特级教师和学生谈数学思考

与你同行

分数应用题解题思想介绍

金仁虎

一、分配思想 分配思想就是根据题中的数量关系，从已知条件入手，通过列式，先求出单位“1”，再由单位“1”的量进行分配。其具体思路我们还是从第十一册教材第63页的思考题谈起。 1．基本题：同学们参加野营活动。一个同学到负责后勤工作的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问：“多少人吃饭?” 他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。”算一算这个同学给多少人领碗。 〔分析与解〕这是一道六年级的思考题，解答此题可以用多种方法。 （1）方程法。 设：共有X人 　　X＋X＋X＝55 　　解得X＝3O。 （2）算术法。 55÷（l＋＋）＝55÷1＝3O（人） （3）此题还可以直接求最小公倍数来解。 根据“一人一个饭碗，二人一个菜碗，三人一个汤碗”的条件可得：[1、2、3]＝6（6是1、2、3的最小公倍数）。即：每6人为一桌，每桌所需的碗数为：饭碗：6÷l＝6（个）；菜碗：6÷2＝3（个）；汤碗：6÷3＝2（个）。共计：6＋3＋2＝11（个）→每桌的总碗数。这样野营的同学正好可以安排：55÷11＝5（桌），而每桌都是6人，即共有6×5＝3O人参加野营。 此题运用最小公倍数来解，不但可以拓宽六年级同学的解题思路，更重要的是为四、五年级同学开辟了一条解题途径。 2．变形题。节日期间给某班同学发水果，每人3个桔子，每2人3个苹果，每4人3根香蕉，最后又给每人发1个梨，结果共发水果2OO个，求该班有多少个同学？每种水果各多少个？ ［分析与解] 每人所发水果情况：桔子3（个）；苹果1（个）；香蕉（个）；梨1（个）。 （l）方程法。 设：共有X人 　　X＋3X＋1X＋X＝200 　　解得X＝32（人） （2）算术法。 200÷（1＋3＋l＋）＝2OO÷6＝32（人） （3）最小公倍数法（同学们自己思考列式）。 在求出单位“1”为32人以后，根据分配思想分别算出每种水果的个数，即：桔子3×32＝96（个）　　苹果32×l＝48（个） 　　香蕉32×＝24（个）　　梨子1×32＝32（个） 3．综合题：星期日某车间去郊外植树，休息时每人发2瓶汽水，每3人发2瓶果汁，每6人发2瓶雪碧，结果共发饮料180瓶，在这些人中，每人植一棵松树，每2人植5棵杨树，每3人植4棵柳树，每5人植3棵杏树，求该车间共植树多少棵？ 〔分析与解〕此题综合性很强，实际上是把前两个分配思想的小题合在一起。每人所发饮料情况如下， 汽水：2（瓶）    果汁：2÷3＝（瓶）    雪碧：2÷6＝（瓶） 列式： 180÷（2＋＋）＝6O（人） （其它方法同学们自己列式解答） 植树情况：松树 1×6O＝6O（棵）　　杨树 6O×2＝150（棵） 　　　　　柳树 16O×1＝8O（棵）　　杏树 6O×＝36（棵） 　　　　　总数＝6O＋150＋80＋36＝326（棵） 综合算式：180÷（2＋＋）×（1＋2＋1＋）＝326（棵） 综上所述，我们把这种解题思路称之为“分配思想”。同学们，你掌握了没有？ 二、守恒思想 所谓守恒思想，就是抓住不变的量解题，在这一类问题中其中至少有一个条件是守恒的。守恒的类型有以下几种，即：明守恒、暗守恒、总量守恒。 1．明守恒：明守恒就是通过已知条件，可以直接求出守恒不变的量，再根据这个量解决所要求的问题。以下举例说明. 例：某班共有45人，其中女生占总数的，后来又转来了几名女生，这时女生就占现在人数的，求转来几名女生？ 〔分析与解〕根据题意，女生人数增加了，而男生不变，抓住这个守恒量列式解答。 男生：45×（1－）＝25（人） 现在总人数：25÷（l－）＝5O（人） 增加的女生数：5O－45＝5（人） 综合算式：45×（1－）÷（l－）－45＝5O－45＝5（人） 2．