人教版八年级数学下册16.3二次根式的加减教学设计

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人教版八年级数学下册16.3二次根式的加减教学设计
16.3 二次根式的加减(1)
教学内容
    二次根式的加减
教学目标
   知识与技能目标： 理解和掌握二次根式加减的方法．
   过程与方法目标：先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简．
   情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
重难点关键
    1．重点：二次根式化简为最简根式．
2．难点关键：会判定是否是最简二次根式．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与同类项进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟二次根式加减的模型，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程:一、复习引入
    学生活动：计算下列各式．
    （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3
    教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减．
二、探索新知
    学生活动：计算下列各式．
（1）2 +3            （2）2 -3 +5  
（3） +2 +3     （4）3 -2 +
    老师点评：
    （1）如果我们把 当成x，不就转化为上面的问题吗？
        2 +3 =（2+3） =5
    （2）把 当成y；
         2 -3 +5 =（2-3+5） =4 =8
    （3）把 当成z；
       +2 +  
       =2 +2 +3 =（1+2+3） =6
    （4） 看为x， 看为y．
       3 -2 +
=（3-2） +
       = +
    因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如2 与 表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的．
   3 + =3 +2 =5
    3 + =3 +3 =6
    所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
    例1．计算：（1） +     （2） +
    分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．
    解：（1） + =2 +3 =（2+3） =5 ：（2） + =4 +8 =（4+8） =12
    例2．计算：（1）3 -9 +3 ；     （2）（ + ）+（ - ）
    解：（1）3 -9 +3 =12 -3 +6 =（12-3+6） =15
    （2）（ + ）+（ - ）= + + -
          =4 +2 +2 - =6 +
三、应用拓展：例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ +y2 ）-（x2 -5x ）的值．
    分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）2+（y-3）2=0，即x= ，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
    解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0
    ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0
    ∴（2x-1）2+（y-3）2=0
    ∴x= ，y=3
    原式= +y2 -x2 +5x
    =2x + -x +5
    =x +6
    当x= ，y=3时，
原式= × +6 = +3
四、归纳小结：本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．
五、布置作业：一、选择题
    1．以下二次根式：① ；② ；③ ；④ 中，与 是同类二次根式的是（  ）．
      A．①和②    B．②和③     C．①和④    D．③和④
    2．下列各式：①3 +3=6 ；②  =1；③ + = =2 ；④ =2 ，其中错误的有（  ）．
      A．3个    B．2个    C．1个    D．0个
  二、填空题：1．在 、 、 、 、 、3 、-2 中，与 是同类二次根式的有________．
    2．计算二次根式5 -3 -7 +9 的最后结果是________．
  三、综合提高题： 1．已知 ≈2.236，求（ - ）-（ + ）的值．（结果精确到0.01）
    2．先化简，再求值．
    （6x + ）-（4x + ），其中x= ，y=27．
答案:一、1．C  2．A；二、1．        2．6 -2
    三、1．原式=4 -  -  -  =  ≈ ×2.236≈0.45
2．原式=6 +3 -（4 +6 ）=（6+3-4-6） =- ，
当x= ，y=27时，原式=- =-  
板书设计：
§16.3.二次根式的加减（1）
情境引入                        例2                          学生板演

二次根式的加减法则              例3

例1                            练习                          小结

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16.3 二次根式的加减(2)
教学内容：利用二次根式化简的数学思想解应用题．
教学目标
    知识与技能目标：运用二次根式、化简解应用题．
过程与方法目标：通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题．
    情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
重难点关键：讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与整式的加减进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟二次根式的加减模型，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程：一、复习引入
    上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．
二、探索新知
例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，根据三角形面积公式就可以求出x的值．
    解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．
    则有PB=x，BQ=2x
    依题意，得： x•2x=35
    x2=35
    x=
    所以 秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
    PQ= =5
    答： 秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5 厘米．
    例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，只需知道这四段的长度．

    解：由勾股定理，得
    AB= =2
    BC= =
    所需钢材长度为
    AB+BC+AC+BD
    =2 + +5+2
    =3 +7
    ≈3×2.24+7≈13.7（m）
    答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材．
三、应用拓展
    例3．若最简根式 与根式 是同类二次根式，求a、b的值．（同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
    分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式 不是最简二次根式，因此把 化简成|b|• ，才由同类二次根式的定义得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式 化为最简二次根式：
     = =|b|•
    由题意得
    ∴
    ∴a=1，b=1

