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2015年中招复习九年级数学上册整章知识点归纳总结中考资料

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楼主
发表于 2015-6-11 00:13:00 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
中招复习 九年级上册知识点
第二十一章  一元二次方程
一、一元二次方程   
1、一元二次方程
含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中 叫做二次项,a叫做二次项系数;bx叫做一次项,b叫做一次项系数;c叫做常数项。
二、一元二次方程的解法   
1、直接开平方法
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如 的一元二次方程。根据平方根的定义可知, 是b的平方根,当 时, , ,当b<0时,方程没有实数根。
2、配方法
配方法是一种重要的数学方法,它不仅在解一元二次方程上有所应用,而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式 ,把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有 。
3、公式法
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程 的求根公式:

4、因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法。
三、一元二次方程根的判别式  根的判别式
一元二次方程 中, 叫做一元二次方程 的根的判别式,通常用“ ”来表示,即
①当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根;②当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根;
③当△<0时,一元二次方程没有实数根
四、一元二次方程根与系数的关系  
如果方程 的两个实数根是 ,那么 , 。也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数;两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
第二十二章  二次函数
1、二次函数定义:
    一般地,如果 是常数, ,那么 叫做 的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。
★易错点:    二次函数和一元二次方程类似,二次项系数 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数.
2、二次函数 的结构特征:
    ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 的二次式, 的最高次数是2.
    ⑵  是常数, 是二次项系数, 是一次项系数, 是常数项.
3、二次函数各种形式之间的变换
   二次函数 用配方法可化成: 的形式,其中  .
二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:
① ;② ;③
   二次函数解析式的表示方法
一般式: ( , , 为常数, );
顶点式: ( , , 为常数, );
4、二次函数 图象的画法
五点绘图法:利用配方法将二次函数 化为顶点式 ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 , (若与 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
★重难点:画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与 轴的交点,与 轴的交点.
二次函数 的性质
的符号
开口方向        顶点坐标        对称轴        性质

向上         

时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 .


向下         

时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值

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 楼主| 发表于 2015-6-11 00:13:07 | 只看该作者
二次函数 的性质
的符号
开口方向        顶点坐标        对称轴        性质

向上         
X=h         时, 随 的增大而增大; 时, 随 的增大而减小; 时, 有最小值 .


向下         
X=h         时, 随 的增大而减小; 时, 随 的增大而增大; 时, 有最大值 .

5、抛物线 的三要素:开口方向、对称轴、顶点.
的符号决定抛物线的开口方向:当 时,开口向上;当 时,开口向下;
  相等,抛物线的开口大小、形状相同.
对称轴:平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地, 轴记作直线 .
顶点坐标:
6、求抛物线的顶点、对称轴的方法
公式法: ,∴顶点是 ,对称轴是直线 .
配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为 的形式,得到顶点为( , ),对称轴是直线 .
运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.
      用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.
7、用待定系数法求二次函数的解析式
一般式: .已知图像上三点或三对 、 的值,通常选择一般式.
顶点式: .已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.
交点式:已知图像与 轴的交点坐标 、 ,通常选用交点式: .
8、直线与抛物线的交点
轴与抛物线 得交点为(0,  ).
与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ).
9、抛物线与 轴的交点
    二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ,是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定:    ①有两个交点   抛物线与 轴相交;
      ②有一个交点(顶点在 轴上)   抛物线与 轴相切;
      ③没有交点   抛物线与 轴相离.
10、一次函数与二次函数的交点
    一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点,由方程组   的解的数目来确定:①方程组有两组不同的解时  与 有两个交点; ②方程组只有一组解时  与 只有一个交点;③方程组无解时  与 没有交点.
11、抛物线与 轴两交点之间的距离
    若抛物线 与 轴两交点为 ,由于 、 是方程 的两个根,故
  
12、二次函数图象的平移
平移步骤:
⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ,确定其顶点坐标 ;
⑵ 保持抛物线 的形状不变,将其顶点平移到 处,具体平移方法如下:

