特级教师和学生谈数学思考

星空

不愧为特级

与你同行

多余的已知数







课堂上，同学们一起做练习题：气象小组在天的2时、8时、14时、20时，测得的温度分别是13摄氏度、 16摄氏度、 25摄氏度、18摄氏度。算出这一天的平均温度。

小毛看了一遍题，不假思索，马上就写成：

（l3＋16＋25＋18）÷（2十8＋14＋20）

他的同桌小明列的算式是：

（13＋16＋25＋18）÷4

陈老师将他们两人的算法写在黑板上，让同学们讨论，哪个对，哪个不对，为什么。

同学们热烈地争论着，渐渐地平静了。讨论结束后，老师请同学们发表意见。

小青站起来说：“小毛列的不对，小明列的对。因为要求的是一天的平均温度，已知一天内4个时刻的温度，应该用测得的温度和除以4。小毛是把时刻当成了除数。”

小明补充说：“其实题中的2时、8时、12时、20时这些已知数只是表明可以通过这四个时刻的温度来衡量一天的平均温度，与问题没有直接的数量关系，是多余的已知数。”

同学们都赞成他俩的意见。

小毛也明白自己错在什么地方了，表示以后要改掉毛毛草草的坏毛病。

与你同行

从整体分析数量关系

施魏

［题目］甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇时离A地12O米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地15O米处再次相遇。求A、B两地的距离。 ［分析与解］这道题如果从速度、时间和路程的关系来分析，会感到缺少条件。我们可从整体来分析题目的数量关系：甲乙两人同时出发，相向而行，他们第一次相遇时，共行了A、B两地的1个全程；两人从出发到再次相遇，共行了3个A、B两地的全程（如下图）。 两人共行1个全程，其中甲行的路程是12O米，那么两人从出发到再次相遇共行了3个全程，则甲共行了12O×3＝36O（米），这时甲距A地还有15O米，如果甲再行15O米，则甲共行了2个全程，所以A、B两地的距离是： （120×3＋15O）÷2＝255（米）。 （作者单位：安徽省铜陵市实验小学）

与你同行

体积与表面积的计算问题

金仁虎

在正方体、长方体或圆柱体的某个面上或几个面上打一个小孔或打通一个洞，其体积和表面积均发生变化。但变化的实质截然不同，只有物体的体积比原来减少了，而物体表面积的变化则要根据具体情况因题而论，下面特举例说明。 例1．如图1所示，在一个大的正方体某个面上打一个小的正方体洞，已知小正方体的棱长是大正方体棱长的，那么余下图形的体积比原来减少了几分之几？表面积比原来增加了几分之几？ 〔分析与解〕此题没有给出具体的数字，解答时可以将大正方体的棱长看作单位“1”，小正方体的棱长就是，因此，直接利用分率来列式。 （1）体积比原来减少：（××）÷（1×1×1）＝ （2）表面积比原来增加：（××4）÷(1×1×6)＝÷6＝ 　此题还可以设数来解。设大正方体的棱长为6分米，那么小正方体的棱长就是2分米。列式得， （l）体积比原来减少： （2×2×2）÷（6×6×6）＝××＝××＝ （2）表面积比原来增加：（2×2×2）÷（6×6×6）＝××＝ 例2．如图2所示，在一个底面边长为lOcm的长方体上下底面上打通一个小的正方体孔洞，表面积比原来增加了18cm2，求余下图形的体积。 〔分析与解〕要想求出余下图形的体积，必须知道长方体的高，求高又要从增加的表面积入手。从图中不难想象出18cm2就是中间小正方体两个正方形的 面积，于是得：18÷（4－2）＝9cm2，9＝3×3，即：中间的小正方体的棱长（大长方体的高）是3cm。因此列式为：10×10×3－3×3×3＝273（cm3）。 例3．如图3所示，在一个底面半径为6cm的大圆柱体的上下底面的中心处打通一个半径为4cm的小圆柱体的洞，其表面积没有发生变化，求原来圆柱的体积。 〔分析与解〕这题显然还是先求高，由于表面积没有变化，说明中间小圆柱体的侧面积一定等于它两底面积，因此圆柱体的高为：3.14×42×2÷（3.14×4×2）＝4cm。 原来圆柱的体积为： 3.14×62×4＝452.16（cm3） （本文作者为安徽省马鞍山市实验小学特级教师）

