中学数学参赛论文论信息化时代的高中数学教学模式与方法

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中学数学参赛论文论信息化时代的高中数学教学模式与方法
四川省德阳市中江县城北中学    兰序国
摘 要
21世纪是信息化时代，信息技术已经渗透到社会生活的各个角落，信息技术已经成为一个国家社会各个领域深化改革发展进步的巨大推动力量。特别是对于我国教育领域的改革发展有巨大的作用，现代教育技术与学科的教学整合是当今教学改革的一个突破口。本文通过对国内外相关教育理论与自身多年教学经验相结合，对高中数学教学中如何通过网络和多媒体等现代化教学手段进行“数学实验”，如何改变传统的数学教学模式，优化教学过程，推动教学方法的更新进行探讨说明，希望对学生提高学习效率，更好地获得知识和提高能力所有帮助，对新形势下的高中数学教学模式改革有所益处。
关键词： 信息技术    高中数学    教学模式    教学方法   整合
一、信息技术与高中课程整合的好处及现存问题
（一）数学知识本身特点要求与信息技术的整合
数学知识逻辑性强，易量化，易数字化，这为现代教育技术与中学数学课程的整合提供了必要的条件。数学是一门抽象的学科。由于受认知结构、生活经验、思维水平等诸多因素的限制，在学习过程中学生需要借助一定的直观形象来掌握事物的规律和特征，这为现代教育技术与数学课程的整合提供了充分条件。现代教育技术与中学数学课程的整合，将有利于营造新型的学习方式，营造全方位的学习环境，带来学习方式的革命，为新一轮课改推波助澜。
（二）目前存在的主要问题
在现实的教学实践中，现代教育技术与高中数学的整合存在着许多误区，当下最为突出的几大误区为：
1.画面越精彩越好、声音越多样越好，缺乏实用性。画面与声音的多彩并不等于能将数学中的数量关系、名词术语等解释、阐明清楚。精彩的画面和声音固然能引起学生的注意力，但也容易使之因过多注重次要元素而忽视主要元素，十分容易偏失主要的教学目标。
2.课堂教学程序遵循多媒体设计者的教学思维，缺乏自主性。有些多媒体课件的设计华丽、动感，每一步都必须跟上多媒体的原定设计，不能有一丝一毫的错步。这与《课程标准》的教学基本原则是完全相悖的。这样的设计束缚了教师与学生的思维，是多媒体设计的一大弊病。
3.形而上学，在所有的教学中都使用多媒体教学，缺乏必要的具体性。偏离了利用信息技术是为了更好的辅助教学的基本主线，是明显的重“术”轻“道”的表现。不是所有的课堂教学内容都需要信息技术的帮助，要正确区分要与不要，要合理采用。使用常规手段，学生较容易理解接受的就不用信息技术。
二、信息时代高中数学的教育模式
我们构建了基于校园网网络环境下的“创设情境--提出问题--自主探索--网上协作--网上测试--课堂小结”高中数学自主探究式教学模式，实现教学过程的多元化、主体化、社会化，为构建终身教育体系打下良好基础，提高教育质量和办学效益。随着信息化时代的到来，不仅教师要告别“一枝粉笔一块黑板”打天下的局面，学生同样也面临着学习方式的变革。学生不仅可以通过听老师的讲解获得知识，还可以通过网络和多媒体技术等现代化教学方法获得知识和进行“数学实验”从而提高学习效率。在这过程中，随着信息时代学习方式的改变，必需提高学生应用现代教育技术的能力和进行网络学习的能力和素养。

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国内外同类课题的研究很多。如何克抗教授、李克东教授、谢幼如教授和王本中教授负责的教育部基础教育司的重点科研项目“学科‘四结合’教学改革试验”研究课题；王珠珠（中央电教馆副馆长 副教授）、文喆（北京市教科院副院长）、李克东（华南师范大学教育技术研究所教授、博士生导师）等的“基于现代信息技术环境下学与教的理论与实践”研究课题；华南师范大学的教育技术研究所“网络教学的设计与评价”研究课题等国家级研究课题。这些课题的研究分别从不同的角度，用不同的方法对现代教育技术与中学课程的整合进行了深入的研究，也取得了很好的成效。这些研究基本上大都是以国内著名专家教授为主，能从理论的高度指导课程的改革，为今后相当长时间的课程改革指明方向。本课题组试着在充分吸收已有的研究成果基础上，结合本校本学科的具体实际情况，以中学教师的视角，从实践者的探索中研究，力争有所创新。
