特级教师和学生谈数学思考

与你同行

试商、调商有规律



钱守旺



许多同学刚开始学习除数是两位数的除法时，计算速度往往比较慢。原因就是试商、调商的规律还没有掌握。下面简单给同学们介绍一些规律。

1．当除数个位上的数是1、2、3、4时，在一般情况下，可以把除数的尾数舍去，把它看作和除数接近的整十数来试商。但“四舍”初商容易大，如43O÷62，把除数“四舍”看作60，试商7，7与62相乘，得434，积比被除数大，说明商7大了，应该改商6，6与62相乘，积是372，43O减去372，余数是58，比除数62小，说明商6合适。由此可知，除数若往小看，初商容易大。计算时同学们可记住“四舍商易大，初商可减1”的规律。

2．当除数个位上的数是5、6、7．8、9时，在一般情况下，可以把除数个位上的数“五入”为整十数来试商。但“五入”初商易小，如278÷38，把除数“五入”看作40，试商6，6与38相乘得228，278减去228得50，余数比除数大，说明商小了。应该改商7，7与38相乘得266，278减去266得12，余数比除数小，说明商7合适。从这道题看出，把除数往大看，初商容易小。因此要记住“五入商易小，初商可加1”的规律。

3．当除数个位上的数是4、5、6时，也可以看成几十五直接口算。

4．几种特殊情况。

（1）当被除数的前两位数正好是除数的一半时，可以直接商5，如328÷64、195÷38、457÷90等。可简记作“够半商5”。

（2）当被除数和除数的最高位相同，而第二位的差数不超过首位时，通常可以商“9”，如440÷46、802÷8、900÷98等。

当被除数和除数的最高位相同，而第二位的差数超过首位时，通常可以商“8”，如410÷46、152÷18、325÷38等。

同学们知道了试商调商的规律，还要在计算中慢慢体会如何正确应用，不断积累经验，增强试商的准确性，提高试商的速度。

（本文作者钱守旺为河北玉田师范附小特级教师）

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根据具体情况选用不同算法



陶爱珍



在一次数学练习课上，王老师出了三道题目，要求同学们先认真思考，然后再计算。

①14÷8÷0.14            ②5.36×8÷4            ③2O÷O.3×l.5

同学们很快在自己的本子上算出了①、②两题的答案：

  14÷8÷0.14              5.36×8÷4              2O÷O.3×l.5
    ＝1.75÷0.14             ＝42.88÷4              ＝
    ＝12.5                   ＝10.72                 ＝

当算到第③题时，大家停住了笔，对老师说，这道题不能做，因为第一步的计算结果除不尽。王老师笑笑对大家说，看到题目后，要学会先思考分析，再根据具体情况，选用不同的解题方法，其实这道题是可以简便运算的。说着，王老师在黑板上写了两道题：

  270÷45÷3               27O÷（45×3）
    ＝6÷3                   ＝270÷135
    ＝2                      ＝2

比较这两道题的计算，它们的结果相等，同学们得到了启发，很快地算出了第③题的结果，还学会了前二题的简便运算。小朋友，你知道这三道题目是如何简便运算的吗？

用递等式计算乘除两步运算式题时，通常要按从左到右的顺序依次运算。仔细推敲“通常”一词，它有两层含义：一般情况下都按从左到右顺序计算；有些特殊情况，可灵活地改变顺序，使运算简便。

现在我们来看刚才解答的三道题。

14÷8÷0.14，如果先算14÷0.14＝100，再算100÷8＝12.5，就比较简便。5.36×8÷4，从左往右依次计算比较烦琐，但根据题中8和4有倍数关系，把原式转化成5.36×（8÷4）＝5.36×2，就要容易一些。再看20÷0.3×1.5，更有多种解答方法。先算20×1.5，再算3O÷0.3＝100；或先把原式转化成20×1.5÷0.3，再把它转化成20×（1.5÷0.3）＝20×5＝100。

接着，王老师说，在数学王国中，没有一成不变的东西，只要我们勤学习，善思考，学会根据实际问题，作具体分析，灵活地选用不同的解题方法，才能自由自在地到数学王国中去遨游。

