体，进而得出关于m的等式求出答案． 【解答】解：由题意可得： ＝30%， 解得：m＝11， 故答案为：11． 【点评】此题主要考查了用样本估计总体，正确得出关于m的等式是解题关键． 14．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°，得到△ADE．这时点D、E、B恰好在同一直线上，则∠ABC的度数为 30° ． 【分析】由旋转性质知∠EAC＝∠DAB＝120°，∠ABC＝∠ADE，AB＝AD，再等腰△DAB中得∠ADE＝∠DBA＝ ＝30°，据此可得答案． 【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE， ∴∠EAC＝∠DAB＝120°，∠ABC＝∠ADE，AB＝AD， ∴在△DAB中，∠ADE＝∠DBA＝ ＝30°， 则∠ADE＝∠ABC＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等． 15．（4分）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣2）x﹣1＝0有两个相等实数根，则m的值为 0 ． 【分析】根据一元二次方程的根的判别式△＝0列出关于m的方程，通过解方程即可求得m的值． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣2）x﹣1＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（2m﹣2）2+4（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0， ∴4m﹣1＝0，m≠1 解得，m＝0． 故答案是：0． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 16．（4分）在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E为BC中点，连结AE，将△ABE沿AE折叠到△AB'E的位置，若∠BAE＝45°，则点B'到直线BC的距离为 ． 【分析】如图连接BB′，作B′H⊥BC于H．利用△BOE∽△BHB′，可得 ＝ ，由此即可解决问题； 【解答】解：如图连接BB′，作B′H⊥BC于H． ∵∠BAE＝∠EAB′＝45°， ∴∠BAB′＝90°， ∵AB＝AB′＝2， ∴BB′＝2 ， ∵AE⊥BB′， ∴OB＝OB′＝ ， ∵BE＝EC＝1.5， ∴OE＝ ＝0.5， ∵∠EBO＝∠HBB′，∠BOE＝∠BHB′＝90°， ∴△BOE∽△BHB′， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴B′H＝ ． 故答案为 ． 【点评】本题考查翻折变换、平行四边形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题． 三、解答题：（本题共9小题，共86分） 17．（8分）解方程： ﹣ ＝1． 【分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6，切勿漏乘不含有分母的项，另外分数线有两层意义，一方面它是除号，另一方面它又代表着括号，所以在去分母时，应该将分子用括号括上． 【解答】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）＝6， 去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2＝6， 移项得：﹣x＝17， 系数化为1得：x＝﹣17． 【点评】注意：在去分母时，应该将分子用括号括上．切勿漏乘不含有分母的项． 18．（8分）先化简，再求值： ，其中a＝ ． 【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，再将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解： ＝ ＝ ＝a2， 当a＝ 时，原式＝ ＝ ． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分是化简求值的方法． 19．（8分）如图，在锐角△ABC中，AB＝2cm，AC＝3cm． （1）尺规作图：作BC边的垂直平分线分别交AC，BC于点D、E（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，连结BD，求△ABD的周长． 【分析】（1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作DE垂直平分BC； （2）利用线段垂直平分线的性质得到DB＝DC，则利用等量代换得到△ABD的周长＝AB+AC，然后把AB＝2cm，AC＝3cm代入计算计算． 