特级教师和学生谈数学思考

与你同行

余数是几？

王素芹

活动课上王老师给同学们出了这样一个题目：一个数有1000位，每位上的数字都是7，将它除以13，余数是几？ 小刚读了一遍题，马上举手解答：7777÷13＝598……3，这道题余数是3。 李月反驳：“你做的不对，被除数不是7777。因为被除数有　1000位，说明被除数占1000个数位；而每位上的数字都是7，说明被除数由1000个7组成，也就是。”王老师问谁理解得对时，同学们一致同意李月的意见。王老师问小刚错在哪？小刚红着脸说：“我把1000位理解成了被除数的最高位在千位上，而每位上的数字都是7，我才得到了错误的被除数7777。”王老师接着说：“要正确解题首先要审好题，这是解题的关键环节，这道题正确的被除数是。第二步该做什么呢？”有的同学说直接用被除数除以13，最后找到余数，有的反对，说这样做太麻烦，大家一时找不到简便方法，都向王老师投来“求援”的目光。王老师接着讲到：“第二步要找商的出现规律：用除以13，当得到第六位商时，就能发现商的出现规律是商598290后，仍然循环出现商598290。”王老师边讲边让同学们试除，入下式： “第三步要确定商的位数：当用除以13时，应该用13试除被除数的前两位，而在被除数坐起第二位上写商，可得到999位商。第四步是将商进行分组，确定个位商：根据第二步中商的出现规律可将999位商按从左往右按每六位商划分为一组（598290为一组），列式为999÷6＝166……3，可得到166组还剩三位商不够一组，剩下的这三位商一定是一组中的前三位，也就是598，这三位商，其中5对百位，9对十位，8对个位，可见商8是此题中个位上的商。第五步是明确商与余数的关系，确定此题的余数：从计算可看出，每位商都对应一个余数，从第二步中可看出商8对应余数为3，因为这道题个位商是8，可见此题的余数是3。”讲完后王老师又把除数改成了12，同学们立刻计算起来，当板演的一个同学计算出下面步骤时： 王老师问这道题商有什么规律？小刚回答说：“除左起第一位商6外，其它商都按481一组一组地循环。”遇到这种情况怎样把999位商进行分组呢？李月灵机一动说：“从999位商中把左起第一位商6去掉，把剩下的998为商从左往右按每三位一组分组。”同学们马上列出算式：998÷3＝332……2，最后剩两位商不够一组，即剩下的商是48，其中商4对应十位，商8对应个位，商8对应余数1。同学们很快得出结论，这道题的余数为1。这种求余数的方法你学会了吗？ （作者单位：河北省乐亭县第一实验小学）

与你同行

用逆推法解应用题







有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果，要想求出未知量，可以从这最后结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，这种方法叫做逆推法。如7大于5，也可以说成5小于7。这种思维方法我们称作逆向思维，在处理一些问题时经常要用到。有些应用题按顺向处理比较困难，或者会出现繁杂的运算，如果根据题目的条件，运用逆推法去解则方便得多。

例  小明问爷爷多大年龄，爷爷说：“把我的年龄加17，然后用4除，减15，再用10乘，恰巧是100岁。”小明的爷爷多大年龄？

我们用逆推法解。题中最后乘以10得100岁，那么乘10前就是100÷10＝10（岁），不减15就是10＋15＝25（岁），不用4除就是25×4＝100（岁），不加17就是100－17＝83（岁）。这样，就得到了小明的爷爷的年龄是83岁。

这是比较简单的用逆推法解的应用题，下面是一道比较难的题目，请你试着用逆推法解出来。

有三堆火柴，共48根。第一次从第一堆里拿出与第二堆根数相同的火柴并入第二堆；第二次再从第二堆里拿出与第三堆根数相同的火柴并入第三堆；第三次再从第三堆里拿出与这时第一堆根数相同的火柴并入第一堆里。经过这样的变动以后，三堆火柴的根数恰好完全相同。问原来每堆火柴各有多少根？