练一练：

计算下面各题。

①6400÷125÷8

②72OO÷24÷3

③1800÷（25×l8）

（本文作者陶爱珍为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事，上海市教研室教研员。）

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各有各的理由

任雪三

孙老师给多多、来来和敏敏出了一道应用题，看谁算得对，算得快。题目是： 两瓶同样重的色拉油，甲瓶吃去，乙吃去千克，哪一瓶吃去的多？ 小机灵鬼多多一见题目就抢先说：甲瓶吃去的多。假设两瓶油都是2千克，那么，甲瓶吃去了2×＝1（千克），而乙瓶才吃去千克，显然是甲瓶吃去的多嘛！ 从来不甘心落后的来来接着说：我认为是乙瓶吃去的多。假设两瓶油都是千克，那么，甲瓶吃去×＝（千克），不是小于吗？所以，应该是乙瓶吃去的多。 一向沉稳的敏敏最后说：依我看是两瓶吃去的同样多。假设两瓶油都是1千克，那么甲瓶就吃去1×＝（千克），乙瓶也吃去千克，这不是吃去同样多吗？ 孙老师说：你们三人所得都有道理，各有各的理，各有各的理由。现在，我将你们三个人的意见综合起来，可以得出这样的结论： 如果油重大于1千克，就是吃去的较多；如果油重小于1千克，就是吃去千克的较多；如果油重等于1千克，就是吃去同样多。 三人听了孙老师的话，都高兴地笑了。

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激活思维，注意创新

汪超

从素质教育的要求和能力培养的需要出发，小学生在学好数学基础知识的同时，应当加强思维训练，不断提高自己的创新意识、积极培养创新能力。不过，这是一个漫长而艰巨的过程。其中最为重要的是在学习与思考过程中不因循守旧，不受条条框框的束缚，会根据面临的问题，有目的分层次地在大脑中展开检索，并获取相关信息，形成从问题到知识的关联点，在此基础上，整体入手、灵活思考、讲究变通与转化，鼓励标新立异、丰富想象，以谋求问题解决中的突破和创新。试以两例进行浅析。 例1．甲乙两人分别骑自行车在相距60千米的两地相对而行，甲乙骑车每小时速度分别为11千米、9千米。假若有一只蜜蜂在甲的前轮与甲同时出发以每小时15千米的速度飞向乙车前轮、触及前轮后又转身飞向甲车前轮，如此来回飞行、直到两车相遇时，蜜蜂停止飞行，问小蜜蜂总共飞行多少千米？ [分析与解］本题要是把蜜蜂看成前后若干次地与乙、与甲的相遇问题考虑那么解答复杂甚至不易解出来。因此该题应以整体思考转化思路。因为甲乙两人相对而行，他们从开始到相遇所花的时间是一定的、不变的，而甲乙从开始到相遇的时间也正是小蜜蜂来来回回飞行在两车前轮之间的时间，抓住不变量，又知小蜜蜂速度，即可求蜜蜂飞行总路程即15×[6÷（16＋9）］＝45千米。本题求解的关键即是思维的新意集中体现在抓住了甲乙相遇时间这个“不变量”。 例2．一辆客车从甲地开往乙地，第一小时行驶60千米，比第两个小时多行行驶，这两小时正好行完全程的，如果以后照前两个小时的平均速度，还要多少时间才能到达乙地？ [分析与解］这道题多数同学是用常规方法求解。 （l）根据已知条件先求出开始的两个小时客车所行程。 6O＋6O÷（1＋）＝108（千米） （2）再求出全程长。 1O8÷＝54O（千米） （3）进一步求出客车行驶两小时后剩下路程 54O－108＝432（千米）或540×（1－）＝432（千米） （4）客车按前两小时平均速度行驶到乙地还需要的时间。 432÷（lO8÷2）＝8（时） 上述解法虽然无误，但费时较多，步骤不少，弄不好还易出错。该题要联系工程问题换个思路考虑，把要行驶的全程看作单位“l”那么，根据已知条件，前两个小时客车行驶全程的，这时还剩全程的1－＝，又因为两个小时行驶全程的，所以平均每小时行驶全程的÷2＝，要求照前两个小时的平均速度行驶，还需要多少小时到达乙地则有： （l－）÷（÷2）＝÷＝8（时） 整个解答富有特色、新颖、别致，而且简洁明快、算理清楚，体现了一种创新意识。