暗守恒：暗守恒其守恒量不易直接求出，只有通过已知条件的分率转化，才能算出守恒的分率与数量，从而达到解题目的。 例：口袋中共有小球若干个，其中红球占总数的，后来拿走6个其它颜色的小球，这时红球占现在总数的，求原来有球多少个？ 〔分析与解〕根据题意，红球数量守恒。由此建立关系式： 现在＝原来→现在＝（÷＝）原来 列式得：6÷（1－）＝54（个）→原来总球数 另解：6÷（1－－）＝54（个）→为什么？同学们自己思考。 3．总量守恒：不管题中有几个条件，也不管它们之间发生什么样的变化，但总数是永远不变的，这就是总量守恒。 例：有一本故事书，已看的页数是未看的，如果再看96页，那么原来未看的与现在已看的页数正好交换，求这本书共有多少页？ 〔分析与解〕无论看的与未看的页数怎样发生变化，但这本书的总页数是守恒的。根据总量守恒分析列式， 解法1：第一次看的页数占总数的÷（l＋）＝ 　　　 第二次已看的页数占总数的l－＝ 列综合算式：96÷（－）＝96÷＝416（页）→总页数 解法2：第一次已看的页数与未看的页数比为5:8，即：已看的占5份，未看的占8份，总页数为5＋8＝13份。由此列式得： 96÷（8÷13－5÷13）＝416（页） 三、假设思想 所谓假设思想，它往往是先假定某种现象的存在，然后将先前的假定与题中的已知条件进行比较，产生矛盾与差异，再通过分析与思考，找出形成差异的原因，从而达到解题的目的。 例1．A、B两堆水果共重36O千克，如果从A堆中运走它的，从B堆中运走它的，这时从两堆中共运走了120千克水果，求每堆原来各有水果多少千克？ 〔分析与解〕假设从A、B两堆中都运走了，那么总数就运走了。 由题意得：A＋B＝120（千克） 由假设得：36O×＝9O（千克） 因此A堆水果有：（120－90）÷（－）＝3O÷＝200（千克） B堆水果有：36O－2OO＝160（千克） 此题还可以假设从A、B两堆水果中都运走的水果。（由同学们自己列式解答） 说明：这是一道较复杂的分数应用题，为什么要运用假设思想求解？由于此题A、B两堆水果的单位“l”不同，每堆所取的分率又不一样，因此解题时必须要运用假设思想。在上例中为什么假设的数值与实际数值有误差呢？是因为从A堆运走的水果，在假设时是按来算的，因此相差了－＝，其值相差了120－90＝30（千克） 例2．某项工程，A独做要6O小时完成，B独做要15小时时完成，如果此项工程由A先做若干小时再由B单独接着做，这样共用了45小时完成，求完成任务时每人各做了几小时？ [分析与解] 这是一道较复杂的工程问题，解答时也同样运用假设思想。 假设A做了45小时，那么B做的时间为： （1－×45）÷（－）＝÷＝5（小时） A做的时间为：45－5＝40（小时） （还有一种假设由同学们自己解答） 例3．某校本学期男生人数比原来增加了，而女生人数比原来减少了，结果全校总人数比原来增加了，求原来女生占总人数的几分之几？ 〔分析与解〕这是一道纯分率应用题，同样借用假设思想求解。此题与前两题不同：其一，本题没有一个具体的数字（全是分率）；其二，在女生人数减少的情况下，而总人数却增加了，由此说明男生增加的人数比女生减少的人数多。 假设男女生人数都增加了，那么总人数就增加，而实际上总人数只增加了，这样假设的与实际的产生了误差。于是得出：女生人数占总人数的（－）÷（＋）＝，男生人数占总人数的：1－＝。 例4.用一只载重量为61O吨、容积为65O立方米的船来运木材和石头，已知每立方米木材重吨，每立方米石头重1吨，这只船要一次运木材和石头各多少吨，才能充分利用它的载重量和体积？ 〔分析与解〕这题比较复杂，咋看起来像是统筹问题，解答此题最好的思路还是运用假设思想。 假设这只船全部装运木材，那么它的载重量就不能充分利用了。