这里是一道有名的难题，用其他方法解难度都很大，让我们用逆推法试一试。

例有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶的油倒入乙、丙两桶，使各增加原有油的一倍，再将乙桶的油倒入丙、甲两桶，使它们现在有的油各增加一倍，最后同样将两桶油倒入甲、乙两桶，这样各桶的油都是16千克。问各桶原来盛油多少千克？

由于最后的结果各桶都是16千克，那么当丙桶油未倒入甲、乙两桶之前应该是：

甲：16÷2＝8（千克）

乙：16÷2＝8（千克）

丙：16＋8＋8＝32（千克）

那么乙桶油未倒入甲、丙两桶之前即为：

甲：8÷2＝4（千克）

丙：32÷2＝16（千克）

乙： 8＋4＋16＝28（千克）

同样的道理，甲桶油未倒入乙、丙两桶之前的油量即为各桶原有油的数量：

乙：28÷2＝14（千克）

丙： 16÷2＝8（千克）

甲： 4＋14＋8＝26（千克）

你明白了吗？用这种方法再想一下上次留的题目，你做得对吗？

与你同行

用假设法解题

李佳和刘路在一起研究这样一道题： 一个国王得到三块金锭，共重4千克，已知第二块比第一块轻400克，第三块的重量是第二块的2倍。求每块各重多少克？ 根据题意，刘路很快画出了线段图。 怎样计算呢？刘路和李佳讨论起来。李佳说：“假如第一块减少400克，会怎样呢？” 刘路高兴地说：“对了，假如第一块减少400克，就与第二块同样重了，这时，总重量一定要减少400克，就变成3600克了。” 李佳也明白了，兴奋地说：“是呀！ 3600克里包含着4个第二块的重量。” 于是，两人动笔进行了下面的计算： 第二块：3600÷4＝900（克） 第二块：900×2＝1800（克） 第一块：900＋400＝1300（克） 验算：1300＋900＋1800＝4000（克）。 你知道他们用的是什么方法吗？他们用的就是假设法。假设法是数学中的一个重要思想，通过假设可以使复杂的问题简单化，使所求的问题明朗化，这样我们就可以更快地找到解决问题的突破口了。但要注意的是，最后一定要去掉假设的成分，得到正确答案。

与你同行

用不同的方法解答应用题

胡彦会

应用题是小学数学的重点和难点，是学习上的“碉堡”。应用题看似难学，但是只要灵活运用知识的内在联系、迁移规律也是不难解决的。如用比的知识解答应用题，与根据分数的意义解答应用题，以及根据数量间的倍数关系解应用题，虽然方法不同，但是它们之间是可以互相转化的。因为当把两个数量中的一个作为标准量时，如果另一个数量是它的几倍，那么当把另一个数量作为标准量时，它就是另一个数量的几分之一。同时这两个数量也存在着比的关系。由此根据这些数量的转化、迁移就可以用不同方法来解答同一道应用题了。 例．学校试验田共种小麦和油菜6O公亩，小麦的面积是油菜的4倍，小麦、油菜各多少公亩？ 解法1：用倍数解答。 根据“小麦公亩数+油菜公亩数＝6O”及“小麦的面积是油菜的4倍”列方程。 解：设油菜x公亩，那么小麦为4x公亩。 x＋4x＝60    5x＝6O     x＝12    4x＝12×4＝48 答：小麦48公亩，油菜12公亩。 解法2：用按比例分配来解答。 已知小麦的面积是油菜的4倍，则小麦的面积和油菜面积的比为4:1。 总面积平均分的份数为：1＋4＝5 小麦的面积：6O×＝48（公亩） 油菜的面积：6O×＝12（公亩） 解法3：用比例解答。 小麦的面积与总面积的比为4:5。 设：小麦的面积为公亩，则有x:60＝4:5。 解之x＝12 或：油菜面积与总面积的比为1:5。 设：油菜的面积为公亩，则有 x:60＝1: 5    解之x＝12 解法4：用分数解答。 小麦的面积与总面积的比为4:5，则说明小麦的面积占总面积的(比和分数相互转化），那么，就是求6O的是多少。 60×＝48（公亩） 或油菜面积与总面积的比为1:5，则说明油菜的面积占总面积的，那么就是求6O的是多少。 6O×＝12（公亩） 以上列出了四种解答方法，还有一些其它方法，但是不论用哪一种方法（倍数、按比例分配、比例、分数），它们之间都是有内在联系的，只要把握好了内在的联系，就可以用不同的方法解答应用题了。通过不同的方法，更加深人地理解题中的数量关系，以达到对应用题的理解和掌握的目的。 （作者单位：江苏省赣榆县青口镇中心小学）