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四、归纳小结
    本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题．
五、布置作业
       一、选择题
    1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（  ）．（结果用最简二次根式）
      A．5       B．       C．2       D．以上都不对
    2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm和20cm的长方形的木框，为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（  ）米．（结果同最简二次根式表示）
      A．13       B．       C．10       D．5
    二、填空题
    1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）
    2．已知等腰直角三角形的直角边的边长为 ，那么这个等腰直角三角形的周长是________．（结果用最简二次根式）
    三、综合提高题
    1．若最简二次根式 与 是同类二次根式，求m、n的值．
    2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（ ）2，5=（ ）2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：
    （ -1）2=（ ）2-2•1• +12=2-2 +1=3-2
    反之，3-2 =2-2 +1=（ -1）2
    ∴3-2 =（ -1）2
    ∴ = -1
求：（1） ；
（2） ；
（3）你会算 吗？
    （4）若 = ，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
答案:一、1．A  2．C；二、1．20   2．2+2
三、1．依题意，得  ，  ，  
所以 或  或  或
2．（1） = = +1  ；（2） = = +1
（3） = = -1  ；（4）   理由：两边平方得a±2 =m+n±2   
所以
板书设计：
§16.3.二次根式的加减（2）
情境引入                               例2                          学生板演
                                    
二次根式的加减法则                     例3

例1                                    练习                          小结

16.3 二次根式的加减(3)
教学内容
    含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用．
教学目标
   知识与技能目标： 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．
   过程与方法目标：复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算．
情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力．
    重难点关键
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．
教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用；　2、讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与整式的乘除进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法　通过观察、类比，使学生感悟含有二次根式的整式乘除模型，形成有效的学习策略。
2、阅读的方法　让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3、分组讨论法　将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。
4、练习法　采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程：一、复习引入
    学生活动：请同学们完成下列各题:

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    1．计算
    （1）（2x+y）•zx    （2）（2x2y+3xy2）÷xy
    2．计算
    （1）（2x+3y）（2x-3y）    （2）（2x+1）2+（2x-1）2
    老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用．
二、探索新知
    如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？仍成立．
    整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式．
    例1．计算:
    （1）（ + ）×     （2）（4 -3 ）÷2
    分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律．
    解：（1）（ + ）× = × + ×
    = + =3 +2
    解：（4 -3 ）÷2 =4 ÷2 -3 ÷2
    =2 -
    例2．计算
    （1）（ +6）（3- ）     （2）（ + ）（ - ）
    分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．
    解：（1）（ +6）（3- ）
    =3 -（ ）2+18-6
=13-3
    （2）（ + ）（ - ）=（ ）2-（ ）2
    =10-7=3
三、应用拓展
例3．已知 =2- ，其中a、b是实数，且a+b≠0，
化简 + ，并求值．
    分析：由于（ + ）（ - ）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
解：原式= +
= +
    =（x+1）+x-2 +x+2
    =4x+2
    ∵ =2-
    ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
    ∴bx-b2=2ab-ax+a2
    ∴（a+b）x=a2+2ab+b2
    ∴（a+b）x=（a+b）2
    ∵a+b≠0
    ∴x=a+b
    ∴原式=4x+2=4（a+b）+2
  四、归纳小结：本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算．

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  五、 一、选择题
    1．（ -3 +2 ）× 的值是（  ）．
    A．  -3 ；    B．3 -  ； C．2 -   ；    D．  -
    2．计算（ + ）（ - ）的值是（  ）．
      A．2     B．3     C．4     D．1
    二、填空题
    1．（- + ）2的计算结果（用最简根式表示）是________．
2．（1-2 ）（1+2 ）-（2 -1）2的计算结果（用最简二次根式表示）是_______．
    3．若x= -1，则x2+2x+1=________．
    4．已知a=3+2 ，b=3-2 ，则a2b-ab2=_________．
    三、综合提高题
    1．化简
    2．当x= 时，求 + 的值．（结果用最简二次根式表示）
    课外知识
    1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．
    练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（  ）．
A． 与     B． 与
C． 与     D． 与
    2．互为有理化因式：互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1- 与x+1+ 就是互为有理化因式； 与 也是互为有理化因式．
    练习： + 的有理化因式是________；
    x- 的有理化因式是_________．
    - - 的有理化因式是_______．
    3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．
    练习：把下列各式的分母有理化
    （1） ；   （2） ；  （3） ；   （4） ．
    4．其它材料：如果n是任意正整数，那么 =n
    理由： = =n
练习：填空 =_______； =________； =_______．
答案: 一、1．A  2．D；二、1．1-   2．4 -24    3．2  4．4 ；三、1．原式＝
= =
=-（ - ）= -
2．原式＝
= = = 2（2x+1）
当x= = +1时，  原式＝2（2 +3）=4 +6.
板书设计：
§16.3.二次根式的加减（3）
情境引入                          例2                          学生板演
                                    
二次根式的加减法则                例3

例1                               练习                          小结