【解答】解：（1）如图，DE为所作； （2）∵DE垂直平分BC， ∴DB＝DC， ∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+CD+AD＝AB+AC＝2+3＝5（cm）． 【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 20．（8分）为进一步弘扬中华优秀传统文化，某校决定开展以下四项活动：A经典古诗文朗诵；B书画作品鉴赏；C民族乐器表演；D围棋赛．学校要求学生全员参与，且每人限报一项．九年级（1）班班长根据本班报名结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题： （1）直接填空：九年级（1）班的学生人数是 50 ，在扇形统计图中，B项目所对应的扇形的圆心角度 数是 144° ； （2）将条形统计图补充完整； （3）用列表或画树状图的方法，求该班学生小聪和小明参加相同项目活动的概率． 【分析】（1）依据项目A的数据，即可得到九年级（1）班的学生人数，依据B项目所占的百分比，即可得出B项目所对应的扇形的圆心角度数； （2）依据D项目所对应的人数为50﹣15﹣20﹣10＝5，即可将条形统计图补充完整； （3）画树状图，即可得到共有16种等可能的结果，其中小聪和小明参加相同项目活动的情况有4种，进而得到小聪和小明参加相同项目活动的概率． 【解答】解：（1）九年级（1）班的学生人数是15÷30%＝50（人）， B项目所对应的扇形的圆心角度数是360°× ＝144°， 故答案为：50，144°； （2）D项目所对应的人数为50﹣15﹣20﹣10＝5， 条形统计图如图所示： （3）画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小聪和小明参加相同项目活动的情况有4种， ∴P（参加相同项目活动）＝ ＝ ． 【点评】本题考查列表法与树状图法，当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．解答本题的关键是明确题意，利用概率公式求出相应的概率． 21．（8分）求证：矩形的对角线相等．（要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程） 【分析】由“四边形ABCD是矩形”得知，AB＝CD，AD＝BC，矩形的四个角都是直角，再根据全等三角形的判定原理SAS判定全等三角形，由此，得出全等三角形的对应边相等的结论． 【解答】解：已知：四边形ABCD是矩形，AC与BD是对角线， 求证：AC＝BD， 证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°， 又∵BC＝CB， ∴△ABC≌△DCB（SAS）， ∴AC＝BD， 所以矩形的对角线相等 【点评】本题考查的是矩形的性质和全等三角形的判定．（1）在矩形中，对边平行相等，四个角都是直角；（2）全等三角形的判定原理AAS；三个判定公理（ASA、SAS、SSS）；（3）全等三角形的对应边、对应角都相等． 22．（10分）如图，菱形ABCD中，BC＝ ，∠C＝135°，以点A为圆心的⊙A与BC相切于点E． （1）求证：CD是⊙A的切线； （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接AE，根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质以及切线的判定证明即可； （2）利用菱形的性质和扇形的面积公式解答即可． 【解答】证明：（1）连接AE，过A作AF⊥CD， ∴∠AFD＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D， ∵BC与⊙A相切于点E， ∴AE⊥BC， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△AEB与△AFD中， ， ∴△AEB≌△AFD， ∴AF＝AE， ∴CD是⊙A的切线； （2）在菱形ABCD中，AB＝BC＝ ，AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝135°， ∴∠B＝180°﹣135°＝45°， 在Rt△AEB中，∠AEB＝90°， ∴AE＝AB•sin∠B＝ ， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AE＝3 ， 在菱形ABCD中，∠BAD＝∠C＝135°，AE＝ ， ∴扇形MAN的面积＝ ， ∴阴影面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形MAN的面积＝ ． 【点评】此题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键． 