如果全部装运木材，木材重：×65O＝260（吨），石头体积：（61O－260）÷（l－）＝25O（立方米），石头重量：1×250＝450（吨），木材重量：×（65O－25O）＝160（吨）。 四、还原思想 这里介绍的还原思想不是一般书上说的那种逆推还原，而是通过扩大或缩小倍数，将其中某个分率还原成单位“1”，以便从中消去一个量，从而达到解题的目的。 例1．两块麦地共有100公亩，第一块地的和第二块地的正好是5O公亩，求每块地各有多少公亩？ 〔分析与解〕根据题意，只要将题中的扩大倍数，还原成单位“l”，从中消去一个量，这样就可以直接列式解答了。 第一块＋第二块＝100公亩 第一块＋第二块＝5O公亩 50×8＝400公亩 ×8=“1”→第二块 ×8＝4→第一块 第一块：（400－100）÷（×8－l）＝84（公亩） 第二块： 100－84＝16（公亩） 例2．A、B两个仓库共有化肥2500吨，从A库中运出了，从B库中运出又50吨，这时两库共余下化肥700吨，求原来两库各有化肥多少吨？ 〔分析与解〕如果将本题中的或某一个分率还原成单位“l”，这样计算比较麻烦。不妨我们换个角度考虑，从余下的数量来分析， A＋B＝2500（吨）      A＋B＝（700＋50）＝75O（吨） 750×3＝225O（吨） ×3＝“1”→A ×3＝→B 由此列式B：（2500－2250）÷（1－×3）＝1000（吨）         A：2500－1000＝15OO（吨） （此题也可以将扩大4倍还原成“l”来列式，请同学们自己试一试。） 例8. A、B两人共有钱100元，如果A取出自己的，B取出自己的，两人共取出4O元，求A、B两人原来各有多少元？ 〔分析与解〕这题也是从余下的数量来考虑，即，A＋B ＝（100－4O）＝6O（元）→＝A＋B＝（6O÷5）＝12（元） 12×7＝84（元） ×7＝“1”→B ×7＝→A A：(100－84)÷(1－×7)＝72（元） B：100－72＝28（元） 五、合并思想 合并思想就是把题中的两个或两个以上的已知条件合并起来，通过合并，将知识重新组合、分析、比较、归纳，从而找到解题捷径。合并思想包括“量”合并和“率”合并。 1．量合并：量合并就是先把题中的两个或两个以上的已知数量，根据一定的需要直接加起来，然后再思考列式求得答案。 例1．买甲、乙两种商品共6O件，付人民币1260元，如果交换两种商品的件数共付人民币1140元，已知甲商品的价格是乙商品价格的1倍，求两种商品的单价？ [分析与解]由题意得：甲每件商品比乙贵。由交换得：甲商品在交换前比交换后的件数要多，即：甲的件数＞乙的件数。不妨我们设甲原来有X件，乙原来有y件。 （1）甲（x） 甲60件 乙（y） 乙60件 1260元 （2）甲（y） 乙（x） 1140元 1260＋1140＝24OO（元） 将上面的条件（1）和（2）合并起来列式得： （1260＋1140）÷6O＝（4O元）→甲乙单价和 以及乙：4O÷（l＋1）＝15（元）     甲：15×1＝25（元） 2．率合并：率合并就是先将题目中的两个或两个以上的分率合并起来，从中得出总数量与总分率之间的关系，然后再借助假设或还原思想求得答案。 例2．甲、乙两件商品，甲的和乙的共值56元，而甲的和乙的共值49元，求甲、乙两件商品的价格？ [分析与解］因为甲乙前后分率正好进行了交换，通过合并可以得到相同的总分率，由此获得解题途径。 甲＋乙＝55（元）→甲＋乙＝（49＋55）÷（＋） 甲＋乙＝49（元）　　　　＝160元 根据条件1假设：甲乙两种商品都取出，那么总数就取出。列式得： 乙商品的价格为：（16O×－55）÷（－）＝9÷＝6O（元） 甲商品的价格为：160－6O＝100（元）（也可以根据条件2假设列式，同学们自己试试。）

