特级教师和学生谈数学思考

与你同行

挖掘条件背后的条件



仝淑贤、王梅



解应用题是小学数学学习的难点，同学们往往是仿例题的样子去解题，若综合性强的题目就感到无从下手，其中一个重要原因就是不会挖掘题目中数量及它们间的关系。

一道应用题是多条信息的统一体。分析应用题的实质是寻找、挖掘和重新组合题中所体现出的种种数量关系。那么应该怎样分析、组合条件背后的条件呢？

例如：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的27千米，经过5小时两车相遇，求A、B两地相距多少千米？

〔分析与解〕利用原有的条件我们可以进行推想、挖掘条件背后的条件，再进行组合：

解法1：由甲车每小时行全程的，想到甲车行完全程用1÷＝8小时，而两车经5小时相遇，乙车所行路程是甲车（8－5）小时行的。所以可列式为：



或根据甲车每小时行全程的，可列式为：

27×5÷（8－5）÷＝360（千米）

解法2：由相遇时间为5小时，想到甲乙两车每小时行全程的，乙车速度为每小时27千米，与全程的（－）相对应。所以可列式：

27÷（－）＝360（千米）

解法3：由解法2可想到乙车每小时行全程的（－），同时又推想出乙车行完全程用的时间是1÷（－），所以可列式为：

27×〔1÷（8－5）〕＝360（千米）

解法4：由两车5小时相遇可知两车的速度和是全程的，可列式为：



以上这一例子说明，在解答应用题时，挖掘题目中的各种数量关系是多么重要。这就需要同学们从题目的条件入手，进行分析、推理，它可以更好地帮助你解答应用题。

与你同行

思路不同解法不同



邵君



同学们在解答较复杂的应用题时，往往不知从何下手。如果根据条件找出相应的等量关系或能将其中的条件转化一下，那么问题就会迎刃而解了。

[题目]修一多公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米后，已修和未修长度的比是1:2。这条路长多少米？（九年义务教育六年制小学数学第十二册思考题）

[分析与解］

解法一：这道题的条件是：再修300米后，已修和未修长度的比是1: 2，这里隐藏着一个等量关系，如果抓住这个等量关系，就可列方程解答。设已修的长度为x米，那么未修的长度为3x米。

（x＋300）:（3x－300）＝l:2

                     x＝900

                 x＋3x＝900＋9OO×3＝3600（米）

答：这条路长36OO米。

解法二：如果把条件“已修和未修长度的比是1:3，再修3OO米后，已修和未修长度的比是1:2”转化为：已修米数是未修米数的，再修300米，已修米数是未修米数的，又因为公路的总米数是“不变量”，我们把它看作单位“1”，所以，已修的米数就是总米数的＝，再修300米后，已修的米数就是总米数的＝，由此可知，300米就相当于总米数的－，所以可列式为300÷（－）＝300÷＝3600（米）

答：这条路有3600米。

（作者单位：江苏省沛县实验小学）

与你同行

谁跑的路程长？



陆梅



早晨小明和爸爸、妈妈一起跑步。爸爸跑的路程比小明的2倍少2O米，比妈妈的2倍多10米。小明和他妈妈谁跑的路程长些？（人教版九年义务教育五年制小学数学第八册第86页思考题）

此题可以用三种方法来解。

解法一：画线段图来解。



由图可见，小明比妈妈跑的路程长。

解法二：用方程解。

设小明跑了100米，爸爸跑的路程就是100×2－20＝180（米），再设妈妈跑了x米，

列出方程：2x＋10＝180    x＝85（米）

即妈妈跑了80米，可见小明比妈妈跑的路程长。

解法三：设小明、爸爸、妈妈跑的路程分别为x米、y米、z米，根据题意可以列出下面两式，再做适当的变形就能得解。即：

y＝2x－20→y＝2x＋20

y＝2x＋10→y＝2x－10（x＞z）

即小明比妈妈跑的路程长。

（作者单位：安徽省灵壁县实验小学）

与你同行

双向思考一题多解

颜建敏、邹小娟

[题目］修一条公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米后，已修和未修长度的比是1:2。这条路有多少米？（人教版九年义务教育六年制教材第十二册第57页思考题） [分析与解] 根据题意画出线段图，仔细观察，发现用分数知识解答比较简单。 解法1：可以发现已修的分别占全长的和，两次正好相差3OO米。因此全长为：3OO÷（－）＝36OO（米）。 解法2：如果从未修的分别占全长的入手，可以发现再修前正好比再修后多3OO米。因此全长为：300÷（－）＝3600（米）。 解法3：仔细观察线段图，300米正好是全长和的差，1个和1个有1个这样的差，3个和就有3个这样的差，3个这样的差正好是1个，因此全长为：3OO×3÷＝3600（米）。 同学们，你能从第三种解题思路的反向去思考，列出第四种解法吗？ （作者单位：江苏丹阳前艾中心小学）

