小学数学《最小公倍数教学》案例和评析

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撰写公开课教案是每个教师都必需熟悉的一项工作，好的公开课教案能够激发同学兴趣，培养同学多方面的能力，有效提高课堂教学效率。本站提供的这套新课标五年级下册《最小公倍数教学》公开课教案符合新课标的规范，思路清晰，结构合理，适合同学的年龄特征，与素质教育的要求相吻合，具有科学性、实用性等优点。

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教学内容 第十册数学P72—74最小公倍数
教学目标
1、在原有知识结构的基础上，通过自主建构，形成新的知识结构，掌握最小公倍数的意义和求法。
2、培养同学的迁移、判断、推理、分析能力。学会反思，学会合作。
3、培养同学的积极学习情感，学会欣赏他人。
教学过程
一、再现原有知识结构
1、用短除法求30与45的最大公约数
独立完成，一人板演，集体订正。
师提问：怎样用短除法求两个数的最大公约数？
（评析：根据教材的内容与同学的实际需要设计课堂引入环节，实实在在，利于同学再现原有知识结构，为构建新的知识结构做好了知识准备与心理准备。）
二、构建新的知识结构
1、揭示课题
今天我们来研究最小公倍数。（板书课题）
2、明确意义
师：你认为什么是最小公倍数？
生1：两个数公有的最小的倍数。
师：说的很好，你很会扩写。（生笑）
生2：两个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数。
生3：公倍数可以是两个数公有的倍数，也可以是三个或四个数公有的倍数。我认为应改成几个数公有的倍数叫做它们的公倍数，其中最小的一个是它们的最小公倍数。师：太好了，谁能再说一遍。
生说完师出示，齐读。
（评析：有了最大公约数的认知基础，同学很容易通过迁移实现对最小公倍数这一概念的自主建构。因此教师直接揭示课题，让同学根据自身的理解，互相补充完善最小公倍数的概念，取得了很好的效果。）
3、研讨求法
出示：求4与5的最小公倍数。
师：你认为可以怎样求两个数的最小公倍数？
生1：用短除法。（师板书：短除法）
师：oh，你会吗？（生摇头。受求最大公约数的方法的影响，直觉让他有此想法。这种直觉思维值得呵护。）暂时不会不要紧，我们可以进一步研讨研究。还有其他方法吗？
生2：用分解质因数的方法，但我暂时没想出来。（师板书：分解质因数）
生3：，他们俩的方法太麻烦，我觉得把两个数直接相乘就行了。（师板书：直接相乘）
其余同学露出惊奇与赞同的表情。
师：你们认为他的方法怎样？
生4：很简单。
生5：用直接相乘的方法求4与5的最小公倍数是对的，但求其他两个数的最小公倍数就不一定对了。如10与20，10×20=200，但它们的最小公倍数是20。
师：看来你的方法不能完全成立。
生3：很多时候我的方法是对的。
师：所以老师建议你课后继续研究：什么时候？你的方法是正确的？
师：还有其他见解吗？
生6：我认为可以用短乘法。（同学都很好奇。）
师：短乘法！我们还真实第一次听说，你能给大家讲讲吗？
该生主动走上讲台，边板书边讲：如10与20都2得20与40，再乘3得60与120，（板书如下）
2 × 10 20
3 × 20 40
60 120
生（很多）：永远求不出来。
生6茫然
师：你的方法很有创意，但是……
生7：干脆先写出一个数的倍数，再写出另一个数的倍数。通过比较找出两个数的最小公倍数。
师：行吗？
生：行！
师：请你们用这种方法求出4与6的最小公倍数。
同学独立完成，一人板演。
4的倍数：4、8、12、16、20……
6的倍数：6、12、18、24、30……
4与6的最小公倍数是12
集体订正后，师问：用集合圈怎样表示？
同学独立完成，一人板演。板书如下：
4的倍数 6的倍数
4 8 6 18
16 20 12 24 30
… …
↑
4与6的最小公倍数
师：对吗？
生（齐答）：对！
师皱眉：仔细看一看。