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用不同的方法解答应用题

孙丽谷

整数、分数比和比例等知识都是有联系的，用算术方法解答应用题和用方程解答应用题也是有联系的。我们弄清了它们之间的联系，对一些应用题就可以用不同的方法来解答。而当我们学会用不同的方法解题后，对知识之间的内在联系就会搞得更清楚。因此同学们一定要善于动脑筋，学会用不同的方法解答应用题，并切实搞清各种方法间的内在联系。如解答这样的一道题： 学校田径组女生和男生人数的比是5:6。田径组女生有20人，田径组一共有多少人？ 如果从不同的角度来思考，就能找出多种解法。 解法一：根据“田径组女生和男生人数的比是5:6”，可以知道，在田径组的总人数中，女生人数占5份，男生人数占6份。已知女生有2O人，也就是已知5份的人数，求田径组一共有多少人，就是求11份一共有多少人。因此可以先求出1份有多少人，再求出 11份有多少人。即：20÷5×（5＋6）＝44（人）。 解法二：根据“田径组女生和男生人数的比是5:6”，可以知道，男生人数是女生的，也就是“女生人数×＝男生人数”。因此可以根据一个数乘以分数的意义来解答，先求出男生人数，再求出田径组的总人数。即：20×＋2O＝44（人） 解法三：把“田径组女生人数和男生人数的比是5:6”转化成“田径组的总人数相当于女生人数的”，根据一个数乘以分数的意义得到这样的数量关系式：“田径组女生的人数×＝田径组的总人数”，列成算式是：2O×＝44（人）。而这一个算式与解法一的算式在实际意义上是完全一样的，都是求20的五分之十一是多少。 解法四：因为“田径组的总人数相当于女生人数的”也就是“田径组的女生人数占田径组总人数的”，因此如果这样来转化已知条件，就可以得到这样的数量关系式： “田径组的总人数×＝田径组女生的人数”。根据这个数量关系式，可以设田径组一共有X人，列出方程解答。即： 解：设田径组一共有X人。     X×＝20 求出  X＝44 解法五：根据“田径组女人数和男生人数的比是5:6”可以知道，＝。因为田径组女生人数和田径组总人数的比的值是一定的，所以田径组女生人数和田径组总人数成正比例。因此还可以列出比例来解答。即： 解：设田径组一共有X人。     ＝ 求出  X＝44。 （本文作者为苏教版小学数学教材主编，南京市拉萨路小学特级教师）

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用比例关系巧解应用题

孙丽谷

在我们己经学过的常见的数量关系中，有的两种量成正比例，有的两种量成反比例。正确理解两种相关联量的比例关系，可以帮助我们巧解应用题。 我们来看这样的几道题： 1．一批零件平均分给甲、乙两人去做，经过6小时，甲完成了任务，乙还差96个没有做完。己知乙的工效是甲的，这批零件共有多少个？ 我们可以这样想：根据题目中“乙的工效是甲的”，可以知道甲与乙工效的比是5:4。因为当工作时间一定时，工效与工作总量成正比例，由此可知，甲与乙工作总量的比也是5:4。甲、乙工作总量的比是5:4，那就可以把甲完成的工作量看成5份，乙完成工作量着成4份，甲比乙多完成的工作量看成1份。己知甲完成了任务，乙还差96个没有完成，那么96个就是1份。因为这批零件是平均分给甲、乙两人去做的，所以甲的任务是5份，乙的任务也是5份，求零件的总个数只要求出10份共有多少就可以了。即： 96×5×2＝960（个） 2．甲、乙两人从两地相向而行，甲行完全程需2小时，乙行完全程需3小时。两人相遇时，甲比乙多走了2.4千米。求甲、乙之间的路程。 我们可以这样想：根据题目中“甲行完全程需2小时，乙行完全程需3小时”可以知道甲、乙行完全程所用的时间比是2:3。因为当路程一定时，行驶的时间和速度成反比例。由此可知，甲、乙行驶的速度比是3:2，甲、乙行驶的路程比也是3:2。 这样就可以把甲行驶的路程看作3份，乙行驶的路程看作2份，甲、乙之间的路程一共是2＋3＝5（份），甲比乙多行驶的路程是3－2＝l（份）。因此这道题求甲、乙之间的路程，只要用1份的路程去乘以5就可以了。即： 2.4×（3＋2）＝12（千米） 3．两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地。乙车每小时行24千米，两地相距多少千米？ 这题可以这样思考：把“两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地”转化成“甲、乙两车行驶相向的路程所用的时间比是3:4”，再将它转化成“甲、乙两车行驶的速度比是4:3”。这样就可以先求出甲车的速度，再求出两地相距的路程。即： 　24××（4＋3） ＝24××7＝224（千米） 以上三个例子，就是巧用比例关系来解答的应用题。用比例关系解答应用题，可以使解题的思路更加简捷，解题方法更加灵活。 （本文作者为苏教版小学数学教材主编，南京市拉萨路小学特级教师）