23．（10分）某公交公司决定更换节能环保的新型公交车．购买的数量和所需费用如下表所示： A型数量（辆） B型数量（辆） 所需费用（万元） 3 1 450 2 3 650 （1）求A型和B型公交车的单价； （2）该公司计划购买A型和B型两种公交车共10辆，已知每辆A型公交车年均载客量为60万人次，每辆B型公交车年均载客量为100万人次，若要确保这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次，则A型公交车最多可以购买多少辆？ 【分析】（1）根据“购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需450万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需650万元”列方程组求解可得； （2）设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车（10﹣x）辆，根据“这10辆公交车年均载客量总和不少于670万人次”求得x的范围即可． 【解答】解：（1）设A型和B型公交车的单价分别为a万元，b万元，根据题意，得： ， 解得： ， 答：购买每辆A型公交车100万元，购买每辆B型公交车150万元； （2）设购买A型公交车x辆，则购买B型公交车（10﹣x）辆， 根据题意得：60x+100（10﹣x）≥670， 解得：x≤8 ， ∵x＞0，且10﹣x＞0， ∴0＜x＜8 ， ∴x最大整数为8， 答：A型公交车最多可以购买8辆． 【点评】本题主要考查二元一次方程组、一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系或不等式关系以列出方程组和不等式是解题的关键． 24．（13分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝ ，AD＝3，点E从点B出发，沿BC边运动到点C，连结DE，过点E作DE的垂线交AB于点F． （1）求证：∠BFE＝∠ADE； （2）求BF的最大值； （3）如图2，在点E的运动过程中，以EF为边，在EF上方作等边△EFG，求边EG的中点H所经过的路径长． 【分析】（1）依据∠BFE+∠BEF＝90°，∠CED+∠BEF＝90°，即可得到∠BFE＝∠CED，再根据∠CED＝∠ADE，即可得出∠BFE＝∠ADE； （2）依据△BEF∽△CDE，即可得到 ＝ ，设BE＝x（0≤x≤3），则CE＝3﹣x，根据BF＝ ＝ ，即可得到当x＝ 时，BF存在最大值 ； （3）连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM，依据BM＝EM＝HM＝FM，可得点B，E，H，F四点共圆，连接BH，则∠HBE＝∠EFH＝30°，进而得到点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30°的射线上，再过C作CH'⊥BH于点H'，根据点E从点B出发，沿BC边运动到点C，即可得到点H从点B沿BH运动到点H'，再利用在Rt△BH'C中，BH'＝BC•cos∠CBH'＝3× ＝ ，即可得出点H所经过的路径长是 ． 【解答】解：（1）证明：如图1，在矩形ABCD中，∠B＝90°， ∴∠BFE+∠BEF＝90°， ∵DE⊥EF， ∴∠CED+∠BEF＝90°， ∴∠BFE＝∠CED， ∵AD∥BC， ∴∠CED＝∠ADE， ∴∠BFE＝∠ADE；
（2）由（1）可得，∠BFE＝∠CED，∠B＝∠C＝90°， ∴△BEF∽△CDE， ∴ ＝ ， 在矩形ABCD中，BC＝AD＝3，AB＝CD＝ ， 设BE＝x（0≤x≤3），则CE＝3﹣x， ∴BF＝ ＝ ＝﹣ + x＝ ， ∵﹣ ＜0，0≤x≤3， ∴当x＝ 时，BF存在最大值 ；
（3）如图2，连接FH，取EF的中点M，连接BM，HM， 在等边三角形EFG中，EF＝FG，H是EG的中点， ∴∠FHE＝90°，∠EFH＝ ∠EFG＝30°， 又∵M是EF的中点， ∴FM＝HM＝EM， 在Rt△FBE中，∠FBE＝90°，M是EF的中点， ∴BM＝EM＝FM， ∴BM＝EM＝HM＝FM， ∴点B，E，H，F四点共圆， 连接BH，则∠HBE＝∠EFH＝30°， ∴点H在以点B为端点，BC上方且与射线BC夹角为30°的射线上， 如图，过C作CH'⊥BH于点H'， ∵点E从点B出发，沿BC边运动到点C， ∴点H从点B沿BH运动到点H'， 在Rt△BH'C中，∠BH'C＝90°， ∴BH'＝BC•cos∠CBH'＝3× ＝ ， ∴点H所经过的路径长是 ． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形以及四点共圆的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形斜边上中线的性质以及含30°角的直角三角形的性质得出结论． 