特级教师和学生谈数学思考

与你同行

利用推理解题



陈天鸿



数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性。解答数学习题，除了演算之外，有些题需要进行周密的推理。在推理过程中，我们要善于挖掘题中所隐含的条件，把它作为推理的依据，有次序地进行，使前面得出的结论，作为后面推理的依据，直到最终解决问题。

如五年制第十册课本第49页有这样的一道题：甲、乙、丙三人进行一场田径比赛，比赛项目有：100米、4OO米、800米、跳高、跳远五项。已知每项第一、第二、第三名各得5分、2分、l分；乙800米赛跑得第一名。比赛结束后，每人的总分是：甲22分，乙、丙各得9分。想想，这三人在五项比赛中各得到什么名次？

由题中条件可知：乙800米赛跑得第一名，乙得5分；而甲总分是22，只有当他取得五项中的四项第一名、另一项为第二名时，才会得22分，很显然，甲只能是800米得第二名，其余四项均为第一名；由于参加比赛的只有三人，每人每项至少能得第三名，拿1分；乙只有除8OO米外四项都得第三名，才会获得9分（5＋l＋1＋1＋1）；那么剩下的名次皆为丙的，即丙除800米得第三名外，其余四项都得第二名。如下表所示：

   总分 100米 400米 800米 跳高 跳远
甲 22 5 5 2 5 5
乙 9 1 1 5 1 1
丙 9 2 2 1 2 2


再如同册课本第143页的思考题：两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？

因为被除数、除数、商和余数的和是225，所以被除数、除数的和应为：225－21－3＝201；如果要使被除数和除数相除的商是21，且没有余数，则它们的和应是：201－3＝198，那么由和倍问题的特点可得：

除数：198÷（21＋l）＝9

被除数：9×21＋3＝192

所以被除数是192，除数是9。

（作者单位：安徽省怀宁县实验小学）

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灵活思考一题多解



张胜



[题目]在右图里有几个正方形？计算出涂色部分的面积。（单位：厘米）（人教版九年义务教育六年制小学数第六册第126页）

[分析与解］

本题图里共有3个正方形。

计算出涂色部分的面积方法如下：

解法一：一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积的差的2倍或两个大正方形的面积减去两个小正方形的面积。

（4×4－2×2）×3＝24（平方厘米）    或4×4×2－2×2×2＝24（平方厘米）

解法二：一个最大正方形的面积减去3个小正方形的面积。

6×6－2×2×3＝24（平方厘米）



解法三：一个长方形的面积加上一个小正方形的面积的和的2倍或一个长方形面积的3倍。

（4×2＋2×2）×2＝24（平方厘米）    或4×2×3＝24 （平方厘米 ）



解法四：一个小正方形的面积的6倍。

2×2×6＝24（平方厘米）



解法五：平移后成一个较大长方形的面积。

6×4＝24（平方厘米）



（作者单位：四川省剑阁县实验学校）

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两次相遇行程问题的解法



郑桂元



在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。

例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：



由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：

240－60＝180（千米）

例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解］根据题意可画出线段图：



由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：

（24O＋6O）÷2＝150（千米）

可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。

（作者单位：安徽省蚌埠市第三实验小学）

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加强知识联系巧解应用题



夏云旭



许多数学应用题，如果按照常规思路，往往比较繁琐，且费时费力，容易出错。但如果能将所学知识系统化，注意知识间的联系，开拓思路，往往会事半功倍，给人以惊喜，使人充分体验到数学带来的乐趣。