目前较为流行的传统教学模式为凯洛夫的五阶段教学模式，即为激发动机→复习旧课→讲授新课→运用巩固→检查效果。这种传统的教学模式长期统治着中国的各级各类学校，它以教师为中心，由教师通过讲授、板书及教学媒体的辅助，把教学内容传递给学生或者灌输给学生。老师是整个教学过程的主宰，学生处于被动接受老师灌输知识的地位。在这种教学模式下，老师是主动的施教者，学生是被动的外部刺激接受者，媒体是辅助老师灌输的工具，教材则是灌输的内容。在这样情况培养出来的学生缺乏创新意识、创新精神、创新能力和解决实际问题的能力。
针对目前现代教育技术在高中教学中运用中存在的问题，结合建构主义的学习理论及日常教学实践经验，目前高中数学教学改革与创新应以自主学习为核心的“自主探究”模式为突破口。建构主义学习理论强调以学生为中心，要求学生由外部刺激的被动接受者和知识的灌输对象转变为信息加工的主体、知识意义的主动建构者；要求教师由知识的传授者、灌输者变为学生主动建构意义的帮助者、促进者。故在信息化时代基于校园网网络环境下的以自主学习为核心的“自主探究式”高中数学课堂教学模式应为：创设情境--提出问题--自主探索--网上协作--网上测试--课堂小结。
“自主探究式”学习模式在具体课堂中的展开
1．创设情境
兴趣是最好的导师，运用多彩的多媒体技术创设学习情境，可充分激发学生的能动性、独立性、发展性和创造性，使学生产生明显的情感共鸣，从而自愿自觉学习，以学习为乐趣，达到学习的较高境界。
（1）        从数学知识之间(数学内部)的关联上，创设情境
在日常学习中，学生经常孤立地学习或应用各个数学主题。他们很难认识到如何把某一个领域中学习的主题应用到另一个领域中。而数学教育的核心是数学思维的教育，我们应该在教学中注重数学知识之间的联系，并以此来创设问题情境，潜意识地培养学生用已有知识去探索新知识和解决新问题的能力。
        在已有知识上，对老问题进行一定的延伸来创设情境
以旧引新，适当展开，引导学生在已有知识的基础上主动去发现并提出问题,从而激发学生对新知识的探求。
例如：在学习《同底数的幂的除法》时，考虑到学生已掌握同底数的幂乘法及除法法则的意义，于是创设如下问题情境：
① ② ③ ④
将以上四个式子表示成除法算式，接着引导学生分析后四个式子的特点和规律，顺利引入同底数的幂的除法的法则。

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        利用数学知识结构特点创设情境
在教学中我们可以通过情境启发学生从知识的顺延、从属、引伸、互逆、相似等方面通过观察、类比去探索新知识并获取解决问题的方法。
例如，在讲解互为反函数的图像间的关系时,就可以先叫学生分别求下列函数的反函数:
。再让学生在同一坐标系内作出它们的图像。通过观察、类比来得到互为反函数的图像间有“关于直线y=x对称”的结论，并且得到一系列互逆的结论如：①由反函数图像上的点可求原函数图像上的点；②由原函数图像画出反函数的图像等互为反函数的性质,从而提高学生以后独立解题的能力。
（2）        从数学与其他学科的关联上，创设情境
数学是学习化学、物理等自然学科的基础，也受其他学科的影响。数学教师受传统教学思维的影响往往局限于单学科线性思维，疏忽了学科间的联系而使学生无法形成完整的数学思维。
        利用数学知识是其他学科学习的工具这一特点， 创设情境
学生的认知结构不是单一的，学习数学知识的目的就是为了应用它来解决我们学习时遇到的困难。为了让学生形成这种意识，我们在创设问题情境时应该或多或少的涉及到其他学科有关的知识。
例如，讲圆锥曲线时可以告诉学生天文学家是如何利用圆锥曲线的原理发现某些行星，是如何预测某些天文现象的，从更开阔的背景而不仅仅从定义的角度来认识圆锥曲线的意义。通过这种方式，促使学生对椭圆、双曲线、抛物线产生好奇。
