充分利用数学习题拓展学生思维空间

与你同行

新教材在很大程度上为我们提供了丰富多彩的教学内容，我们不仅要充分利用，而且要根据本班的实际进行适当的剪裁，让教学内容为学生喜欢。下面是我的一次教学经历。

“老师，这个题目很有趣！”

一次数学练习课学习的内容是100以内的加减法，当快结束的时候，我出示了书上第78页的最后一道习题──小朋友套圈（一年级下册）。

我说：“小朋友在进行套圈比赛，小英得了28分，你猜猜看她套中了哪两个玩具？”话音一落，学生早已高高地举起了手。有的说：“套中24分和4分。”还有的说：“可能是套中3分和25分。”在学生热烈的讨论声中，很快地解决了这个问题……我问学生这节课的收获，有的学生说：“老师，最后一题最有趣。”还有的说：“老师，下次你再给我们做这样的题目。”
分析：从学生的表现来看，他们对这样有情境的练习题充满了兴趣，触及了他们的兴奋点。学生觉得自己不是在做题，而是在玩游戏。应该说，书上的这道题是比较开放的，答案也是多元的，能启发学生的思维，而且让学生感受到数学与生活的密切联系。但我觉得总有点遗憾，精心准备了教学材料，就这样几分钟匆匆而过，是不是太可惜了。学生对这样感兴趣的材料，我们是否可以进行挖掘。新课程提倡教师要灵活运用教材而不拘泥于教材，用新的教学方式和学习方式来创设活动，让它进一步提升学生的思维。

“两次套同一个圈，是不可能的！”

于是，说干就干，我对第一次的教学课件又进行了重新设计。这次，我呈现了这样一个课件。

学生的注意一下子都被这个画面吸引住了。我说：“你能给大家介绍一下比赛规则吗？”他们还是挺能干的：“老师，我知道，每个小动物套4个圈，可以玩两次。”我接着问：“小兔第一个套，套中了2个，你猜会得多少分呢？”有的学生说：“可能是6+10=16，6+12=18。”有的学生说：“可能是10+12=22，10+16=26，12+16=28。”就是没有出现2个圈套在同一个物体上的情况。我又请学生来猜一猜：“小兔套中2个圈，最高分是几分？最低分是几分呢？”一个学生说：“最高分是28分。”另一个学生确信地说：“肯定是28分，最低分是16分。”我又请别的学生说说自己的想法，他们的答案是如此一致。我只能提醒他们说：“那么，两次都套同一个圈，最高分32分可能吗？”学生露出惊讶的神色，直摇头：“不可能！”我又一次解释给他们听，但学生还是不明白。
分析：为什么会出现这样的局面，尽管我一直在解释说明，但学生的认识和教师还是有差距的。研究表明：学生学习数学时的困难，首先来自于基础知识的欠缺及个体思维水平的制约，除此之外，来自教材的因素也是重要的方面，这一点往往被教师所忽视。我想，今天，学生遇到的困难，原因可能有以下几个方面。首先教师提供的材料有一定的缺陷，教师出示的课件上只有四个圈，而且有四件物品，一一对应的思想在学生的头脑中印象很深刻，使学生的思维受到了限制。因此，他们不可能产生两次套同一个物体的想法；其次，学生缺少相应的生活经验，套圈可以说他们曾经看到过或玩过，但那时更多的是由家长在一旁指引着玩，他们没有充分的体验。由于教师的主观意识和对学习者原有经验预料不足，造成了预设方案与课堂教学真实情境的脱节。
出于以上的思考，我采取了两个策略，一是修改了课件的内容，增加了一个圈，变成了5个圈；二是在课外安排一次套圈的活动。接下去，我在另外一个班上这节课。

“老师，我知道了！”

