初中数学优秀案例 《直线与圆位置关系（复习）》

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星期三上了一堂以《直线与圆位置关系（复习）》为题的公开课。 本课为中考第一轮复习中的一课，内容为中考的高频考点，因此定下的基调为：夯实基础、适当拓展。课堂主要分为三个模块：模块一为前置性任务，复习巩固直线与圆的三种位置关系和切线的判定与性质；模块二为课堂探究，主要固化切线的判定与性质的两种基本解题思路并适当感受本课拓展内容——临界值法；模块三为拓展探究：强化体会临界值法在解决问题中的应用。下面结合三个模块中的几个实例简要做一个分析。
模块一（前置性学习任务）
问题：（共四个问题）
1.已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置是                ；
2.直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是             ；
3.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为 　       °.
4.如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E，求证：DE是⊙O的切线.
教学方式：学生课前完成任务，并进行小组合作交流，课堂晒错，交流困惑、心得体会等。
课堂实录：（教师询问后，多数同学没有问题，教师刚要抽查小组是否都解决）
生1：第3题，我在解题时出错了，以为对角互补，小组讨论后知道没连半径，告诫大家“有切线，连半径，得垂直”。
生2：我们小组这4题没有困难，但有一个知识点忘了，什么是切割线定理，有没有同学帮忙解决一下。（是补充内容，其实与本课内容关联度不高）
师：有没有同学帮助解决？（短暂的沉默后，生3站了起来，组长级别）
生3：其实是一个补充内容……（板书图形后，很好的解决了）
生4：关于第3题，我们小组还有一个办法，连结CO，并延长，可以证明∠AOB是∠ACB的一半……，（讲完后发现比较麻烦），其实这个办法是整体思想，还是生1的方法比较好，但我的方法有时是很有用的。
师：解完上述4题后，你有什么想需要总结的地方吗？
生5：通过以上4题……（将教师想总结的本课知识点基本都说了，也不必教师重复了。）
分析：本课的教学内容为复习课，学生的基础知识已经掌握得可以，所以前置性的学习任务以小组“合作学”为主。所谓“合作学”，即以小组为基本单位，对具体问题进行合作探究，通过组内交流研讨，完成对基本问题的研究，没有老师的干预掌握较为简单的问题应该不成问题。相信学生能通过小组合作交流活动完成对4个小问题的掌握。只要再辅以展示错误和困惑的环节，学生应该可以完全通过，在课堂教学中教师因此并未要求每个题目都过一遍。
生1的错误展示很具有普遍性，给其他同学也有一个很好的启示。倒是生2的问题有点突兀了，但是既然提出来，我们也不能放过，估计学生中肯定有同学会，因此教师并没有急于讲解，而是稍作停顿让学生思考后，生3有效的解决了问题，因此我们还是要充分相信学生，放手给他们一个表现机会，让其获得成功的体验，一定有助于他提升学习数学的兴趣和信心。生5的总结虽然不比老师好，但是其用的是学生的语言系统，相信比老师所讲更容易让同学们关注和接受，所以老师此时就不需要再多费力气了。

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模块二（课堂探究1）
问题：如图，点A、B在⊙O上，直线AC是⊙O的切线，OC⊥OB，连接AB交OC于点D．你在读题、标图之后，可知哪些关于角或线段的关系呢？记下来，考考其它小组吧！
教学方式： 学生先独立思考，再经小组讨论后进行课堂交流展示。
课堂实录：（教师首先由课前抽签顺序安排一个小组进行展示）
生1（组长做副手一起上）：我们小组得到如下结论OA⊥AC、CO⊥BA，∠ODB=∠CDA、∠OAB=∠OBA。（组长刚要帮忙补充，生2已经站起在下面补充，但说不清，赶紧冲上来说明）
生2： 我还看到了△OAC和△BOD，能否证明它们相似或全等，但是自己无法证明。（师：好想法）
生3： 质疑，你是无法证明的（上台后也说不清为什么，教师想介入参与但生3已继续）我想补充一个关于边的结论：AC=CD……（其说理过程正确，教师给予肯定，想开始解答生2的问题时，组长级别的生4站起）。
生4：我觉得点C可以运动的，所以点B也将会发生运动，所以好多结论都不一定成立的（多么高的境界啊！），生1的结论基本都能成立，但生2相似的想法肯定就错了，可以画图试试。
师：进行了简单的总结和解题分析后，本题各环节结束。
分析： “展示学”是自己以生为本理念下课堂教学的重要表现形式，学生通过自己的独立思考和小组合作交流后，往往都能有所得、有所悟。所以在展示过程中会呈现出多种不同的交流形式：展示所得、补充问题、帮助释疑、质疑纠错、总结心得等都是很好的生生互动、师生互动的方式，教师只需根据学生交流过程进行有针对性、有更高高度的小结，帮助学生加强对问题的深刻理解，我想应该也仅是锦上添花罢了。
在学生日常学习和解题中，较为常见的都是封闭性的问题，尤其是数学，很多老师讲解问题时也都是一问一解，这样容易限制学生的思维，可能会导致课堂上一位学生表达自己想法后其他同学无话可说状况，从而影响课堂交流氛围的创设。本题的问题设计具有开放性，开放性的问题容易激发起学生的开放性思维，更具思辨性，更能引起学生的思维冲突，有利于课堂交流、探究氛围的提升。所以我们教学设计时的问题可以开放一点，多给学生一点交流的机会，孩子们才会更放得开一点，课堂也就会更活一点。
课后回想生4的想法很出乎老师的意料，没想到自己的学生能谈出这样有价值的想法，这样有深度的理解，让我也刮目相看了！若是真正相信学生，放手让孩子们发挥，他们爆发出的能力真的可怕啊。可惜课堂上自己并没有对意识到其价值，草草总结了事。非常遗憾的错失了这样好的课堂教学资源，看来自己教学应变能力真是需要提升啊！