        利用计算机作为辅助性工具，来创设情境
在几何中人们抽象出的数学概念是相当多，如平行线、相交线、垂线，单靠枯燥的记忆，同学们很难发现它们的区别，但利用计算机可以给出模拟图形帮助学生理解。点运动轨迹这样的课程传统上只能让同学们进行想象，但利用计算机可以测算出平面内任一点的直角坐标系和极坐标系，当用鼠标拖动运动时坐标系的变化能及时显示，可以通过动画生动直观地表现出曲线作为动点的轨迹的形成过程。对于立体几何中的截面，折叠，重合等问题通过计算机软件也可以轻松直观展现其过程，方便学生更好地理解。
例如，教授椭圆的方程时，可以利用几何画板由几何的定义画出一个椭圆，让同学们体会椭圆轨迹形成的全过程，通过过程演示让学生更加容易地理解椭圆的性质。下面分享一个教学案例。
例：求方程  的近似解
这是原高中数学课本上的一道例题，是用图象法求方程的近似值 。
我们可以用Excel电子表格来解决。考察函数 的单调性，它在定义域 上单调递增，且 。 故原方程在（2，3）有唯一的一个实数根。先将方程变形为 ，打开Excel表格，在A1中任意输入一个数值，如2，即给出一个初始的值2。在A2中输入“=3-LOG10(A1)”，拖曳A2，然后使用填充柄十分快捷地将A2、A3、A4……，数值计算出来（如图11）。 到一定时候值显示为2.587174379。说明 解的近似值为x≈2.587174379。
（3）利用数学与生活的相关性创设问题情境
心理学研究表明，当学习内容与熟悉的生活实际越贴近，学习过程中接纳知识的程度就越高。
当代的数学教学理念应为：人人学有用的数学，有用的数学应当为人人所学，将数学与学生的生活、学习联系起来，学习有血有肉的数学。
        利用故事的形式创设问题情境
心理学研究表明，当学习者明确学习的具体意义时，会产生强烈的学习愿望，从而推动其积极主动地学习。在日常的教学活动中可根据教材内容创造性地融入一些生活素材，创设情景，设疑引思。
例如，在教学等比数列的求和公式时，以百万富翁与 “指数爆炸”的故事作为新课的开端：一个叫韦伯的人打算与百万富翁杰米订一份合同，他将在一个月(30天)中每天给杰米10万元，而杰米第一天只需给他一分钱，第二天给他二分钱，以后每天给他的钱数是前一天的两倍，杰米一听，欣喜若狂，当场签了合同。大家想一想，杰米果能赚到很多钱吗?

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一般情况下，学生们凭直觉断定杰米能赚到更多的钱，但经过逐步推理引导学生得出计算杰米所赚到钱的算式为3000000-（ ），经过计算发现韦伯总共给杰米300万元，而杰米却要给韦伯约10737418.23元。通过这一故事让学生明白在对待数学问题时，直觉是不可靠的，只有进行科学的计算才能得出正确的结论。
2．提出问题
（1）培养学生“提出问题”的意识
利用多媒体教学技术向学生呈现疑问对于人类发展有着重要的作用，如哥白尼不顾西方宗教禁忌提出“日心说”，牛顿由苹果落地引发疑问从而提出“万有引力”定律推动了人类的巨大进步等案例，让学生明白创新来源于“问题的提出”，提出一个问题，比解决一个问题更重要。
（2）创设提问氛围，设置思维碰撞的火花
目前的教学手段中，多媒体技术是创设真实情境的最有效工具，产生较为形象逼真的效果。通过精心设计教学程序，利用以多媒体技术与网络技术为核心的现代教育技术，创设与主题相关的、尽可能真实的情境，使学习能在和现实情况基本一致或相类似的情境中发生，从而培养学生质疑兴趣，使其乐于提问。使师生之间、学生之间充分地互动交流，民主地、和谐地参与教学过程是师生相互作用的最佳形式，也是充分发挥教学整体效果的有效保证。
（3）消除学生提问心理的障碍，激励学生勇于提问
学生在课堂上有“三怕心理”：一怕在课堂上提问影响教师上课而挨批评、指责；二怕提出的问题太过“愚蠢”遭同学嘲笑；三怕提出的问题毫无价值遭受轻视。针对学生的“三怕”心理障碍，教师要进行针对性的鼓励。如让由于紧张而说不清楚的学生在课外继续补问；让不敢在广众场合提问的学生个别提问；让口头表达能力差的学生把问题写成文字后再提问等。在教学环节中设置层次性问题，启发学生提出问题，如课前布置学生预习内容，让学生在预习中认真去发现、提出问题。