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运用假设的方法进行思考



孙丽谷



人教版九年义务教育六年制小学数学第八册教材上有这样一道应用题：

“新镇小学三年级有4个班，每班40人；四年级有3个班，每班38人。三年级和四年级一共有多少人？”

解答这道题我们是这样思考的：要求三年级和四年级一共有多少人，先要根据已知条件求出三年级和四年级各有多少人。列算式是：

　4O×4＋38×3

＝160＋114

＝274（人）

如果把这道题的第一个条件改成“三年级有3个班”，用上述的思考方法来解答这道题，列式为4O×3＋38×3。除了这种方法，解答这道题还可以这样来思考：即先求出三年级1个班和四年级1个班人数的和，再求出三年级和四年级一共有多少人。列成算式是：

　（4O＋38）×3

＝78×3

＝234（人）

前一道题和后一道题都是求三年级和四年级一共有多少人，因为在前一道题的己知条件中，三年级班级的个数与四年级的个数不相同，因此在通常情况下。只能用一种方法来解答；而在后一道题的已知条件中，因为三年级和四年级班级的个数相同，因此可以用两种方法来解答。

但如果我们采用假设的方法来进行思考，前一道题的解答方法就不止一种了。我们可以根据后一道题第二种解法的解题思路来解答前一道题，也就是假设三年级也是3个班，那么三年级和四年级一共有的人数就是（4O＋38）×3，因为实际三年级有4个班，所以三年级和四年级一共有的人数应该是（4O＋38）×3＋4O。

同样，我们也可以假设四年级有4个班，那就可以先求出三年级4个班和四年级4个班共有的人数，再减去四年级互个班的人数，就得到三年级和四年级一共有的人数了。列式为

（40＋38）×3＋4O。

如果我们假设三年级每个班是38人，那么这道题还可以这样列式计算：38×（4＋3）＋（4O－38）×4。请同学们想一想：

38×（4＋3）求出的是什么？为什么还要再加上（40－38）× 4呢？

把上面的问题想通后，再想一想，如果假设四年级每个班是4O人，这道题还可以怎样解答呢？请你试一试。

当然，对这道题来说，用假设的方法来进行思考，计算并不简便，但如果我们经常能运用假设法思考问题，就可以拓宽我们的思路，有利于解题能力的提高。

（本文作者孙丽谷为苏教版小学数学教材主编；江苏省南京市拉萨路小学特级教师）

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找“等量关系”的几种方法



钱守旺



列方程解应用题的关键是确定等量关系。那么，解题时应如何寻找等量关系呢？下面告诉同学们几种常用的方法。

1．从题中反映的基本数量关系确定等量关系。

任何一道应用题，都可以根据条件和问题写出一个基本数量关系式，这个基本数量关系式就是题中的等量关系。

如“商店原来有一些饺子粉，又运来12袋，每袋5千克，卖出7袋以后，还剩40千克。这个商店原来有多少千克饺子粉？”根据题目叙述顺序我们很容易写出：原有的重量＋运来的重量－卖出的重量＝剩下的重量。

2．紧扣几何形体周长、面积和体积公式确定等量关系。

同学们在学习几何知识时，已经掌握了平面图形的周长和面积的计算公式以及立体图形的表面积和体积的计算公式。这些公式，是等量关系的具体化。

如“一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？”我们可以根据三角形面积计算公式直接列出方程。

3．根据常见的数量关系确定等量关系。

在三年级的时候，同学们已经学习了乘、除法应用题中常见的数量关系。如，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等。这些常见的基本数量关系，就是等量关系。

4．抓住关键句子确定等量关系。

好多应用题都有体现数量关系的句子。解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系。

如，根据“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”可知：舞蹈队的人数×3＋15＝合唱队的人数。根据“果园里桃树和杏树一共有180棵”可知：桃树的棵数＋杏树的棵树＝180棵。

5．借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系。

如“有两袋大米，甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍。如果再往乙袋里装5千克大米，两袋就一样重了。原来两袋大米各有多少千克？”

