初中数学总复习资料试题

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初中数学总复习资料试题
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综合复习题（二）
【例题精选】：
一、方程型综合题：
（一）方程与代数综合题：
例1：已知二次方程 有两个正整数根，求整数 。
解： 方程有两个根，
   
解方程，得
   
   根为整数，m为整数，
   
   有两个正整根
   
例2：关于x的方程
  （1）求证方程有实数根；
  （2）若方程有两个实数根，且两根的平方和等于3，求 的值。
（1）证明：
  当
  方程为
   ，有唯一实数根
  当 时，
   
  即
   方程有实根
（2）设方程的两根为
  依题意：
   
   的值为0
小结：方程有实根往往被学生误认为只对一元二次方程而言，其实当 时，方程为一元一次方程，同样有此情况。因此应分类讨论。
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2010-2-14 11:34 上传

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例3：已知关于x的方程 有两个实根，两根的平方和与两根积的28倍的差大于－26，求最大整数m。
        解：设方程的根为
                依题意
                         
                         
                         
                         
                         最大整数m的值为2。

        例4：已知：关于x的方程 有且仅有一个非零公共根，求证：它们的其余两个根是方程 的根。
        证明：设公共根为 。
                依题意：
                 
                若 ，两方程系数均相同，有两个公共根，与两方程有且仅有一个非零公共根矛盾。
                 
                 
                设方程 的另一根为 ，
                         
                设方程 的另一根为 ，
                         
                 
                 原题得证
        小结：
                1、注意：方程、元、次概念。
                        如第3题中方程有一次、两次两种可能。
                2、注意：方程根、公根的概念。
                        如第4题中，非零公共根；
                        如第1题，正整数根。
                3、方程中的待定系数的关键是构造关于“待定系数”的方程，不等式组。
                 

        （二）方程与几何综合题

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例1：已知关于x的方程 的两根之和为－1，两根之差为1，其中 是 的三边长，（1）求方程的两根；（2）试判断 的形状。
        解：设方程的两根为
                依题意
                （1）
                         
                         方程两根为0，－1。
                （2）
                         
                         是等边三角形


        例2：在矩形ABCD中，AB=a，BC=2b，M是BC的中点， ，E是垂足，且a，b是二次方程 的两根，求DE的长。
        解法一：
                 
         
∽
                                                                                  
                         
        解法二：可证 ∽
                                                                                  
                                                                                                          
                        由方程可得：
                                          
        小结：为什么解法1分出的两种情况得到的是同一结果？只需看一下解法2就可得到答案，因为DE的长与方程的两根和、两根积有关，不必非得到每一个根，因此解题时要善于分析条件和所求，以减少不必要的麻烦。

        例3：m为何值时，关于x的方程 的根为直角三角形两锐角的正弦值。
        解：设方程的两根为 ，
         为直角三角形两锐角的正弦值
        设
          
         
                                  
                 
                                  
                        符合题意                                                        不合题意，舍去。
                 值为20。

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例4：已知 的三条边长，关于x的方程
                 =0有两个相等的实数根，
                且 ，求： 的值。
        解：
                 
                 
小结：
        1、方程与几何综合题题目特点是：
                ①线段作为方程的根；
                ②含线段长的代数式作为方程的系数；
                ③锐角三角函数值作为方程的根；
                ④含锐角三角函数值的“代数式”作为方程的系数。
        2、解此类综合题的方法是把综合问题分解为纯代数、纯几何问题。
                当把线段长、锐角三角函数值视为实数，问题转化为代数问题。
                当把线段长、锐角三角函数值视为线段、锐角三角函数时，问题转化为几何问题。
        3、方程中的待定系数的关键是构造关于“待定系数”的方程，不等式组、等量关系（①已知等量关系；②图形中隐含等量关系；③定理、性质固有等量关系）

【例题精选】：

二、函数型综合题：

（一）函数与代数综合题：
        例1：一次函数 的图象与y轴的交点到x轴的距离小于等于3，求m的取值范围。
        解：
            

        例2：已知：抛物线 经过（1，0），（5，0），（4，3）三点。
        （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
        （2）若抛物线顶点的横纵坐标是方程 的两个根，求 的值。
        解：依题意
                         
        （2）
                 
                 
                 
        小结：此题求解析式时，亦可

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例3：已知一次函数的图象过A（－1， ）和B（ ，2）两点，但不过原点，其中 、 是方程 的两个实数根，且满足 ，求这个一次函数的解析式。
        解： 是方程的两根
                 
                 
        由（1） =－ －1
                 
                                  
                 
                 
                 