5．网上测试
学生在教师指导下，运用新一代高中数学网上测试和评估软件系统进行以学生自我评价为主的多种形式的高中数学学习效果的评价。我们集设计、修订、常模制作等网上测试和评估所需基本功能于一体，充分利用多媒体与网络技术、数据库管理技术、面向对象程序设计方法等技术手段来辅助系统的实现，使系统真正成为辅助网上测试和评估的有力工具。
（1）测试卷的分层设计
为了使低分数段的学生有成功感，高分段的学生有激励作用，我们将测试题设计为四个层次：第一层次为达标级，按会考达标要求设计；第二层次为提高级，在达标级基础上增加了分析层面的学习和变式练习；第三层次为优胜级，增加了新旧知识联系的综合层次练习；第四层次为欣赏级，提供与学习内容有关的高考试题和数学竞赛试题分析与解答。
（2）测试评估软件系统的结构
        测验试卷的生成工具：随机出题功能，可为每个学生产生不同的试卷，以防作弊。
        测试过程的控制系统：主要是对网上测试过程的控制，在需要时锁定系统，不允许学生进行与测试无关的浏览，控制测试时间，到时自动交卷。
        自动批改即时反馈功能：系统对测验提供了“自动批改即时反馈功能”，还可以根据学生的答案提供个性化的反馈内容。系统允许教师通过对一些问题加权，进一步控制测试环境。
        自动记分系统与智能系统：系统还提供自动记分系统，在学生做完测验系统自动判分之后，自动将成绩登录，进一步系统还可以自动提供反馈信息，自动建议学生下一步的学习内容；提供智能系统，自动分析邮件内容，进行归类，或自动解答或提供给老师统一解答。
        测试结果分析工具：根据每道题中的知识点和学生的答题情况，对学生给出诊断，对下一步学习提出建议。还可以根据考试测验统计数据，运用教育评估理论分析题目的质量，如区分度、难度等。
6．课堂小结

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课堂小结或由学生做或教师做或师生共同做，或由学生写成小论文的形式来完成。必要时可以举行论文答辩：各小组推荐一人和教师组成“专家评议组”，由组长抽签决定答辩的顺序，各小组在答辩前，将小论文上传到服务器中指定位置。答辩时，先由答辩者在规定的时间内介绍本组的工作（包括如何选题、解决问题的基本思路、如何克服困难、如何合作等），再由答辩者回答“专家”（教师或学生等）或听众就其工作的提问。由“专家评议组”进行评比，分为“一等奖”、“二等奖”、“三等奖”、“成功参与奖”等四个层次进行奖励。
“自主探究式学习”不是由教师直接告诉学生应如何去解决面临的问题，而是由教师向学生提供解决该问题的有关线索（例如需要搜集哪一类资料、从何处获取有关的信息资料以及现实中专家解决类似问题的探索过程等），并要特别注意发展学生的“自主学习”能力。
现代教育技术的使用设计应突出教学重点解决教学难点。数学是集严密性、逻辑性、精确性和创造性与想象力于一身的科学，数学教学则要求学生在教师设计的教学活动或提供的环境中通过积极的思维不断了解、理解和掌握这门科学，于是揭示思维过程、促进学生思考就成为数学教育的特殊要求。计算机是信息处理的有效工具，但它在数学教育的优势却不是自然就有的，这也是许多教师对“课本搬家”和“题库”式的数学教育软件不能认可的原因。教师们认为这类软件的作用无异于课本和习题集，与传统的数学教学相比，计算机表现的不是优势而是劣势。如果计算机不能促进学生思考，它在数学教育中的意义就不大。所以，在设计多媒体课件的时候，一定要突出教学的难点和重点，遵循教学的规律，体现学生的活动，面向每一个学生。在传统教学中，由于技术手段的限制，学生的活动是有限的，教师表达的方式是单调的。所以备课主要备老师讲什么，板书如何安排，布置哪些作业，教学计划是面对班级的整体水平制定的，教师在备课时要处理的是课本、教师和学生三者的关系。有了计算机，学生的活动丰富了，教师能以更有效的方式表达了，同时在课堂上教师和学生之间、学生和学生之间、学生和计算机之间信息交互的机会增多了。在进行教学设计时，教师要处理的是课本、教师、学生和教育技术的关系，要考虑怎样组织起学生有效的学习活动，教学计划可以面对班级的所有学生而制定。
