北师大版八年级上册数学第七章解二元一次方程组教案导学案

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第七章   解二元一次方程组


§7.2.1  解二元一次方程组(一)

知识与技能目标：
1.代入消元法解二元一次方程组.
2.解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想.
过程与方法目标：
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
情感态度与价值观目标：  
1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.
2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯.
教学重点
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
教学难点
1.“消元”的思想.
2.“化未知为已知”的化归思想.
教学方法
启发——自主探索相结合.
教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程.二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
教具准备
投影片两张：
第一张：例题(记作§7.2.1 A)；
第二张：问题串(记作§7.2.1 B).
教学过程
Ⅰ.提出疑问，引入新课
［师生共忆］上节课我们讨论过一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x个，儿童有y个，我们得到了方程组 成人和儿童到底去了多少人呢？
［生］在上一节课的“做一做”中，我们通过检验 是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出 是方程组 的解.所以成人和儿童分别去了5个人和3个人.
［师］但是，这个解是试出来的.我们知道二元一次方程的解有无数个.难道我们每个方程组的解都去这样试？
［生］太麻烦啦.
［生］不可能.
［师］这就需要我们学习二元一次方程组的解法.
Ⅱ.讲授新课
［师］在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？
［生］解：设成人去了x个，儿童去了(8－x)个，根据题意，得：
5x+3(8－x)=34
解得x=5
将x=5代入8－x=8－5=3
答：成人去了5个，儿童去了3个.
［师］同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？
［生］列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个.列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8－x)个.y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x.
［生］我还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程.
［师］太好了.我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可.如何转化呢？
［生］上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的.所以将         中的①变形，得y=8－x  ③我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.
［师］这位同学很善于思考.他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.
解：
由①得  y=8－x  ③
将③代入②得
5x+3(8－x)=34
解得x=5
把x=5代入③得y=3.
所以原方程组的解为
下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.
［师生共析］解二元一次方程组：

分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程.
解：由①得x=2+y  ③
将③代入②得(2+y)+1=2(y－1)
解得y=5
把y=5代入③，得
x=7.
所以原方程组的解为 即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.
［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.我们再来看两个例子.
出示投影片(§7.2.1 A)
［例题］解方程组
(1)
(2)

(由学生自己完成，两个同学板演).
解：(1)将②代入①，得
3× +2y=8
3y+9+4y=16
7y=7
y=1
将y=1代入②，得
x=2
所以原方程组的解是
(2)由②，得x=13－4y  ③
将③代入①，得
2(13－4y)+3y=16
－5y=－10
y=2
将y=2代入③，得
x=5
所以原方程组的解是
［师］下面我们来讨论几个问题：
出示投影片(§7.2.1 B)
(1)上面解方程组的基本思路是什么？
(2)主要步骤有哪些？
(3)我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？