与你同行

怎样解答行程问题

斯苗儿

有这样一道应用题：“一辆汽车从A地开往B地，每小时行48千米，行了5小时到达B地。A、B两地相距多少千米？”我相信，同学们都能很快地列式解答，即48×5＝24O（千米），从而求得A、B两地相距24O千米。但遇到较复杂的行程问题，往往会觉得无从下手。其实，只要是行程问题，不管怎么复杂，都可以根据“路程＝速度×时间”这一基本数量关系来解答。下面我们一起来解答几道题目。 例：两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米，5小时相遇。求A、B两地间的距离。 分析：求两地间的路程，就是两车原来相隔路程，也就是求两车在5小时里所走路程的和。根据“路程＝速度×时间”，可以先算出每小时两车一共行多少千米，再与相遇时间相乘，就可求得两地相距多少千米。 （48＋5O）×5＝490（千米） 答：A、B两地间相距是490千米。 现在我们就以这道题为基础来进行改编练习。 1．把原题的“5小时相遇”这一条件改为“5小时后还相距15千米”，问题不变。 我们可以按原题进行分析，所不同的是：这里两车没有相遇，还相距15千米。这样，两地间的路程就不仅仅是两车5小时里所走的路程和了，还必须加上没有走的15千米。可这样列式解答。   （ 48＋5O）×5＋15 ＝49O＋15 ＝5O5（千米） 答：A、B两地间相距5O5千米。 2．把原题的“两辆汽车同时从A、B两地相向开出”改为“甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行1小时”，其它条件和问题不变。 分析：这一题与原题的解题思路还是一样的，不同的是原题两车是同时从两地出发，而这题是不“同时”了。要求A、B两地间的路程，就是求甲、乙两车所行的路程和。这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来。等式是， 48×（1＋5）＝288（千米） 5O×5＝25O（千米） 288＋25O＝538（千米） 也可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程。算式是， （48＋5O）×5＝49O（千米） 49O＋48＝538（千米） 答：A、B两地间相距538千米。 到这里，我们已经对原题作了两次改编，原题是同时从两地出发，最后相遇的。经过第一次改编使它成为一道同时从两地出发，最后不相遇的应用题，经过第二次改编它又成了一道不同时从两地出发，最后相遇的应用题。但不管怎样变，我们都没有离开最基本的数量关系“路程＝速度×时间”来思考和解答，真可谓“万变不离其宗”。 3．把原题进行第三次改编，使它成为一道既不“同时”又不相遇的相向运动应用题。 两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行三小时后动车从B地出发，5小时后两车还相距15千米。甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米。求A、B两地间相距多少千米？ 根据前几题的分析，可列式解答如下： （48＋5O）×5＝49O（千米） 49O＋48＋15＝553（千米） 答：A、B两地间相距553千米。 此题已经解答完毕，我相信聪明的你一定能把它的解题思路讲给同学听。 （本文作者为浙江省教育厅教研室小学数学教研员）

与你同行

环形面积怎样计算较简便

盛大启

日常生活中见到的各种螺丝的垫片以及钢管的横截面等，都是环形。计算环形的面积，一般是用外圆的面积减去内圆的面积。这是计算环形面积的基本方法。课本中的例题就是用这种方法计算环形面积的，即：先求外圆的面积，再求内圆的面积，然后用外圆面积减去内圆面积，得到环形面积。如果用字母R表示外圆的半径，用字母r表示内圆的半径，那么环形的面积计算公式可以表示为： S环＝πR2－πr2 这样计算步骤较多，而且要两次和π的近似值3.14相乘，容易出现错误。 我们知道，乘法分配律可以从加法推广到减法。那么，上面的公式就可以简化成： S环＝π（R2－r2） 用这一公式计算环形面积，要比第一种解法简便些。 我们还可以仿照课本中推导圆面积计算公式的方法，把环形面积也分成若干等份，剪开后，可以拼成一个近似的长方形（如下图）。如果把环形等分的份数越多，拼成的图形就会越接近于长方形。 这个长方形的长相当于外圆周长与内圆周长的和的一半，即：（2πR＋2πr）＝（R＋r）＝π（R＋r）；长方形的宽就是环形外圆半径与内圆半径的差，即：R－r。所以，根据“长方形面积＝长×宽”这一公式，可以得到： S环＝π（R＋r）（R－r） 用这一公式计算环形面积，要比第二种解法更简便，因为它还避开了乘方的运算。 例如，课本中的例5（环形的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，求环形面积）用上面的三种方法来解，分别列式为： 解法一：3.14×l52－3.14×l02； 解法二：3.14×（152－102）； 解法三：3.14×（l5＋10）×（15－10）。 很明显，用第三种方法来求环形面积，便于通过口算很快求出计算结果。 （本文作者盛大启为中国教育学会小学数学教学专业委员会学术委员，苏教版小学数学教材主编，南京晓庄国际实验学校特级教师。）