二、思考与反思
（一） 校园网网络环境下学生自主探究教学模式的所需的硬件和软件环境
1．硬件环境  
（1）网络中心配备路由器、交换机、两台服务器，并通过电信10M以上带宽连接到INTERNET。
（2）各个教室都配备多媒体设备（配有高配置电脑、投影仪、录像机、高性能DVD机、无线话筒、电子教鞭等）。
（3）交互式多媒体计算机机房（配有服务器、教师机、学生机的局域网，安装win school交互教学系统）、电子阅览室等连为一体。
（4）所有老师办公室都配有电脑，且与网络中心相互连接。
2．软件环境
在校园网络中配置以下应用软件系统：网络光盘资源共享系统、网络视频点播（VOD）系统、 Internet 资源共享系统、视频广播系统、屏幕广播系统、师生网络学习与创作的编辑系统、课件共享平台。
（二）现代数学教学的课堂组织管理
网络环境下的中学数学课堂教学模式在交互式多媒体计算机机房组织教学，有别于常规课堂教学管理。在充分发挥主体性的同时，教师必须充分做好课堂组织与管理，随时掌握学生动态，通过win school交互教学系统给不同层次学生提供足够的教学资源，必要时要对一些游艺网站、聊天网站等IP地址进行屏蔽，还要求学生在课堂上限时完成一定的网上作业，网上生生对话和师生对话等方法，杜绝学生在课堂教学中做一些与课堂教学无关的事情，以提高课堂效率。网络环境下中学数学课堂教学应处理好的关系：
1网络与学生的关系

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随着网络技术的发展和普及，网络教学应运而生，为学生的学习创设了广阔自由的环境，提供了丰富的资源，拓延了教学时空的维度。学生可以从网络中获得的学习资源不仅数量大，而且还是多视野、多层次、多形态的。也可以从中选择他们所需的学习材料；并按照各自的实际情况来设计和安排学习，使学生学习更个性化，学生真正成为学习的主体；通过信息交流，培养学生创新的学习能力，使自身获得一种成就感，从而进一步激发学习兴趣和学习自主性。面对如此丰富的资源，如何培养学生对网络信息的合理使用能力成为关键。学生不仅要选好信息、用好信息，还要能合理的创新信息。在网络教学中只有“以学生为本，网络为辅”，努力使网络人性化，才能发挥网络教学优势，提高教学质量。
2教师与网络的关系
只有让网络环境下的教学资源与教师灵活生动的讲解、适时的创新评价互相配合，相互促进，协调传递信息，才能最大限度地发挥网络教学的优势。基于网络环境下的学科教学，教师应加强对互联网海量信息的搜索，筛选，加工，创新及应用。在选好教育资源后，教师要努力探索适时、适用问题，创设学习情境，营造和谐的环境，加上学生对网络应用知识基本掌握，才能达到网络与人的和谐统一。专题教学网站和网络教学资源库的形成，即将教师从繁杂的重复劳动中解放出来了，但教师的主导作用不是减弱了而是加强了，网络环境下的教学，对教师提出了更高的要求，教师必须挤出大量的时间学习Windows，Author wear，3Dmax，Flash等方面的知识，提高搜索，筛选，创新信息的能力，还要学会包括各种电教媒体的操作技能和技巧，只有这样，才能使自己在网络环境下的学科教学中获得自由，掌握主动，充分发挥网络教学的优势，提高教育教学质量。
3教师与学生的关系
教学活动不单是认知活动，同时也是情感活动，在网络环境下的数学教学，教师和学生都注意电脑电脑屏幕上的信息，师生之间情感的双向交流，变成了师与机，生与机的单向传送与接收，流动在师生之间的情感因素被削弱了。教师因为要对电脑进行必要的操作，走入同学之间的时间减少。在网络环境下的教学中，教师不能丢弃传统教学中的师生沟通和情感交流，应根据学生的情况，借助网络适时点拨、引导，化学生单纯的听、看为听、看、想、做，不要将一节数学课变为一节电脑演示课。