与你同行

三个好朋友的故事

一个山清水秀的村子里有三个好朋友：小明、小刚和小强，他们常在一起合伙打鱼。一次，他们忙碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把鱼分成三份，自己拿走一份。最后还剩下8条鱼。 第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的8条鱼给小刚3条，小强5条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？ 这个问题直接从文字上分析有一定难度，为了帮助我们理解题意，启发解题思路，可以根据题意，画出下面的线段图。 由于最后剩的8条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是8÷2条。那么小刚拿走自己分的一份鱼后剩下的鱼是8÷2×3条，这占小刚分的三份中的两份，所以小刚拿走的鱼是（8÷2×3）÷2；同样可得知小明拿走的鱼是［（8÷2×3）÷2×3］÷2条。所以打的鱼一共是［（8÷2×3）÷2×3］÷2×3＝27（条）。 当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是8一条和第二天又拿了5条知道，每人平均拿了8÷2＋5条，所以打的鱼一共是（8÷2＋5）×3＝27（条）。 小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。 一次，小明从山里来了一筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说：“我把这筐梨先分给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚，然后又给小刚加了1个。接着，他又把剩下的给了小强一半，也同样给小强加了1个，最后剩下5个山梨，他自己留下了。 你来算算，小明这一筐山梨共有多少个呢？ 可以按照上次的方法，先画出下面的图。 然后列出算式：   ［（ 5＋l）×2＋1]×2 ＝[6×2＋1］×2 ＝26（个） 答：筐里一共有26个山梨。 你知道为什么可以用画图的方法来解题吗？原来，对于复杂的题目，可以根据题意画一个直观示意图来帮助我们弄清题中的数量关系，也就比较容易列出算式、求出结果。

与你同行

逆向思维的妙用







看完这个标题，你可能会问：“什么是逆向思维呀？”逆向思维，是指将人们通常思考问题的思路反过来，用对立的、看上去似乎不可能的办法解决问题的思维方法。利用这种思维方法，可以巧妙地解决一些我们正常思维所不能解决的问题。

比如，我们在解下面的题目时，就可以应用这种思维方法。

小远买1角钱的邮票和2角钱的邮票共100张，一共花了17元钱。他买了1角和2角邮票各多少张？

解这一题目，假设买来的100张都是2角邮票，那么总钱数应为：2×100＝200（角）＝20（元）。

可实际上小远只花了17元钱，比假设少3元钱，这是因为其中有1角钱的邮票。若有一张1角邮票，总钱数就相差1角。

由此可求出1角邮票张数为：3元＝30角，30÷1＝30（张）。

2角邮票张数为：100－30＝70（张）。

请你用这种方法算出下面的题目：

三年级的46名同学去划船，准备了可乘6人的船和可乘4人的船共10只，如果所有的学生恰好分配在这10只船上而没有剩余，那么大船和小船各几只？

与你同行

忙碌的机场



孙铁



［例题］机场上停着10架飞机，第一架飞机起飞后，每隔4分有一架飞机接着起飞。在第一架起飞后2分，有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分，有一架飞机在机场上降落，降落在机场上的飞机依次相隔4分在原有的10架飞机之后起飞。问：从第一架飞机起飞以后，经过多少时间，机场上才没有飞机停留？

［分析与解］机场上原来停着的10架飞机全部起飞共需时间：

4×（10－1）＝36（分）

在这36分时间内，机场上降落的飞机数为：

1＋＝6＋

上式中的余数4表示4分，也就是在32分时，第6架飞机降落，在余下的4分里还没有飞机降落。

降落的6架飞机接连起飞需用时间4×6＝24（分）

在前面余下的4分和现在的24分内，机场上降落的飞机数为：

＝4＋

降落的4架飞机继续起飞需4×4＝16（分）

这段时间里，降落的飞机数为：

＝3＋

3架飞机起飞需3×4＝12（分）

这时又降落飞机：

＝2＋（两架）

以下依次有：

2×4＝8（分）      ＝1＋（一架）

1×4＝4（分）      ＝1＋（一架）

1×4＝4（分）      ＝1（一架）

到这里除尽，表示同时有一架飞机起飞，一架飞机降落，因此，机场上还是有一架飞机。

1×4＝4（分）      ＝（0架）

在这时只有1架飞机起飞，而没有飞机降落，因此机场上已没有飞机了，所以共经过的时间为：

36＋24＋16＋12＋8＋4＋4＋4＝108（分）

或者为：

4×［（10－l）＋6＋4＋3＋2＋l＋l＋l］＝108（分）

[思考］上面的方法虽然易懂，但不够简便。如果我们设从第一架飞机起飞直到机场上降落最后一架飞机为止的那一段时间为x分，可得方程为：

（＋1）－（＋1）＝9

解得x＝104是整数，表示在104分时，各有一架飞机起飞和降落。此时机场上的飞机数为1架。4分后这架飞机起飞。所以1O4＋4＝108（分）后，机场上就没有飞机了。

（作者单位：辽宁省葫芦岛市教师进修学院）