课始，有趣的谈话后，我出示了以上这个画面，学生的兴趣很高，教师同样让学生猜一猜，小兔套中了哪2个圈，得了多少分。结果，学生的想法可真多，他们能把十种方法都找出来。尤其是在后面的环节，我让他们猜一猜最高分和最低分各是多少分时，学生都争着说：“老师，我知道！我知道！”大部分学生都能找对，和第一次无人应答的场面大相径庭。接下来，我们请小猴套，它也套中了2个圈，这两个数相加的时候要进位。一个学生说：“6+6=12，6+16=22。”还有一个学生马上补充说：“有可能是16+16=32。”这时，我发现还有一个学生高举着手，我请他来发表意见，他兴奋地说：“12+16=28。”他话音一落，马上有学生提出不同意见：“不可能的，因为12+16=28是不进位的！”这样，在相互讨论中，学生明白了进位加法的概念，那么学生的猜想是否正确呢？我们通过课件来验证，当出现一个圈套中6分的物体时，学生早已按捺不住激动的心情：“耶！”我忙追问：“另外一个圈还不知道呢，为什么这样高兴？”一个学生说：“因为一个是6分，另一个可能是6分或16分，我把这些算式都写了下来，我肯定猜对了。”在课件演示的时候，学生是如此专注，积极思考，这是我一开始没有想到的。“有哪些小朋友猜对了？为什么能猜对，介绍一下你的经验，行吗？”“老师，要多写几种，不能只写一种。”看来，学生还是很有办法的。最后，还有小羊套圈，套中了3个，得分是20几分，会套中哪三个呢？学生是那样的兴奋，在猜想和验证中快乐地思维。
分析：学生有过体验之后，教师提出了挑战性的问题，使他们进入了一种积极的愤悱状态。这一改动，为学生联系自身的生活经历思考问题提供了条件，为个性化解题策略的出现提供了可能。事实证明，这样的处理方式和问题设计，为不同学生的发展提供了舞台。每个学生都能根据自己的学习水平进行问题解决，他们思考着并快乐着。在课堂教学的过程中，学生的活动是以自身的需要为动力而展开的，在猜想和验证之间建立起强烈的求知和情感纽带。在这里，有学生之间的相互检查，有多角度的思考方法，有在原有基础上对知识的更新的思考，并由此提升的数学方法。
［反思］
1.习题的编制注重学生的体验。
经过这次教学实践，我再次深深领悟到“对数学影响最大的是学生已有的知识”这句话的内涵。在第一次教学中，教师没有走进儿童的生活世界，和他们的“经验世界”缺少一种联系和沟通。自以为套圈这样的游戏活动，对他们来说是看到过的或玩过的，可以理解的。但实际并非如此，他们缺少真实情景的体验。当安排学生体验套圈的游戏后，他们的思维和第一次有了很大的差异，而且能主动提出“2个圈套中同 一物体”的情况，而不像第一次，教师千方百计地解释引导，学生还是一脸疑惑。因此，教师只有站在学生的立场上，想学生之所想，以学生的生活经验为基础，才能设计出符合学生思维发展水平的活动。同时，设计具有挑战性的问题情境为学生的个性化学习搭建舞台，为不同学生的发展创设空间。这一点也正是新课程标准明确提出的：“强调从学生生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并解释应用的过程。”在这次教学实践中，我体会到新思想、新理念指导下新的学习方式给学生带来的无限乐趣。结合学生的生活经验和已有知识来设计教学活动，将使他们不由自主地亲近数学。
2.习题的展开，以思维训练为轴心。
人们常说，数学是思维的体操，数学思维在数学学习中具有重要的作用。我们应将思维训练贯穿于整个教学过程。练习课也不例外，数学习题承载着这一重要的任务，要用足用好每一道练习题，认真钻研教材，理解编排意图，明确每一道习题的作用和功能，显得尤为重要。教师要根据班级特征和学生知识水平的差异，对教材里的习题作适当调整、组合、补充，充分发挥习题的价值。
（1）在猜想中学会思考。关于数学思维能力，以往主要指逻辑思维能力，即抽象、概括、演绎、推理。目前，它的内涵丰富得多了，还包括参与思维活动的其他成分，如观察、分析、比较、猜想、直觉等。猜想是一种带有直觉性的较高级的思维方式。在这节课中，教师以一个主题情境为依托，将之加工处理成连贯的“情境链”，并从中生成所需的“问题串”。问题的解决以猜想的方式进行，教师首先要考虑的是，猜想必须是思考的结果，否则就是无效的泡沫。对照这节课，首先，小兔套圈的时候，第一次，教师让学生猜一猜，提出“你猜是套中了哪2个圈”，这个问题是极具开放性的，但不是漫无边际的，最多有十个答案。学生可以把自己的猜想无所顾忌地说出来，教师尊重他们的想法。第二次，再这样猜就没有意义了，于是教师设置了一定的条件：小猴套圈的时候，套中两个圈，这两个数相加的时候要进位。学生在这时进行的是有效的思考，必须找出进位的加法。每次猜想思考，学生的关注点是不同的，教师引发学生的关注点也正是这节课练习的重点和难点。这样的设计，把重点和难点非常自然地融合在各环节中，提升了学生学习活动的水平，促进了思维的发展。实践证明，数学知识、方法必须由学生在实践活动中理解、感悟、发展，而不是单纯依靠教师的讲解去获得。
（2）在交流中学会反思。数学课程标准十分重视学生数学素养的培养，让学生学会数学的交流，也是一种有效的策略。在课堂中，教师要努力创设交流的环境。在交流中完善知识，在倾听中学会尊重，在反思中得到发展。在这节数学课上，教师提出了问题：“我们请小猴套，它也套中了2个圈，这两个数相加的时候要进位。你猜会是哪2个呢？”一个学生说：“有可能是12+16=28。”他话音一落，马上有学生提出不同意见：“不可能的，因为12+16=28是不进位的！”你看，学生说得有理有据，另一个学生也是心悦诚服。在这里，学生的错误，本来也是教师需要强调的难点，由于有了开放的交流，这个问题也就迎刃而解。在交流中，学生相互了解彼此的见解，既能使其理解更加丰富和全面，又能在比较中不断反思自己的思考过程，真正做到在交流中反思，在反思中调整。