总之，教师、学生、网络是网络环境下的学科教学的基本要素，三者不是孤立的，而是一个共同体，只有在教学实践中，不断摸索三者间的关系，逐步协调完善并最终处理好三者在教育教学中的关系达到和谐统一，才能真正发挥网络教学的优势，提高教育教学的质量，造就有现代意识、有创新开拓精神的教师和学生。
（三）中学数学教学与现代教育技术的整合应遵循的原则
现代教育技术与中学数学教学的整合，不是简单地将现代教育技术应用于数学教学，而是高层次的融合与主动适应，改变传统的单一辅助教学的观点，从数学教学的整体观考虑现代教育技术的功能和作用，使现代教育技术贯穿于数学教学的整个过程，其出发点和立足点是学生能力的培养。那么，现代教育技术与中学数学的整合，应遵循哪些原则？

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1．遵循辅助学生更好地发现、探索真理的原则
数学课程与现代教育技术的整合应强调利用现代教育技术把数学知识的发生、发展过程展示给学生，强调对数学知识的探索；强调对数学知识应用；强调对数学知识的迁移。这种整合，是以数学教学的具体任务为完成目的，有意识地与现代教育技术相结合的教学。其目的是使学生的数学学习始终处于发现问题、用数学的方式提出问题、探寻解决方法、解决问题的自主的、动态的过程中，养成独立思考、积极探索的学习习惯，真正理解和掌握基本数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。让学生真正做到个性学习与协作的和谐统一，以达到数学学习的目标。
2．遵循“教师为主导，学生为主体”的原则
新课程标准提出，“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”学生是学习的主体，每个学生都是从自己的认知基础出发依自己的思维方式理解数学的。从这个意义上看，数学是无法灌输的，只能依靠学生的主动参与才能学好。在现代教育技术与中学数学教学的整合中，我们要设身处地的为所有学生着想，结合不同程度学生的基础、能力、心理，利用现代教育技术的优势，从数学教学中寻找切入点，创设具有丰富性、挑战性和开放性的教学环境，为学生提供更为宽广、有弹性且具有创意的学习空间，使得以学生为中心、基于资源及交流讨论的全新教学方法得以实施。
例如：利用几何画板，在Y轴上取一点H，作X轴的平行线y＝a ，在直线y＝a 上取一点P，连接O、P、H成三角形，并作出该三角形的内心E。让P点在直线y＝a 上运动，跟踪E点的轨迹；在Y轴上拖动点H，观察轨迹变化。
学生通过上机实践，首先发现E点的轨迹是抛物线的一段；在第二步操作实践后发现轨迹还可能是线段。观察的结果激发了学生的好奇心，于是他们主动进行字符计算，分析图像形成的原因，检验数学实验的结果。教师还可以启发学生进一步探索轨迹的变式，比如求三角形的重心、外心的轨迹；让P点在其他曲线上运动，求解相应的轨迹等等。让学生选择一种变式，继续做数学实验，观察图形的变化，并用数学知识进行逻辑论证。在这里，教师只是教学情景的提供者与引导者，而学生才是真正的教学主体。
3．遵循知识学习和创新精神相结合的原则
《新课程改革纲要》指出，“要把知识学习与创新精神相结合，要培养创新型人才”。而现代教育技术提供了这样的平台：它为数学教学的开放性，为学生的自主性、研究性提供了有力的支持。由于有了这种支持，使得学生在学习相同数学知识时，可以通过不同的途径与方法对其进行研究，对已有的知识从多角度去思考与再认识，从而产生新的知识。
例如：函数 在区间A上单调递减，它的反函数为 ，如果这两个函数的图象有交点，这些交点一定在直线y=x上吗？这是一个老问题，以 为反例，即可解决。
但如果加上一个条件： 和 不恒等，命题还成立吗？这是一个脑子灵活的学生的反问。由于只要给出函数的解析式，几何画板就能画出任何一个初等函数的图象，还能作出动态控制参数变化的函数图象，所以这件事就好办多了。
在同一坐标系中作出函数 和函数 的图象，其中的参数a可动态控制，让学生自已去拖动、去观察，最后发现，当a非常小时它们有三个交点，此时无需更多的语言，如果再让学生去思考方程 的解的个数，更是水到渠成了。