根据题意，可以画出下面的线段图。



从图中很容易得出：甲袋重量－乙袋重量＝5千克。

6．抓住“不变量”确定等量关系。

适合用正、反比例解答的应用题，我们可以根据题中的“比值一定”和“积一定”找等量关系。

当然，确定等量关系的方法不只以上几种，同学们在学习时要注意总结，力争找到更多更好的方法。

（本文作者钱守旺为河北省玉田师范附属小学特级教师）

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“画图”是帮助解题的好方法

北京市第一实验小学 王继珍

解题时，根据题的内容画图，把题的条件、问题在图上标明，这样有助于我们正确审题，理解题意，从而正确解题，提高我们分析和解决问题的能力。 结合不同的内容画不同的图。通常通过平面图、立体图、分析图、线段图、表格图和思路图等，对题目的条件、问题进行展示。下面分别举例说明。 一、平面图 对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题，可以借助画平面图帮助思考解题。 如，有两个自然数A和B，如果把A增加12，B不变，积就增加72；如果A不变，B增加12，积就增加12O，求原来两数的积。 根据题目的条件比较抽象的特点，不妨借用长方形图，把条件转化为因数与积的关系。先画一个长方形，长表示A，宽表示B，这个长方形的面积就是原来两数的积。如图（l）所示。 根据条件把A增加12，则长延长12，B不变即宽不变，如图（2）；同样A不变即长不变，B增加12，则宽延长12，如图（3）。从图中不难找出： 原长方形的长（A）是120÷12＝10 原长方形的宽（B）是72÷12＝6 则两数的积为1O×6＝6O 借助长方形图，弄清了题中的条件，找到了解题的关键。 再如，一个梯形下底是上底的1.5倍，上底延长4厘米后，这个梯形就变成一个面积为6O平方厘米的平行四边形。求原来梯形面积是多少平方厘米？ 根据题意画平面图： 从图中可以看出：上、下底的差是4厘米，而这4厘米对应的正好是1.5－l＝O.5倍。所以上底是4÷（1.5－1）＝8（厘米），下底 是8×1.5＝12（厘米），高是6O÷12＝5（厘米），则原梯形的面积是（8＋12）×5÷2＝5O（平方厘米）。 二、立体图 一些求积题，结合题目的内容画出立体图，这样做，使题目的内容直观、形象，有利于思考解题。 如，把一个正方体切成两个长方体，表面积就增加了8平方米。原来正方体的表面积是多少平方米？ 如果只凭想象，做起来比较困难。按照题意画图，可以帮助我们思考，找出解决问题的方法来。按题意画立体图： 从图中不难看出，表面积增加了8平方米，实际上是增加 2个正方形的面，每个面的面积是8÷2＝4（平方米）。原正方体是6个面，即表面积为4×6＝24（平方米）。 再如，用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体，拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积是多少？ 按题意画立体图来表示，三个长方体拼成的大长方体有以下三种情况： （l）拼成长方体的长是2×3＝6（厘米），宽3厘米，高1厘米。表面积为（6×3＋6×l＋3×l）×2＝54（平方厘米）。 （2）拼成长方体的长是3×3＝9（厘米），宽2厘米，高1厘米。表面积为（9×2＋9×1＋2×1）×2＝58（平方厘米）。 （3）拼成长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是1×3＝3（厘米）。表面积为（3×2＋3×3＋2×3）×2＝42（平方厘米）。 这道题有以上三种答案，通过画图起到审题和理解题意的作用。 三、分析图 一些应用题，为了能正确审题和分析题目中的数量关系，可以把题目中的条件、问题的相互关系用分析图表示出来。 如，新华中学买来 8张桌子和几把椅子，共花了 817.6元。每张桌子价 78.5元，比每把椅子贵 62.7元，买来椅子多少把？ 分析图： （l）买椅子共花多少钱？ 817.6－78.5×8＝189.6元） （2）每把椅子多少钱？ 78.5－62.7＝15.8（元） （3）买来椅子多少把？189.6÷15.8＝12（把） 综合算式为：（817.6－78.5×8）÷（78.5－62.7）           ＝189.6÷15.8           ＝12（把） 答：买来椅子12把。 四、线段图 一些题目条件多，条件之间关系复杂，一时难以解答。可画线段图表示，寻求解题的突破口。 如，光明小学六年级毕业生比全校总人数的还多3O人。新学期一年级新生人学36O人，这样现在比原全校总人数增加了。求原来全校学生有多少人？ 从图中可以清楚看出，（360－30）人与全校人数的（＋）相对应，求全校人数用除法计算。列式为： （360－30）÷（＋）＝330÷＝900（人）。 再如，甲乙两人同时从相距88千米的两地相向而行，8小时后在距中点4千米处相遇。甲比乙速度快，甲、乙每小时各行多少千米？ 按照题意画线段图： 从图中可以清楚看出，甲、乙8小时各行的距离，甲行全程的一半又多出 4千米，乙行全程的一半少 4千米，这样就可以求出甲、乙的速度了。 甲速：（88÷2＋4）÷8＝6（千米） 乙速：（88÷2－4）÷8＝5（千米） 五、表格图 有些问题，通过列表不仅能分清题目的条件和问题，而且便于区分比较，起到良好的审题作用。 如，小明3次搬运15块砖，照这样计算，小明又搬了4次，共搬多少块砖？ 根据条件、问题，列出易懂的表格，能清楚看出已知条件和所求问题。 3次 15块 又搬4次 共搬？块 从表中不难看出，又搬4次和共搬多少块，这两个数量不相对应，要先求一共搬多少次，才能求出共搬多少块，列式为： 15÷3×（3＋4）＝35（块） 另一种思路为，先求又搬4次搬的块数，再加上原有的块数，就是共搬的块数。列式为： 15÷3×4＋15＝35（块） 六、思路图 有些问题因为分析的角度不同，因此解题的思路也不同。通过画图能清楚看出解题思路，便于分析比较。 如，有一个伍分币、4个贰分币、8个壹分币，要拿出8分钱，一共有多少种拿法？ 这道题从表面港一点也不难，但是要不重复。不遗漏地把全部拿法一一说出来也不容易，可以用枚举法把各种情况一一列举出来，把思路写出来。 五分币（1个） 1 1 　 　 　 　 　 贰分币（4个） 1 　 1 2 3 4 　 壹分币（8个） 1 3 6 4 2 　 8 拿的方法 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 从图表中可以清楚着出不同的拿法。此题一共有不重复的7种拿法。 从以上各例题中可看出：解题时通过画图来帮助理解题意，起到了化繁为简、化难为易的作用。我们不妨在解题中广泛使用。