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模块三（课堂拓展探究1）
问题：如图，∠AOB=30°，OA=8，动点P在线段AO上从点A出发，以每秒1个单位的速度向O点移动，以P为圆心，2为半径作圆，设点P从A点出发运动的时间为t秒.当t在什么范围内时，⊙P与直线OB相离？
教学方式： 学生先独立思考，再经小组讨论后进行课堂交流。
课堂实录：（由于有点难，教师首先询问是否有困惑，可以优先寻求同学的帮助）
生1：我自己算出来相切时，t=4，但组长告诉我要0≤t＜4，不只是为什么？
生2：过程略（结合图形，主要强调了考虑两个位置，一个出发位置，一个与相切的位置，讲解非常棒！，生1若有所得，下去了。）
生3：我觉得不需要0≤t＜4，只需要t＜4就够了，因为点P是从点A出发，t自然是大于0的，不需要多做说明。（老师也第一次听到这样的想法，有点慌！没想清楚怎么和她解释，不忙接话，生2赶紧在台上再次解释，但收效不大。）
生4（马上站起来）：我问你，点P是不是从点A出发，是你还那么多废话！ （有意思，要开始争论了，课堂开始热闹了，老师坚决不参与）
生3：（坚持己见），可我还是觉得只要t＜4就够了，t＜0的话，就会向左运动了，不成立的。
生5加入：点P在点A时有没有圆？是不是相离位置？是的话当然要写0。
生3若有所悟，但仍不肯放手。眼看其他同学也有“群起而攻”之势，势单力薄的生3要处于下风，老师赶紧介入，并解释了数学答案的准确性，必需要写0≤t＜4才平息了这场“风波”。
分析： 该问题教师本意让学生通过解题和探究过程体会用“临界值法”求此类求取值范围题的优越性。虽有小难度，但大部分学生都应该没问题，重点其实在下面的难题上。本以为可以较快的过掉，没曾想半路杀出个程咬金啊。可以让我们意识到：由于学生都是具有各自鲜明特征的生命，其学习的最近发展区和认知能力有差异，所以其思考方式会有所不同，出现这样或那样的问题并不奇怪。在这样课堂中，教师让出讲台，把话语权交还给学生后，各种各样的问题都会出现。我们的课堂允许学生张扬个性、充满困惑的学习，关键是发现问题后如何引导学生进行正确的思维。再看生3，回顾其课堂上舌战群雄的架势，是否让我们有“布鲁诺”或哥白尼那种坚持真理永不放弃的架势？
当然，由于内容本以为较简单，因此课堂并未进行更多的预设，甚至也不可能会预设到这样的情况出现。所以教师的介入时机还是没有把握好，当时自己稍显忙乱，一时没有想出更好的应对方法。对生3的这种精神没有很好的评价，同时讲解和帮助也有不足，显示出教师自身对问题的理解也不够透彻，回想一下其实有更好的解决方法。这样的课堂其实让我自己也收获不小啊，真正切切体会到了教学相长的意味啊。

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《基础教育改革纲要》指出，教学活动要以学生为主体，要求改变课程实施过程中过于强调接受学习，死记硬背、机械训练的现状。倡导学生主动参与、乐于探索、勤于动手，培养学生主动搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及合作交流的能力。所以相对于传统的课堂教学方式，我对课堂进行了改变：教师让出了讲台，变教为学、变听为讲，学生采用自主合作的学习方式，并且在课堂创设一种“畅所欲言”的氛围，只要你对问题有思考、有想法，就可以随时站起来（不需举手）与同学、老师进行交流、坚持己见……。曾听美国《第56号教室的奇迹》作者雷夫·艾斯奎斯先生这样评价自己的课堂：我不想让孩子们在充满恐惧的课堂中学习。的确，这也应该是我们的课堂应该追求的方向。因为学生的学习应该是快乐的，课堂不该是被老师控制的，在充满控制力的课堂中，会让学生产生恐惧感，这样的课堂学生能学好吗？数学学习的过程是充满了灵动的思维、丰富的变化、探究的乐趣的，应该是充满思辨，随时都可碰撞出耀眼思维火花的。作为教师的我们要服务好学生的学习，创造适合学生的学习，创设让学生感受到快乐学数学的课堂氛围。在这样的氛围中，学生们能乐于表达自己的意见，在生生互动、师生活动中，对问题的理解不断深入完善，应该会取得良好的教学效果。
学生不是归顺的被动接受者，应该是充满生命活力的主动接受者，我们的课堂要让孩子们能彰显生命活力。所以，还课与生，课堂只有“解放”才会充满了活力。