与你同行

六、化归思想
这里所介绍的化归思想，就是将题中一个或几个条件先通过转化，然后再归结到某一个数量中。其具体思路是：确立其中某一个数量为单位“1”，其它被转化的量则是这个单位“1”的几分之几或几倍。
例1．甲、乙两班同学共13O人，如果从甲班抽出和乙班10人去参加活动，这时乙班余下人数是甲班余下人数的，求甲乙两班人数？
［分析与解］乙班抽走10人后，余下的人数是甲班原来总人数的（l－）＝的，即：×＝，这时乙班余下的是甲班原来总人数的。由此列式得甲班原来人数：
（130－10）÷（l＋×）＝120÷1＝7O（人）
乙班人数为130－70＝60（人）或7O×（l－）×＋10＝70×＋10＝60（人）。
例2．某厂男女工共有200人，如果从男工中抽走的人，女工又招来20人，这时男工余下的人数是现在女工人数的，求原来男女工各有多少人？
[分析与解］由于男工抽走不知道有多少人，在此只有确立女工现在人数为单位“1”，将男工人数化归为女工。根据题意：
男＝女现在→男＝女现在→男＝1女现在
因此列式得：
（200＋20）÷（1＋1）＝100（人）→女现在
女原来＝100－20＝80（人）      男原来＝200－8＝120（人）
例3．某工程队下属三个小组，总人数为190人，如果从甲组中抽走人，从乙丙两组各抽走5人，这时丙组余下的人数是甲组余下人数的，乙组余下的人数和甲组余下的人数相等，求每小组原来各多少人？
[分析与解］本题与前两小题有所不同，从已知条件不难看出乙与丙都和甲有直接关系，在此不妨以甲原来人数为单位“1”，乙丙余下的人数可直接化归为甲。因此得：丙组余下的人数是甲组余下人数（l－＝）的，即：
丙现在＝（×＝）甲原来
乙现在＝（l－）＝甲原来
由此列式得
甲组原来有：（190－5×2）÷（1＋×＋）＝80（人）
乙组原来有：80×＋65（人）
丙组原来有：80×＋5＝45（人）
七、一分为二思想
本文所谈的一分为二思想，是在解题时将题中的已知条件一分为二，即：根据需要将已知的数量和分率暂时分开，分别进行“量”转化和“率”转化，从而达到列式解答的目的。
例1．某车间男工人数比女工人数多28人，参加元旦联欢活动，女工全部参加，男工则有的人没有参加，已知参加活动的共有105人，求原来男女工各有多少人？
[分析与解]由题意得：由于女工全部参加活动，则将女工人数看作单位“1”，将男工人数一分为二，即：把男工分成同女工人数相等的单位“1”和多出的28人。（单位“1”叫分率，简称“率”，28人叫数量，简称“量”。）而男工只有1－＝的人参加活动。由此，根据一分为二思想分别进行“率”转化和“量”转化。
（1）男工参加的人数相当于女工人数即单位“1”的，即：“率”的→1×＝。
（2）28人的，即：“量”的28×＝21（人）。
于是列综合算式得女工人数为：
（105－28×）÷（1＋1×）＝84÷1＝48（人）
男工人数为：48＋28＝76（人）
（此题也可以用方程解，请同学们自己试试。）
例2．甲乙两组工人共计划加工一批零件，已知甲组完成了总数的还少500个，乙组完成了比甲组的还多200个，求这批零件共有多少个？
［分析与解］将条件摘录如下：
甲＝总－500
乙＝甲＋200
乙＝（总－500）的＋200
根据一分为二思想分别进行“量”、“率”转化：
（l）“率”转化：乙组加工的是甲组的→零件总数的→总。
（2）“量”转化：少500个的→500×＝300（个），而乙最后还多200个零件，这样两抵还少300－200＝100（个）。
综合（1）、（2）得：乙＝总－100
零件总数为：