与你同行

怎样列方程解含两个未知数的应用题



上海市浦东新区教育学院特级教师 曹培英



人教版教材“简易方程”单元中有这样一道例题：

“果园里桃树和杏树一共有180棵，杏树的棵数是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵？”

题目让我们求两个未知数，要列方程解，可是同学们只学了解一个未知数的方程，怎么办呢？课本介绍了一种解法，很多同学感到不满足，他们问：为什么两个未知数，要选择桃树棵数设为x，设杏树有x棵可以吗？根据“杏树的棵数是桃树的3倍”列方程行吗？

回答是肯定的。请看下面四种解法（解方程略）：

解法 1：设桃树有x棵，则杏树有3x棵。

        3x＋x＝180

解法 2：设杏树有x棵，则桃树有x＋3棵。

        x÷3＋x＝180

解法 3：设桃树有x棵，则杏树有（18O－x）棵。

        （180－x）÷x＝3

解法 4：设杏树有x棵，则桃树有 （180－x）棵。

        x÷（18O-x）＝3

我们看到，解法1与解法2都是用倍数关系表示两个未知数中的一个，然后根据两数和的关系列方程，区别只是未知数的选择不同；解法3与解法4都是用两数和的关系表示另一个未知数，然后根据两数的倍数关系列方程，区别也是未知数的选择不同。

比较四种解法，解法1最简便。它的特点是根据倍数关系，选择看作一倍的未知数设为x，则另一个未知数是x的a倍，就可以表示为ax。然后根据两数和的关系列方程。原来，课本上介绍的是最简便的一种解法。

再来看下面两种解法，对吗？为什么？

解：设桃树有x棵，则杏树有（ 180－x）棵。

　　180－x＋x＝180

解：设杏树有x棵，则桃树有x÷3棵。

　　x÷3×3＝x

奇怪，两种解法看看都有道理，一种是根据两数和的关系列方程，一种是根据倍数关系列方程，可是化简后得到的却是“180＝180”，“x＝x”，这到底是怎么回事呢？有位同学说得好：“这两种解法，表示未知数和列方程都用同一个条件，结果当然是自己等于自己了”。那么怎样避免出现“自己等于自己”这样的等式呢？很简单，只要像上面四种解法那样，两个条件各派各的用处，即一个用来表示未知数，一个用来列方程就行了。