25．（13分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A、B（﹣3，0），顶点为C（﹣1，﹣2） （1）求该二次函数的解析式； （2）如图，过A、C两点作直线，并将线段AC沿该直线向上平移，记点A、C分别平移到点D、E处．若点F在这个二次函数的图象上，且△DEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标； （3）试确定实数p，q的值，使得当p≤x≤q时，p≤y≤ ． 【分析】（1）由二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为C（﹣1，﹣2），可设其解析式为y＝a（x+1）2﹣2，再把B（﹣3，0）代入，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式； （2）由二次函数的解析式求出A（1，0）．过点C作CH⊥x轴于点H．解直角△ACH，得出AH＝2＝CH，那么∠1＝45°，AC＝2 ．解等腰直角△DEF得出∠2＝45°，EF＝4，由∠1＝∠2＝45°，得到EF∥CH∥y轴．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x﹣1．设F（m， m2+m﹣ ）（其中m＞1），则点E（m，m﹣1），那么EF＝（ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）＝ m2﹣ ＝4，解方程求出m，进而得出点F的坐标； （3）先求出y＝ 时x1＝﹣4，x2＝2．再根据二次函数的性质可知，当p≤x≤q时，p≤y≤ ，应分三种情况讨论：①p≤q≤﹣1；②p＜﹣1≤q；③﹣1≤p＜q． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点为C（﹣1，﹣2）， ∴可设该二次函数的解析式为y＝a（x+1）2﹣2， 把B（﹣3，0）代入，得0＝a（x+1）2﹣2， 解得a＝ ， ∴该二次函数的解析式为y＝ （x+1）2﹣2；
（2）由 （x+1）2﹣2＝0，得x＝﹣3或1， ∴A（1，0）． 如图，过点C作CH⊥x轴于点H． ∵C（﹣1，﹣2）， ∴CH＝2，OH＝1， 又∵AO＝1， ∴AH＝2＝CH， ∴∠1＝45°，AC＝ ＝2 ． 在等腰直角△DEF中，DE＝DF＝AC＝2 ，∠FDE＝90°， ∴∠2＝45°，EF＝ ＝4， ∴∠1＝∠2＝45°， ∴EF∥CH∥y轴． 由A（1，0），C（﹣1，﹣2）可得直线AC的解析式为y＝x﹣1． 由题意，设F（m， m2+m﹣ ）（其中m＞1），则点E（m，m﹣1）， ∴EF＝（ m2+m﹣ ）﹣（m﹣1）＝ m2﹣ ＝4， ∴m1＝3，m2＝﹣3（不合题意舍去）， ∴点F的坐标为（3，6）；
（3）当y＝ 时， （x+1）2﹣2＝ ，解得x1＝﹣4，x2＝2． ∵y＝ （x+1）2﹣2， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而减小；当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； 当x＝﹣1时，y有最小值﹣2． ∵当p≤x≤q时，P≤y≤ ， ∴可分三种情况讨论： ①当p≤q≤﹣1时，由增减性得： 当x＝p＝﹣4时，y最大＝ ，当x＝q时，y最小＝﹣4＜﹣2，不合题意，舍去； ②当p＜﹣1≤q时， （Ⅰ）若（﹣1）﹣p＞q﹣（﹣1），由增减性得： 当x＝p＝﹣4时，y最大＝ ，当x＝﹣1时，y最小＝﹣2≠p，不合题意，舍去； （Ⅱ）若（﹣1）﹣p≤q﹣（﹣1），由增减性得： 当x＝q＝2时，y最大＝ ，当x＝﹣1时，y最小＝p＝﹣2，符合题意， ∴p＝﹣2，q＝2； ③当﹣1≤p＜q时，由增减性得： 当x＝q＝2时，y最大＝ ，当x＝p时，y最小＝p， 把x＝p，y＝p代入y＝ （x+1）2﹣2，得p＝ （p+1）2﹣2， 解得p1＝ ，p2＝﹣ ＜﹣1（不合题意，舍去）， ∴p＝ ，q＝2． 综上所述，满足条件的实数p，q的值为p＝﹣2，q＝2或p＝ ，q＝2． 【点评】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，函数图象上点的坐标特征等知识．综合性较强，有一定难度．利用数形结合与分类讨论是解题的关键．期：2019/5/6 14:38:38；用户：初中校园号；邮箱： wjwl@xyh.com；学号24424282
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发表于 2020-6-14 19:48:34
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