例1．一列火车从甲站开往乙站，6时行驶5OO千米，行了全程的，照这样速度，再行驶多少时到达乙站？

一般解法：照常规思路，要求再行多少时到达乙站，必须知道剩下的路程和火车的速度。

剩下路程：5OO÷－500＝500×－500＝300 （千米）

火车速度：500÷6＝500×＝80（千米）

再行时间：300÷8O＝3.75（时）

答：3.75时到达乙站。

巧妙解法：

联系分数与比的关系，行了全程的，即行的路程与全程的比是5:8，则行的路程与剩下的路程的比为5:3，该题可这样解：

6÷5×3＝3.75（时）

答：3.75时到达乙站。

例2．某水泥厂去年生产水泥32400吨，今年头5个月的产量就等于去年全年的产量，照这样计算，这个水泥厂今年将比去年增产百分之几？

一般解法：

由题意知，求今年比去年增产百分之几，需求出今年的产量。

今年的产量：32400÷5×12＝7776O（吨）

增产百分之几：（7776O－32400）÷324O0＝1.4＝14O％

答：今年将比去年增产14O％。

巧妙解法：

由“今年头5个月的产量等于去年全年的产量”知，可将今年一个月的产量看作“1”，则去年的产量为“5”，今年的产量为“12”。

（12－5）÷5＝1.4＝140％

答：今年将比去年增产14O％。

（作者单位：山东省莱西市实验小学）

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交叉线验算法

在计算乘数位数较多的乘法时，用以前学过的方法验算起来比较麻烦。要是用一种既迅速又准确的方法做验算该多好啊！确实有一种交叉线验算法会使你感到满意。 交叉线验算法，就是先在草稿纸上画出两条交叉的直线，再分别把被乘数、乘数和积的每一位上的数横着加起来，看是不是一位数，如果不是就再加一次，直到成为一位数为止。这样可得到三个一位数，分别是a、b、c。把它们分别写在交叉线上（如下图。） 这里d＝a×b。（如果a×b得两位数，就像上面那样相加，取最后得到的一位数作为d。）最后，如果c＝d，那么你的计算就是正确的。例如,281×282＝79242 验算时，先在草稿纸上画一个交叉线。把被乘数281横着加变成11，再横着加变成2，把2写在交叉线左方。把282横着加变成12，再横着加变成3，把3写在交叉线右方。把积横着加变成24，再横着加变成6，把6写在交叉线上方。然后把交叉线左右两数相乘2×3＝6，把6写在交叉线下方。这时交叉线的上方和下方的数相同，说明这道题算对了。 你会用交叉线验算法来进行乘法的验算了，你可能会想除法能不能也用这个方法来验算呢？和乘法一样，除法也是可以的。 除法的交叉线验算法和乘法略有不同，主要是每个数横着加变成一位数之后，写在交叉线中的位置和乘法不一样。写法如下。 这里a是被除数横着加得到的一位数；b是除数横着加得到的一位数；c是商横着加得到的一位数；d是b×c后再相加得到的一位数。如果a＝d那么你的计算就对了。例如，207264÷816＝254 验算时，先画一个交叉线，把被除数横着加变成21，再横着加变成3，写在交叉线上方；除数横着加变成15，再横着加变成6，写在交叉线左方；商横着加变成11，再横着加变成2，写在交叉线的右方；再把交叉线左右两数相乘6×2＝12，把12横着加得3，写在交叉线的下方。这样，交叉线上下方数字相同，你的题又算对了。 请用交叉线验算法验算下面各题。 368×251＝92268 　　　　　820476÷863＝842 487×364＝177268 　　　　 305732÷358＝844

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画一画，数一数

1．画一画，数一数。 大家都知道，在同一平面内，不平行的两条直线一定相交，两条直线相交，最多会有几个交点呢？画一画，数数看                     最多只有一个交点。 三条直线相交，最多能有多少个交点呢？                     最多可有3个交点。 四条直线相交，最多能有多少个交点呢？                     最多可有6个交点。 五条直线相交，最多能有多少个交点呢？                     最多可有1O个交点。 从中，我们可以发现交点的个数随着直线条数的增加在不断地增加，到底直线的条数与最多交点的个数有怎样的关系呢？ 2．深入探究，总结规律 我们不妨把上面直线的条数与相交的最多交点的个数用列表的方法整理出来。 直线条数 1 2 3 4 5 … 最多交点数 0 1 3 6 10 … 仔细观察不难发现，每增加一条直线，交点个数就增加（直线数-1）个，那就是： l条直线最多有O个交点 2条直线最多有O+(2-1)=1交点 3条直线最多有O＋l＋（3-l）＝3个交点 4条直线最多有O+1+2＋（4－1）＝6个交点 5条直线最多有O＋l＋2＋3＋（5－l）＝10个交点 像这样，在同一个平面内有n条直线相交，交点的最多个数是：   l＋2＋3＋4＋…＋（n－1） ＝［l＋（n－l）］×（n－l）÷2 ＝n×（n－1）÷2 3．练一练 （l）在同一平面内有25条直线相交。问这些直线最多能有多少个交点？ （2）如果在同一平面内有若干条直线相交，最多能有66个交点。问在这个平面内最多有多少条直线？ （作者单位：辽宁省兴城市南一小学）

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“割、补、拼、凑”有奥妙

郭彦钦

小朋友，如果问你长方形的面积该怎样计算时，恐怕你会很干脆地说出“用‘长方形面积＝长×宽’求出来呀。”没错，你回答得很好。 好，下面请看这道题：某学校有一个长方形操场，它的长和宽相加的和是2OO米，现在学校要扩建这个操场，使得它的长和宽都增加2O米。那么，这个操场的面积将会增加多少平方米？ 初看这道题，你会觉得这道题不太难。可是，当你提笔解答时，就会感觉有点不对劲：“要求长方形的面积，必须知道它的长和宽是多少，而现在知道的是长与宽的和，这该怎么做呢？” 别急，遇到困难时，好好动脑筋想一想，准能想出好办法的。你学过组合图形面积计算的方法吗？常用的“割、补、拼、凑”的方法你用过吗？那好，请看图1，图中长方形S表示原操场的面积，S1、S2、S3分别表示增加的三个长方形面积，由图可知增加的面积为S1＋S2＋S3，如果我们用割补的方法把图1变为图2，这时，你会发现什么呢？原来，增加的面积就是这个新长方形的面积，它的长是200＋2O＝22O（米），宽是2O米，则增加的面积是22O×2O＝44OO（平方米）。（还有多种解法，请你试试。） 原来，增加的面积的大小与长和宽各是多少无关，而只与长加宽的和有关，这是为什么呢？请爱动脑筋的同学继续往下看。 假设原操场的长为a，宽为b，则扩大后操场的长为a＋20，宽为b＋2O 原面积：S原＝ab 现面积：S现＝（a＋20）（b＋20） 增加的面积：   S增＝S现－S原 ＝（a＋20）（b＋2O）－ab ＝ab＋20a＋20b＋400－ab ＝2O（a＋b）＋400 ＝2Oｘ200＋4OO ＝440O（平方米） 可见，遇到难题或问题时，多动动脑筋，准会找到好办法的。并且，每做一道题都应想想是否能找到什么规律，这样，你就会变得越来越聪明。 （作者单位：山西省忻州地区长征路小学）