生：中间交叉的地方不能只填最小公倍数，它们公有的地方应填它们的公倍数。还要填24 36…
师：对！做任何事情都要力求准确！（板书：24 36…）
生：我发现4与6的公倍数就是最小公倍数的1倍、2倍、3倍、4倍…，有无数个。
师：你的发现很有价值。正是如此，我们有必要研究最小公倍数，公倍数的个数是无限的，没法研究最大
公倍数。
生6：这种方法太麻烦，我仍能用短乘法。（生6不服气的走上讲台，边板演边讲。）
2× 4 6 ←只用6乘
3× 4 12 ←只用4乘
12 12
师：恭喜你！你终于研究出来了。
生：他是已知4与6的最小公倍数是12，又瞎凑的。（其他同学异口同声。）
生：似乎有这种嫌疑。（生笑）但我们评价他人，要指出缺乏，更要学会发现有价值的东西。同学们想一想：为什么用4乘3，而用6乘2呢？
小组讨论
生：我们小组把4与6分解质因数，4=2×2，6=2×3，比较4与6的质因数我们发现4比6少了一个质因数3，，因此用4去乘它缺少的3。6比4少了一个质因数2，而用6去乘它缺少的2。
师：你们小组善于利用学过的知识解决新问题。能讲得再慢一点吗？
生：我能很形象的讲清楚。（主动走上讲台，边板书边讲。）4与6的最小公倍数肯定要4与6所有的质因数，4=2×2，6=2×3，所以4与6的最小公倍数应含有两个2，一个3，也就是2×2×3=12。因此要求4与6的最小公倍数只要用（2×2）×3或2×（2×3）。（同学露出会意的笑容，听课教师也情不自禁的鼓起掌来。）
师：这么难的知识被你讲得形象生动，真了不起！同学们刚才用的方法就是用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数。先把这两个数分解质因数，找出它们公有的质因数，再找出它们独有的质因数，然后用它们公有的质因数去乘它们独有的质因数就求出了它们的最小公倍数。（板书如下）
4= 2 ×2
6= 2 × 3
4与6的最小公倍数是2×2×3=12
独立完成练习十五第一题
提问：为什么用2×3×5×7？
师：刚才有的同学提出用短除法求两个数的最小公倍数，下面就以小组为单位研究短除法。
出示例2：求18与30的最小公倍数
小组合作完成，一组板演并讲解：先用它们公有的质因数2去除，再用3去除，3与5互质。所以18与30的最小公倍数是2×3×3×5=90。（生讲解师板书）
公有的质因数→ 2 18 30
公有的质因数→ 3 9 15
3 5 ←互质数
师提问：用什么数去除？除到什么时候为止？把哪些数相乘？为什么？
做一做 用短除法求30与42的最小公倍数。
独立完成，说说解答过程。
（评析：“研讨求法”是本节课的重点，同时又是难点，但同学思维活跃，情
绪高昂，不时有惊人的发现。教师是如何使这节枯燥的数学课变得生动有趣呢？我想主要是实现以下“四化”：1、探索自主化。同学只有感觉到自身是学习的主人，而不是被当作灌输的容器，才干真正激发他们的学习热情。最小公倍数的求法很多，而且利用短除法与分解质因数的方法算理很难理解。教师直接把这一问题抛给同学，这样，不同的同学就会有不同的想法，教师却从不给出结论性的评价，而是始终鼓励他们大胆猜想验证，互相补充说明，同学真正投入探究学习的氛围中，体验着学习给他们带来的快乐。2、教学情感化。积极的学习情感是同学自主学习的不竭动力。教师不只具有敏锐的观察分析能力，善于发现同学发言中的优点，更善于把这种发现转化为对同学的鼓励赏识，这样同学感觉到自身的探究，自身的发现被关注，被赏识，才会始终坚持积极的学习情感。3、师生平等化。教师只是先生—先于同学生成知识，因此教师要蹲下来看同学，与同学处在同一互动平台，一起发展，才干真正实现教学相长。在平等的氛围下同学才敢于主动的表达自身的发现，教师也才会不时的根据同学的发现调整教学，成为同学学习的助手。4、评价多元化。同学自评利于同学反思元认知，同学互评利于同学拓展思维，因此同学能评价的教师决不越俎代庖，但同学评价有时会片面、肤浅甚至偏激。这时又要充沛发挥教师评价的重要作用，使同学的探究学习始终围绕着有价值的问题展开。这节课教师正式调动多种评价手段，使同学真正成为学习的参与者、反思者。）