（500＋100）÷（＋－l）＝600÷＝9000（个）
例3．果园里收下苹果的正好装满了若干筐，余下的苹果装满15筐还多45千克，求每筐苹果多少千克？共收下苹果多少千克？
[分析与解］依照题意，每筐苹果的重量一定大于45千克，而余下的苹果（1－）＝装满15筐还多45千克，由此推算出收下的苹果装的筐数与余下的苹果装的筐数的比值为：:（1－）＝1。根据一分为二思想：

（1）“率”转化：15×1＝17（筐）		收下苹果的所装的筐数和多的千克数
（1）“量”转化：45×1＝51（千克）

由于收下的苹果的装的是整筐数，由此这里取大于17筐最小整数为18筐。
51÷（18－l7）＝÷＝60（千克）→每筐重量
（60×l5＋45）÷（l－）＝945÷＝2025（千克）→总重量
八、极端思想
所谓极端思想就是在分析和研究对象时，往往从问题的最末端出发，它主要借用逆向思维对题中的已知条件和问题进行辨析、比较、归纳，寻找解决问题的契机，从而达到解题的目的。
例1．有一辆马车每时行驶8千米，为了保持马的体力，每行驶50分钟就休息10分钟，已知从A地去B地全长共7O千米，求这辆马车行完全程共要几时？
［分析与解］首先把分钟化成时：5O÷6O＝（时），10÷60＝（时）。依题意：在每时内马车行驶时，就休息时。这样在l时之内，马车实际行驶了8×＝7千米，那么列式为：7O÷7＝10（时）。再根据极端思想，马车到达B地时最后一个时不作考虑。因此所用的时间是：10－＝9（时）。
例2．蓄水池有A、C两个进水管和B、D两个排水管。要注满一池水，单开A管要3时，单开C管要5时。要排完一池水单开B管要4时，单开D管要6时。现在池内有的水，如果按A、B、C、D、A、B……的顺序轮流打开1时，多少时间后水开始溢出水池？
[分析与解]A、B、C、D各管各开1时后，水池中的水就增加－＋－＝。我们知道：＞＞＞，由此最后使水开始溢出水池的一定是A管。
根据极端思想，池中的水超过以后，甲管打开一段时间后，水池中的水会溢出。因为（l－）÷＝4，所以A、B、C、D这样循环4次以后，水池中的水为＋×4＝，还不到。循环5次后，池中的水为×5＋＝，这样再打开甲管（l－）÷＝（时）以后，水就开始溢出水池。
总时间：4×5＋＝20（时）
例3．某项工程由乙独做13天完成，如果此项工程第一天由甲做，第二天由乙接着做……这样轮流恰好在某日晚完成；若这项工程第一天由乙做，第二天由甲接着做……这样轮流比前次多半天时间完成任务。求这项工程由甲独做要几天完成？
[分析与解]依照题意，完成任务时第二轮比第一轮多半天时间，从图1不难看出：在两轮中AB之间的工作量是甲乙（或乙甲）经过了若干次轮流以后（轮流次数相等，所做的工作也相等），余下的两轮工作量也相等，这样就不可能多出半天的时间。这与题中条件相矛盾，因此本解法行不通。

从上解中不难发现：在第一轮里不可能是甲开始乙收尾，很可能是甲开始甲收尾。这样作图2所示，通过分析、比较、归纳出：这两轮中甲乙最后余下的关系是：甲＝乙＋O.5甲→甲＝2乙。即甲的工作效率是乙的2倍，甲独做这项工程的天数：13×＝6.5（天）。

（本文作者为安徽省马鞍山市实验小学特级教师）