与你同行

一题多解

有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想就会有多种解法。这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法。下面的题目就可以用三种方法来解。 例  某建筑工地，第一天用6辆汽车运沙子，共运96吨，第二天用同样的汽车12辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？ 解法一：先求一辆汽车一天运沙子的吨数，再求12辆汽车一天运沙子的吨数，减去第一天运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。 6÷6×12－96＝96（吨） 解法二：先求出12辆是6辆的多少倍，再求12辆汽车每天运的吨数，最后减去6辆汽车每天运的吨数。 96×（12÷6）－96＝96（吨） 解法三：先求一辆汽车一天运的吨数，再求第二天比第一天多几辆车，这多的几辆所运的沙子就是第二天比第一天多运的。 96÷6×（12－6）＝96（吨） 答：第二天比第一天多运48吨。 你认为哪种算法最好？ 我们来看一道题，它可以有五种解法，甚至更多，看完后，请你想一想还有没有别的解法？ 例  某饭店买回一桶豆油，连桶称共有210千克，用去一半后，连桶称还有120千克，油桶重多少千克？ 解法一：把120千克扩大2倍，得到一桶豆油的重量和两只桶重，从中去掉210千克（这是一桶豆油与一只桶的重量和），即得桶重。 120×2－210＝30（千克） 解法二：先求出半桶豆油的重量，再从120千克中去掉这半桶豆油的重量，也可得桶重。 120－（210－120）＝30（千克） 解法三：先求出两只桶和两桶油的重量，再求出两只油桶和一桶油的重量，这样可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。 210－（210×2－120×2）＝30（千克） 解法四：基本上与解法三相同，也可以说是它的简便算法，但算理稍有不同。 210－（210—120）×2＝30（千克） 解法五：先求出半只桶重，再求出整个油桶的重量。 （120－210÷2）×2＝30（千克） 答：油桶重30千克。 我们再来看一道题：李师傅要加工3080个零件，他用4天加工了280个零件。照这样计算，加工剩下的零件还需要多少天？ 解法一：先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件，再求需要加工多少天。 （3080－280）÷（280÷4）＝40（天） 解法二：先求每天加工多少个零件，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。 3080÷（280÷4）－4＝40（天） 解法三：先求这批零件的总数是他4天加工零件的多少倍，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。 4×（3080÷280）－4＝40（天） 解法四：先求还要加工多少个零件，然后求还加工的零件数是4天加工零件数的多少倍，最后求还需要加工多少天。 4×［（3080－280）÷28] ＝40（天） 答：加工剩下的零件还需要40天。 希望你也常动脑筋用多种方法解一道题，以提高解题能力。

与你同行

异分母分数相加减为什么要先通分



张开勇



同学们在做异分母分数加减法时，要先把它们转化成分母分数才能相加减。这是为什么呢？我们知道，自然数以“1”为标准，逐次加1而组成自然数序列。也就是说，“1”是自然数的单位。“2”是由两个“1”组成的，“7”是由七个“1”组成的，“25”是由二十五个“1”组成的，等等。由于这样，所以任何两个自然数都可以直接相加减。例如：“2＋5”就是两个“1”加五个“1”等于七个“1”即等于7。