三、巩固新的知识结构
练习十五第二题前4题 第三题第四题
四、小结
谈谈这节课的学习感受
五、作业 练习十五第二题后4题

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一 指导思想
人教版与苏教版教材中对最大公约数认识的编排顺序是相同的：分别找出两个数的约数→比较，生成公约数、最大公约数的概念→会求两个数的最大公约数→应用（最大）公约数知识解决实际问题。
沿这种思路设计教学，同学对新知的接受常是被动的，并且也只能达成“知识与技能”单一教学目标。数学课程规范“强调从同学已有的生活经验动身，让同学亲身经历将实际问题笼统成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使同学获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”在这新的教学理念指导下，怎样结合同学的实际生活，在运用知识解决问题的实践操作中，经历知识发生过程，萌发发明新知需要，并完成对新知的建构呢？
二 公开课教案
1．观察——感知生活数学
学习约数与倍数之后，安排同学回家观察客厅或卧室，也可到广场上，看看所贴的地板砖数是否正好为整数块数（没有切割）。假如是，沿着长铺了多少块？沿着宽铺了多少块？丈量一方砖的边长和房间的长、宽，方砖的边长与房间的长、宽分别是什么关系？
2．考虑——理解数学问题
课堂教学伊始，投影出贴了地板砖的长方形广场平面图。同学能够用约数、倍数知识解释课前观察到的数学问题：长方形广场的长是方砖边长的m倍，宽是方砖边长的n倍。也可以说方砖的边长既是长方形长的约数，又是长方形宽的约数。与师生交流之后，再出示一个新的问题：我们学校的画廊高1.2米（12分米），长是3米（30分米），美术组的同学想在上面正好贴满大小相同的正方形装饰画，这种装饰画的边长应为多少分米（取整数）？会有几种不同的正方形？
3．实验——建构数学模型
同学在对画廊设计问题处于愤悱状态之时，老师借用长方形纸作示范引导：这是一张长15cm，宽10cm的长方形纸，我们可以把它设想为缩小后的学校画廊，（当然也可以想象为客厅或广场的地面）老师在这张长方形纸上设计了两种不同的小正方形，（实物投影出示另一张画了方格的长方形纸）其中一面的小正方形边长为1cm，另一面的小正方形边长为5cm，它们同样整分了这张长方形纸而无剩余。想一想，小正方形边长除了1cm和5cm以外，还会有其它整厘米数吗？根据刚才自身的理解，请拿出课前准备好的一张长12cm、宽8cm的长方形纸，仿效老师的做法，设计能正好整分这个长方形纸的小正方形，在纸上画一画，看一看有几种不同的画法设计，再想一想其中有什么规律？
4．总结——发明数学新知
同学完成上一步操作以后，投影展示同学设计的作品，（会有三种不同的设计：小正方形的边长分别为1cm、2cm、4cm）引导同学表述自身的想法，交流发现规律：因为小正方形要正好整分大长方形，那么，小正方形的边长既要能整除大长方形的长，也要能整除长方形的宽。也就是说小正方形的边长数1、2、4、既是12的约数，也是8的约数。同理，1和5既是15的约数，也是10的约数。
至此，通过铺方砖的生活常识和几何中长、正方形关系的设计操作，同学实际上已初步感知和理解了公约数的存在和其在生活中的应用。此时，再引导同学通过命名的形式笼统出新的数学概念—公约数：请你根据1、2、4分别与12和8共有的关系给这几个数取一个新的名称，师板书：1、2、4是12和8的（ ），待同学大都满意之后再板书：4是12和8的（ ）。
板书设计如下：(单位：厘米)
1是10的约数，也是15的约数 1是12的约数，也是8的约数
5是10的约数，也是15的约数 2是12的约数，也是8的约数
4是12的约数，也是8的约数
1、5是15和10的( 公约数 ) 1、2、4是12和8的(公约数 )
5是15和10的( 最大公约数 ) 4是12和8的(最大公约数)