★重难点:平移规律
    在原有函数的基础上“ 值正右移,负左移; 值正上移,负下移”.
    概括成八个字“左加右减,上加下减”.
13、实际问题与二次函数
    在日常生活、生产和科研中,求使材料最省、时间最少、效率最高等问题,有些可归结为求二次函数的最大值或最小值。    先用配方法或公式法将一元二次函数变形,然后求最值。
★中考常考题型:
1、用二次函数求最值、销售的最大利润、图形的最大面积问题。
2、给出一条直线的解析式与二次函数的解析式求交点、判断有几个交点情况、判断交点的取值范围。
第二十三章  旋转
一、旋转       1、定义
把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角。
2、性质
(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称       1、定义
把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形
把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征       1、关于原点对称的点的特征
两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)
2、关于x轴对称的点的特征
两个点关于x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)
3、关于y轴对称的点的特征
两个点关于y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)
第二十四章  圆
一、圆的相关概念        1、圆的定义
在一个个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示:以点O为圆心的圆记作“⊙O”,读作“圆O”
二、弦、弧等与圆有关的定义(1)弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦。(如图中的AB)
(2)直径        :经过圆心的弦叫做直径。(如途中的CD)        直径等于半径的2倍。
(3)半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
(4)弧、优弧、劣弧  圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
弧用符号“⌒”表示,以A,B为端点的弧记作“ ”,读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)
三、垂径定理及其推论    垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
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 楼主| 发表于 2015-6-11 00:13:11 | 只看该作者

垂径定理及其推论可概括为:
       过圆心
       垂直于弦
直径   平分弦                   知二推三
       平分弦所对的优弧
       平分弦所对的劣弧

四、圆的对称性    1、圆的轴对称性:圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
    2、圆的中心对称性:    圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理   
   1、圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角。2、弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦想等,所对的弦的弦心距相等。
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
六、圆周角定理及其推论   
  1、圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
七、点和圆的位置关系   
设⊙O的半径是r,点P到圆心O的距离为d,则有:
d<r 点P在⊙O内; d=r 点P在⊙O上; d>r 点P在⊙O外。
八、过三点的圆   
    1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。
2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心
三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)    圆内接四边形对角互补。
九、反证法   
先假设命题中的结论不成立,然后由此经过推理,引出矛盾,判定所做的假设不正确,从而得到原命题成立,这种证明方法叫做反证法。
十、直线与圆的位置关系   
直线和圆有三种位置关系,具体如下:
(1)相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线,公共点叫做交点;
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
直线l与⊙O相交 d<r;
直线l与⊙O相切 d=r;
直线l与⊙O相离 d>r;
十一、切线的判定和性质   
    1、切线的判定定理
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。
十二、切线长定理   
    1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。
2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

十三、三角形的内切圆   
    1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点,它叫做三角形的内心。
十四、圆和圆的位置关系   
    1、圆和圆的位置关系
如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,相离分为外离和内含两种。
如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,相切分为外切和内切两种。
如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。
2、圆心距
两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。
3、圆和圆位置关系的性质与判定
设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,那么
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地板
 楼主| 发表于 2015-6-11 00:13:13 | 只看该作者

两圆外离 d>R+r
两圆外切 d=R+r
两圆相交 R-r<d<R+r(R≥r)
两圆内切 d=R-r(R>r)
两圆内含 d<R-r(R>r)
4、两圆相切、相交的重要性质
如果两圆相切,那么切点一定在连心线上,它们是轴对称图形,对称轴是两圆的连心线;相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
十五、正多边形和圆   
    1、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形。
2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以做出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆。
十六、与正多边形有关的概念   
    1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

十七、正多边形的对称性   
    1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴,每条对称轴都通过正n边形的中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形,它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆,再做正多边形。
十八、弧长和扇形面积   
    1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为
2、扇形面积公式

其中n是扇形的圆心角度数,R是扇形的半径,l是扇形的弧长。
3、圆锥的侧面积

其中l是圆锥的母线长,r是圆锥的地面半径。
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 楼主| 发表于 2015-6-11 00:13:23 | 只看该作者
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