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解答分数乘除法应用题的小窍门

钱守旺

分数应用题是小学数学第十一册的重要内容，刚开始学习时，有些同学觉得有困难，特别是将分数乘除法应用题混合练习时，往往分不清到底该选用哪种方法。为了帮助同学们学好这部分知识，下面钱老师教你们两个“小窃门”。 1．如果你喜欢用算术和方程两种方法，那就请你记住下面的歌诀： 先抓分率句， 再定单位“1”， 写出关系式， 解法自分明。 请同学们看下面的例子。 （1）水彩画有50幅，蜡笔画比水彩画多，蜡笔画有多少幅？ （2）蜡笔画有80幅，蜡笔画比水彩画多，水彩画有多少幅？ 先抓分率句“蜡笔画比水彩画多”，根据这句话可知，两题都是把水彩画的数量看作单位“1”。由此我们可以写出下面的关系式： 水彩画的数量×（1＋）＝蜡笔画的数量 再将两题中的已知量标在关系式下： 水彩画的数量×（1＋）＝蜡笔画的数量      50 水彩画的数量×（1＋）＝蜡笔画的数量                               80 很明显，第（1）题单位“1”已知，也就是求50的（1＋）是多少。列式为50×（1＋）。 第（2）题单位“1”未知，可设为x，再根据关系式列方程解答。即x×（l＋）＝80。 2．如果你都想用算术方法解，那就请你记住下面的歌诀。 先抓分率句， 再定单位“1” 分清乘或除， 量率要对应。 说的更具体一点就是下面的规律。 （1）单位“1”已知，用乘法计算。 方法：单位“1×所求量的对应分率＝所求量 （2）单位“l”未知，用除法计算。 方法：已知量÷已知量的对应分率＝单位“l” 运用上面的规律时，同学们要记住：做乘法，要抓住问句，求什么，就用单位“l”乘以它所对应的分率。做除法，要抓住已知量，已知哪部分量，就除以这部分对应的分率。 例如，育才小学全校共有学生1500人，五年级人数占全校人数的，六年级人数占全校人数的，求五、六年级共有学生多少人？ 这道题我们把1500人（全校学生人数）看作单位“l”。单位“l”已知，用乘法计算。必须抓住问句，求出所求量的对应分率，即求五、六年级学生人数占全校人数的几分之几。这个分率题中没有直接告诉我们，可以用＋求出来。所以这道题应列式为1500×（＋）。 又如，仓库里有若干吨化肥，第一天运出总数的，第二天运出总数的，还剩49吨，仓库里原有化肥多少吨？ 这道题我们把仓库里的化肥总数看作单位“1”，单位“1”未知，用除法计算。做除法要抓住已知量，求出已知量的对应分率。题目里唯一的已知量是49吨，必须求出49吨的对应分率，也就是1－－。所以这道题应列式为49÷（l－－）。 小朋友，上面这些解题“小窍门”你都掌握了吗？ （本文作者钱守旺为河北玉田师范学校附属小学特级教师）

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细致观察巧用特例

王飞

有些难题，看似高不可攀，但只要我们勇于探索，细致观察，假以特例，就能出奇制胜，顺利解决问题。 例1．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ 这就是著名的百鸡问题。这道题的意思是：五个钱可买一只大公鸡，三个钱可买一只大母鸡，一个钱可买三只小鸡，今用1OO个钱，正好买了1OO只鸡。问其中大公鸡、大母鸡、小鸡各几只？ [分析与解］怎样用小学知识解答呢？我们细心观察题目发现：4只大公鸡和3只小鸡共值21个钱，而7只大母鸡也值21个钱。这就是说，每增加4只大公鸡和3只小鸡，同时减少7只大母鸡，不仅总只数保持不变，钱数也不变。 现在假定大公鸡买O只。此时原题就变成了我们容易解答的类似于“百僧分馍”的问题，即100个钱买100只鸡，母鸡一只3个钱，小鸡3只一个钱。问母鸡、小鸡各几只？ 对这个特例的解答，可以这样思考：因为1只大母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱。把1只大母鸡和3个小鸡看作“一组”，那么这一组的4只鸡共值4个钱，1OO个钱正好可以买这样的100÷4＝25（组），也就是，用100个钱可以买25只大母鸡，3×25＝75（只）小鸡。 有了上面的观察结论和特例结果，我们可用增减法求得百钱买百鸡的各种情况如下： 公鸡     0 只 母鸡     25只 小鸡     75只 增4      4 只 减7      18只 增3      78只 增4      8 只 减7      11只 增3      81只 增4      12只 减7      4 只 增3      84只 即符合原题的解共有4组。 例2．甲、乙二人在周长为400米的正方形池塘的相邻的两个角上，甲在乙之前，乙按甲走的线路同时出发，甲每分钟走42米，乙每分钟走34米。甲、乙出发后经过多少时间才能走到池塘的同一条边上？ ［分析与解］先作示意图如下： 甲在B点，乙在A点，这就是两人初始状态。现在甲、乙二人按箭头所示方向同时运动，经过多长时间才能走到池塘的同一条边上。这是一道追击距离不明确的追击问题。我们不妨从特例出发：甲、乙能走到池塘的同一条边上，正好是一条边的两个端点。这样就有了确定的追击目标。即甲追乙2OO米。根据追击公式得： 2OO÷（42－34）＝25（分）。 经过25分甲乙两人是否真走到了池塘的同一条边上呢？只有把甲乙两人放在图中观察，方可知晓。事实上，经过25分甲走的距离是：42×25＝1050（米），乙走的距离是：34×25＝85O（米）。此刻甲的位置是1050÷400＝2（周）……25O（米），甲在AD边的中点； 乙的位置是85O÷400＝2（周）……5O（米），乙在AB的中点。如示意图，我们不难观察发现： 甲只要再走5O米即可使两人在同一条边上。从而要求的问题迎刃而解。即25＋5O÷42＝26（分）。

行云流水

方法巧妙，题目不容易中呀！