5．应用——解决实际问题
先解决画廊的装饰画设计，再解答小明分蛋糕的疑难：小明过生日的时候，妈妈给他订了一个大的长方体蛋糕，长42 cm、宽30 cm、高24 cm，小明想把它均匀地切成大小相同的正方体后，再送给每一位客人，他怎样切才干使蛋糕尽可能大一些？至少可以切成多少块？
三 课后反思
1．重视数学思想——使数学学习终身受益
日本著名数学教育家米山国藏指出：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神，数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益。”从这个教学的设计中我们可以看到，教学中不只是让同学接受一个概念知识或一种求最大公约数的方法；不只是注重数学形式层面的教学，而是更重视数学发现层面的教学，即让同学在经历“数学家”解决问题的过程中去理解、去感受一种数学的思想和观念──数学化思想。同学先是感知地板砖中隐含的数学，会用约数、倍数知识解释简单的生活现象，进而考虑并尝试解决画廊内装饰画的设计，同学自然会联想到地板砖中数学知识。但是，从解释到应用设计，在没有学习公约数的情况下会存在较大的难度。于是，创设了做数学的空间。让他们在设计正方形的过程中，逐渐感知公约数的存在，建立了解决这种问题的数学模型。再反思与总结，引导同学自身发明了“公约数”与“最大公约数”的概念。
数学化思想观念是指用数学眼光去认识和处置周围事物或数学问题，可以培养同学良好的“用数学”意识，使数学关系成为同学的一种思维模式。而我们的课堂中，大多还是围绕知识就事论事，没有从形成同学思维模式的角度去展开知识形成和问题解决的思维过程，去注重现代的数学思想，去隐含重要的数学方法，这样，同学学到的只是知识的堆砌，没有自主的发展和对数学实质的领悟。
2．注重学习体验——让课堂焕发生命活力
扑面而来的新基础教育课程改革的浪潮强列地震撼着知识为本的保守课堂教学，关注生活、关爱同学、关照生命等极具时代气息的教学理念呼唤着以人为本的课堂。
注意学习过程中的感悟、体验是本节课设计的又一重点 。观察、丈量中感悟生活中的教学；对长方形纸中小方格设计的探索；总结、反思中感知公约数的存在；解决较复杂的分蛋糕问题时体会公约数的作用。教学中的各个环节，都较好地发挥了同学的主体作用，在动手操作与设计中建构了新旧知识的联系。经历了从实际生活中笼统出(最大)公约数的概念，在做数学的过程中体验了数学的真实意义。
华师大叶澜教授提出了“教育的生命基础”理论，主张“教育具有提升人的生命价值和发明人的精神生命的意义，对生命潜能的开发和发展需要的满足，教育具有不可替代的重要责任。”以同学的经验与活动为基础，以同学的积极参与、身心投入为前提，以同学的自主体验为核心的注重同学体验的教学活动，能够提升同学的生命质量，促进同学和谐发展。假如教学过程仅是师生间简单的知识“授一受”过程，剥夺同学对知识的主体性体验，必定使他们养成被动而不是主动的，依赖而不是独立的，接受而不是发明的体验。那就会丧失了求知的欲望、体验的激动和发明的才干，课堂学习中同学的生命意义就无从体现。所以《数学课程规范》中，把目标区分为知识技能目标和过程性目标，而过程性目标中的“经历、体验、探索”也可理解为同学的体验过程。体现了《规范》对同学在数学考虑、解决问题、以和情感与态度等方面要求的同时，隐含了对同学生命质量的关注和重视。
3．开发教学资源——师生同为资源创生的主体
教材只是供教学使用的一种资料，不是一成不变的经典。面对新课程规范，教师要有强烈的课程资源开发意识，不只自身能针对学习内容开发出有利同学学习和发展的新资料，而且要善于引导同学去寻找和发现身边的数学学习资源。在本节课的教学中，除了教师提示的卧室(广场)地板砖，画廊设计、分蛋糕之外，同学也列举了许多类似的现象：教室内水磨石地面，银行墙壁上的方形面砖，家中客厅顶部木质方块的装饰……同学在资源的识别与解释中，逐步掌握了(最大)公约数的知识，为今后发明性的运用知识打下了良好的基础。