                ∵此图象过原点，∴不合题意，舍去。
                ∴一次函数的解析式为
        小结：函数与代数知识的综合主要有：
        1、通过函数值将函数与代数式、方程、不等式综合。
        2、和抛物线与x轴的交点的横坐标有关问题综合运用一元二次方程根与系数的关系来解决。
        3、函数图象在直角坐标系中位置与系数构造的方程或不等式综合。（如例1）
        4、方程的根或一元二次方程的两根的对称式作为函数图象上一点坐标或函数的系数。（如例2、例3）
        解此类综合题一般有两条解题思路：
        1、依条件构造“待定系数”的方程、不等式
        2、转化为点的坐标。

（二）函数与几何综合题：
        例1：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，设梯形的周长为16cm，底角B为 ，高AH为x cm，中位线EF的长为y cm，用解析式表示梯形的中位线长y是高x的函数，并求出自变量x的取值范围，并画出函数图象的示意图。
        解：在

                 
                ∵EF是梯形中位线
                 
                当点A与点D重合时，等腰梯形就变为等腰三角形。
                依题意：
                 
                ∴自变量取值范围是

        例2：已知半径为x的扇形的周长为20，若它的面积为y，求y与x之间的函数关系，并求自变量x的取值范围。
        解：

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例3：如图，抛物线 和 轴交于两点A、B（A在B的左侧），AB=7，点P为该抛物线上一点，它的横坐标为 ，求抛物线的解析式。
        解：过点P作
                设
                在 中，
                 
                ∴A（1，0），∴B（8，0）
                 
                 
                 

        例4：已知：二次函数 。
        （1）求证：不论 为任何实数时，抛物线与x轴总有交点；
        （2）如图所示，当抛物线与x 轴相交A、B两点（A、B分别在y轴左、右两侧），且OA与OB的长的比是2∶1时，求 的值；
        （3）如果抛物线与x轴相交的两个交点以及抛物线的顶点组成一个等边三角形，求这条抛物线所表示函数的解析式。

        （1）证：
                 
                ∴总有交点
        解：（2）
                设
                且
                依题意
                 
                 
        （3）设抛物线与x轴两交点坐标为 。
                顶点为C，其纵坐标为
                 
                ∵ 为等边三角形
                ∴
                依题意：
                 
                 

        例5：已知：点 在抛物线 上。
        （1）求抛物线的对称轴；
        （2）若B点与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于B的直线，如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由。
        解：（1）∵点A在抛物线上。
                 
                对称轴
        （2）∵点 和点B关于 对称
                ∴
                设过B点的直线解析式为
        要使与 只交于B点，
         只有唯一解
         
         
        ∴存在两条。

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例6：二次函数 在同一坐标系中的图象如图。
        （1）哪个函数图象经过B、C、D三点；
        （2）若BO=AO，BC=DC，求二个函数的解析式。
        解：（1） 且一正一负
                          
        （2）∵BO=AO
                  ∴ 的对称轴为 轴
                                 
                  
                  
                  
                  

        小结：1、几何中的基本元素——线段做为函数中的变量，求函数解析式，一般寻找一个等量关系列方程，再转化为函数解析式，难点是求自变量取值范围及画函数图象的示意图。
        2、函数知识与几何知识相互转化的基础是 线段长。
        即如图：（1）
                                  
                        （2）
                                  
        一般解题思路：
                （1）已知点坐标 线段长                        线段长 …… 点坐标；
                （2）用待定系数法求函数解析式；
                （3）解析式 点坐标 线段长 面积及其它（如例3）
        3、解综合题中注意合理运用点在函数图象上，点的坐标适合函数解析式：
        （1）已知点 （ 为已知数）代入含“待定系数”的函数解析式构造关于待定系数的方程（如例5）。
        （2）点 （其中 为已知数，k为待定系数）代入含“待定系数k”的函数解析式，构造关于k的方程。
        （3）已知点 （其中 为已知数， 为未知数），代入已知函数解析式，则可以用关于a的代数式表示y或用关于b的代数式表示x。
        （4）已知点 （其中b为已知数， 为未知数），代入含待定系数k的函数解析式，可以用含k的代数式表示x。
        4、解函数—几何综合题时，注意图形的分解。（把基本的几何图形从直角坐标系中分离出来，求出所需线段长后，再放回坐标系中）。
        5、解函数—几何综合题时，注意对点位置的讨论如（例4、例5）
        综合题的学习既要见题有一定的思路，又不能模式化地套用旧有模式，应以数学思想方法为指导，致力于能力的提高。
        例：已知： ，D、E是BC边上的两点，且 ，若BD=11，DE=5，求：AC的长。
        分析：先依题意画出图形（如右图），观察图形，发现题目条件较分散，若能把它们集中到一个三角形中，就容易求出边长，抓住图形特点，结合角的数量关系，是解决本题的关键。

        解：设
                ∵
                ∴
                ∵E为BC上一点
                ∴
                          
                ∴
          又∵
                ∴ ∽