但是，分数就不同了。分数有没有单位？答案是肯定的。但是，不同的分数有着不同的分数单位。譬如，实际上是2个组成的，所以的分数单位是；又如，实际上是3个组成的，所以的分数单位是；同样，的分数单位是，的分数单位是。一般地说，一个最简分数的分数单位是。

同分母分数，因为它们的分数单位不同，所以不能直接相加减。如－，就是3个减去2个，还剩下1个，所以－＝。

异分母分数，因为它们的分数单位不同，所以不能直接相加减。如＋，当然不能直接相加。为了使它们能够相加，就要把它们化成相同的单位，这就需要通分：＝＝，＝＝。转化成，转化成后，因为与的分数单位都是，所以就可以相加了。用图形来示意，整个过程就是：



最后，我们再打个比喻：整数或同分母分数好比同名数，可以直接相加减。如5米＋3米，就是直接把5与3相加等于8米。异分母分数好比异名数，不能直接相加减。如5米－3分米，就不能直接用5减去3，而是要把它们化成5米－0.3米（或50分米－3分米），然后才能用5减去0.3得4.7米（或50分米减去3得47分米）。

同学们，你们明白了吗？

（作者单位：江苏省沛县实验小学）

与你同行

一道思考题的三种解法







课本上有一些锻炼我们思维的思考题，你都做过吗？下面的一道你是怎样做的？

题目是这样的：选择＋、－、×、÷中的运算符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

（1） 2  2  2  2  2＝0

（2） 2  2  2  2  2＝1

（3） 2  2  2  2  2＝2

（4） 2  2  2  2  2＝3

（5） 2  2  2  2  2＝4

（6） 2  2  2  2  2＝5

（7） 2  2  2  2  2＝6

（8） 2  2  2  2  2＝7

（9） 2  2  2  2  2＝8

（10）2  2  2  2  2＝9

下面向你介绍三种解这道题的方法，希望你能受到启发，从而举一反三，学会解更多的思考题。

猜测法，也叫试验法。它完全是靠边猜测、边试验的方式求解。如（1）题，先试2×2÷2＋2－2≠0，后试2÷2＋2－2＋2≠0……最后试得2÷2＋2÷2－2＝0，成功了。猜到了一种答案，还可以继续下去，以寻找第二、第三种答案。

逆推法，就是从问题的要求或结果出发，一步一步地进行逆向推理，逐步靠拢已知条件，把已知条件逐个用进去，直至求出问题的答案。如（2）题，因为等号右边的1比等号左边的2小，所以只能在等号左边第一个2前面添上减号或者除号。如添上减号，使原题变成2 2 2 2＝3。同理又因3＞2，故可在等号左边第二个2的前面添上加号，使原题变成2 2 2＝1。这时就很容易看出2－2÷2＝1了。综合前两步逆推，就得到2－2÷2＋2－2＝1的一种解法。如继续作其它逆推，还可得到第二、第三……种解法。

前面介绍的两种方法你看懂了吗？请不要着急，慢慢地消化理解，逐步加以接受。

下面请看第三种解法。

凑数法，这是一种综合运用知识的方法，它同样要结合试验才能顺利进行。如（3）题，可以让等式左边的5个2两两相减得0，剩下的一个2当然就和等式右边的2相等了，即2－2＋2－2＋2＝2。

从某种意义上说，它和猜测法有相同的地方，那就是都要试验，但试验的方法是不同的，你能总结出它们的不同点吗？

怎么样？这三种解法和你以前用过的方法一样吗？你还有更好的方法吗？如果有，那真是太好了，因为你现在的思路宽了，解题的速度和正确率都会大大提高的。

好吧，看看你学习的效果怎样，是不是真正能举一反三。请做下面的题。

选择适当的运算符号和括号，使下式成立。

（1）2  3  5  7  1＝2            （2）2  3  5  7  1＝4

（3）2  3  5  7  1＝6            （4）2  3  5  7  1＝8